вышмат полезно

20.7.2. Найти условные экстремумы функции z 3x 2y при условии x2 4y2 5.

3 2 x 0,

и записываем необходимый признак условного экстремума 2 8 y 0,

x2 4y2 5 0.

Из достаточного признака условного экстремума следует, что

M1 3 ; 1 точка условного максимума. Значение функции в этой точке

2 2 2 (условный максимум) равно 5 2 .

этой точке (условный минимум) равно 5 2.

20.8. Задачи для самостоятельного решения

20.8.1.Найти стационарные точки функции z sinx sin y sin(x y), 0 x / 4, 0 y / 4.

20.8.2.Найти точки экстремума функции а) z x2 xy y2 x y 1,

б) z x4 y4 x2 2xy y2 , в) z x3 y3 3xy . 111

20.8.3. Найти наибольшее значение функции z x2 y(4 x y) в треугольнике, ограниченном прямыми x 0, y 0, x y 6.

Ответы. 20.8.1. 6 , 6 .

20.8.2. а) min в (-1;1), б) (-1;-1) и (1;1), в) min в (1;1). 20.8.3. zнаиб z(2, 1) 4; zнаим z(4, 2) 64.

ЗАНЯТИЕ 21.

21.ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФМП. 21.1. Производная в данном направлении и градиент

Легко видеть, что производная по направлению равна скалярному произве-

равна производной функции по этому направлению. Отсюда следует, что градиент направлен в сторону наибыстрейшего возрастания функции в данной точке.

21.2. Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой в пространстве.

21.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

21.3.3. Если поверхность задана уравнением F x;y;z 0, а точка координатами x0;y0;z0 ,

21.4. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям.

Т.к. приращение функции z f x x,y y f x,y ,то значение функ-

можно приближенно вычислить с помощью полного дифференциала по формуле:

21.5. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

21.5.1. Найти градиент функции u ln ex 3y ez в точке M 0; 1;0 и

ее производную в направлении градиента. Убедиться, что эта производная равна модулю градиента.

Решение (см. 21.1.1, 21.1.2). 1) Найдем значения частных производных функции в точке M :

4) Производная в точке M в направлении градиента равна:

21.5.2. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости

21.5.3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к конусу

x2 y2 z2 0 в точке (4;3;4).

16 9 8

114

По формуле п.21.4, имеем

z 5,09;1,91 3 5,092 1,91 3 52 2 1027 0,09 271 0,09 3 0,03 3,03.

21.6. Задачи для самостоятельного решения

21.6.2.Показать, что функция u ln(x2 y2 z2) удовлетворяет соотношению u 2ln2 ln(gradu)2 .

21.6.3.Найти производную функции u xy2 z3 xyz в точке M (1, 1, 2) в

направлении, образующем с осями координат углы соответственно 600 , 450 , 600 .

21.6.4. Найти производную функцииu xyz u xyz в точке A 5,1,2 в

115

направлении, идущем от этой точки к точкеB 9,4,14 .

21.6.6.Найти величину и направление наибольшего изменения функции u x(y z) в точке M0(0, 1, 2).

21.6.7.Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости

для линии x2 3y2 z2 47 в точке М(-2;1;6).

21.6.8. Составить уравнения касательных плоскостей и нормалей для данных поверхностей в указанных точках: а) z 2x2 4y2 ; (2, 1, 4);

б) 3x4 4y3z 4z2xy 4z3x 1 0; (1, 1, 1).

21.6.9.Вычислить приближенноln 3 1,03 4 0,98 1 .

21.6.10.Вычислить приближенно 0.971.05

ЗАНЯТИЕ 22 22. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ТАБЛИЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 22.1. Первообразная и неопределенный интеграл

116

22.1.1. Определение. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f (x) на некотором интервале, если в любой точке этого интервала выполняется равенство F (x) f (x). В дифференциалах определение первообразной выглядит так:

f(x)dx F (x)dx dF(x).

22.1.2.Теорема. Разность двух дифференцируемых первообразных одной и той же функции f (x) является константой.

22.1.3.Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается f (x)dx .

Согласно теореме 22.1.2 f (x)dx F (x) C , где F(x) — какая-либо первообразная функции f (x), а C — произвольная константа.

22.2.Свойства неопределенного интеграла

22.2.1.Свойство линейности.

f1(x) k f2(x) dx f1(x)dx k f2(x)dx .

f (g)dg f (g(x))dg(x) f (g(x))g (x)dx F(g(x)) C .

22.2.3.Линейная подстановка. f (t)dt F(t) C , то

f (kx b)dx 1k F(kx b) C .

Это свойство является частным случаем 22.2.2. Из определений 22.1.1 и 22.1.3 следуют свойства

22.2.4.dF(x) F(x) C и

22.2.5.d f (x)dx f (x)dx , или f (x)dx f (x),

которые подчеркивают взаимно обратный характер операторов и d .

117

22.2.6. Интегрирование по частям. Применим к формуле дифференциала произведения двух функций u(x) и v(x) оператор интегрирования:

d(uv) vdu udv vdu udv .

Но, согласно 22.2.4, d (uv) uv C . Отсюда следует формула интегрирования по частям: udv uv vdu .

22.3. Таблица интегралов

Большинство табличных интегралов получается «обращением» таблицы производныхсогласносвойству22.2.5;истинностьостальныхлегкопроверить дифференцированием по определению 22.1.1. В некоторых случаях приведены также соответствующие дифференциалы.

118