DRUN

2.6Устойчивость по Ляпунову

2.6.1Основные определения

Рассматривается система

Обозначим

x(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xn(t):

Решение x = '(t) системы (2.47) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого " > 0 существует такое ± > 0 , что если для всякого решения x(t) той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству

Если же для некоторого " > 0 такого ± не существует, то решение '(t) называется неустойчивым.

Решение '(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и

lim jx(t) ¡ '(t)j = 0:

t,!1

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора t0 . Заменой

x = '(t) + y

вопрос об устойчивости решения x = '(t) системы (2.47) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения y(t) ´ 0 системы, получаемой из (2.47) в результате данной замены.

61

Пример 1. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчиво ли нулевое решение задачи Коши

x1 = ¡2x1; x2 = ¡3x2; x1(0) = x2(0) = 0:

Имеем '1(t) ´ 0 , '2(t) ´ 0 .

Запишем общее решение рассматриваемой системы:

x1 = C1e¡2t; x2 = C2e¡3t

.

Зададим произвольно " > 0: Найдем ± = ±(") такое, что из неравенства

p

jx(0) ¡ '(0)j = (x1(0) ¡ '1(0))2 + (x2(0) ¡ '2(0))2 =

то это решение и асимптотически устойчиво.

2.6.2Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению.

Пусть xi(t) ´ 0 ( i = 1; : : : ; n ) нулевое решение системы (2.47). Выделяем у функций fi линейную часть вблизи точки x1 = : : : = xn = 0 , например, по формуле Тейлора. Пусть

По устойчивости или неустойчивости линеаризованной системы

dxdti = ai1x1 + : : : + ainxn

можно судить о устойчивости нулевого решения исходной систем по теореме Ляпунова.

62

где aik постоянные, а Ãi бесконечно малые выше первого порядка, точнее, при jxj < "0

устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво.

Замечание. Если система автономна (функции fi не зависят от t ), то уcловие (2.52) выполняется если функции fi(x1; x2; : : : ; xn) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности начала координат.

Пример 1. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение

Выделяем линейную часть функций по формуле Тейлора

Записываем линеаризованную систему

(

x = 5x + y; y = 4x + 2y:

Находим собственные значения матрицы коэффициентов полученной системы

Собственные числа положительные – нулевое решение неустойчиво.

2.6.3Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова

Теорема Ляпунова о устойчивости. Если существует дифференцируемая функция v(t; x1; : : : ; xn) , удовлетворяющая в области jxj < "0 условиям

Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие

63

в ряде случаев функцию Ляпунова можно искать в виде

v = v1(x) + v2(y):

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

x = 2y3 ¡ x5;

y = ¡x ¡ y5:

Линеаризованная система имеет вид

Теорема Ляпунова о устойчивости по первому приближению не применима. Ищем функцию Ляпунова в виде

v = v1(x) + v2(y):

64

Избавимся, в первую очередь, от членов, которые в окрестности нуля меняют знак.

!(x; y) = k4 (x2 + 2y6) > 0; при x 6= 0; y =6 0:

Полученная функция Ляпунова удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова о устойчивости.

Ответ: Нулевое решение асимптотически устойчиво.

Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

x = y + x3;

y= ¡x + y3:

Уматрицы линеаризованной системы

x1 = y;

y = ¡x:

действительная часть собственных чисел равняется нулю. ¸1;2 = §i: Поступая аналогично, как и при решении Примера 1 находим функцию Ляпунова в виде

65

Полученная функция Ляпунова удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева во второй формулировке.

Если за область V взять всю плоскость без начала координат, то она будет удовлетворять и всем условиям теоремы Четаева в первой формулировке.

Ответ: Нулевое решение системы неустойчиво .

Точки x¤; являющиеся решениями уравнения (системы)

f(x¤) = 0

называются точками покоя (положениями равновесия) динамической системы

x = f(x):

При исследовании на устойчивость точки покоя, ее следует перенести в начало координат. Пример 3. Для системы

x = sin y;

p

y = 1 ¡ 3x ¡ sin y + 2x:

найти точки покоя (положения равновесия) и исследовать их на устойчивость. Находим решение системы

sin y = 0;

p

1 ¡ 3x ¡ sin y + 2x = 0:

Точки (¡1; n¼) - точки покоя. Переходим в новую систему координат с центром в точке покоя

x = x1 ¡ 1; y = y1 + n¼;

после чего рассматриваемая система перепишется в виде

x1 = sin(y1 + n¼);

p

y_1 = 4 ¡ 3x1 ¡ sin(y1 + n¼) + 2x ¡ 2:

Линеаризуем ее в нуле.

С учетом, что cos(n¼) = (¡1)n; находим собственные значения матрицы коэффициентов.

Задачи

1. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли реше-

66

Начертить на плоскости x , y траектории данных систем вблизи точки (0; 0) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение.

2.x = ¡x , y = ¡2y .

3.x = x , y = 2y .

4.x = ¡x , y = y .

5.x = ¡y , y = 2x3 .

Выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид.

6.x = C1 cos2 t ¡ C2e¡t , y = C1t4e¡t + 2C2 .

7.x = C1 ¡ C2t , y = (C1t3 + C2)e¡t .

1 + t2

8.Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решения этой системы.

9.Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остается ограниченным при t ! +1 , то нулевое решение устойчиво по Ляпунову.

10.Доказать, что если каждое решение линейной одно родной системы стремится к нулю при t ! +1 , то нулевое решение асимптотически устойчиво.

11.Доказать, что если линейная однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при t ! +1 решение, то нулевое решение неустойчиво.

С помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать

Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева.

67

Ответы

1. а) неустойчиво; б) устойчиво; в) устойчиво; 2. Асимптотически устойчиво. 3. Неустойчиво. 4. Неустойчиво. 5. Устойчиво. 6. Устойчиво. 7. Асимптотически устойчиво.

12.Неустойчиво. 13. Устойчиво. 14. Неустойчиво. 15. Устойчиво. 16. Устойчиво.

17.Неустойчиво. 18. ab < ¡3 . 19. a < b < ¡1 . 20. Устойчиво. 21 ( 2k¼ , 0 ) неустойчи-

вы, ( (2k + 1)¼ , 0 ) устойчивы. 22. ( 3 , 2 ) неустойчиво, ( 0 , ¡1 ) устойчиво. 23. ( 2k¼ , 0 ) неустойчивы, ( (2k + 1)¼ , 0 ) устойчивы. 24. ( ¡1 , 2k¼ ) устойчивы, ( ¡1 , (2k + 1)¼ ) неустойчивы. 25. Устойчиво. 26. Неустойчиво. 27. Неустойчиво. 28. Устойчиво.

68

2.7Краевые задачи. Функция Грина. Задача ШтурмаЛиувилля

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Постановка краевой задачи. Требуется на интервале (x1; x2) найти решение уравнения (2.53), удовлетворяющее краевым условиям

Если имеется общее решение уравнения (2.53), то решение краевой задачи сводится к нахождению констант, входящих в общее решение при удовлетворении краевым условиям.

Если задача Коши для уравнения (2.53) имеет единственное решение, то краевая задача может иметь бесконечное число решений или вообще не иметь решений.

Пример 1. y00 + k2y = 0; y(0) = y(¼) = 0: Общее решение имеет вид

y = c1 cos kx + c2 sin kx:

Удовлетворяем краевым условиям

c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0; c1 cos k¼ + c2 sin k¼ = 0:

Отсюда c1 = 0 и c2 sin k¼ = 0: Если k¼ =6 n¼; то есть k =6 n; n = §1; §2; ::: то c2 = 0 и задача имеет только нулевое решение y = 0: Если же k = n; то задача имеет бесконечное

число решений y = c sin nx:

Функцией Грина краевой задачи (2.53). (2.54), (2.55) называется функция G(x; s); x ½ [x1; x2]; s ½ (x1; x2); которая как функции от x при каждом фиксированном s обладает следующими свойствами:

1) При x 6= s удовлетворяет однородному уравнению

L(G(x; s)) = 0;

2)Удовлетворяет краевым условиям (2.54), (2.55)

3)Непрерывна при x ½ [x1; x2];

4)При x = s ее производная имеет разрыв первого рода, причем скачек равен p(1s)

G0xjx=s+0 ¡ G0xjx=s¡0 = p(1s):

Если однородная задача (f(x) = 0) имеет только нулевое решение, то функция Грина существует.

Функция Грина находится по следующей схеме.

Находим два ненулевых решения y1(x) и y2(x) уравнения L(y) = 0; удовлетворяющие условиям (2.54), (2.55) соответственно. Если они линейно независимы ( y1(x) =6 cy2(x) ) то функция Грина существует и ее записываем в виде

69

G(x; s) = c1(s)y1(x)

при s · x · 1:

Рассмотрим краевую задачу

L(y) = ¸y + f(x);

®y0(x1) + ¯y(x1) = 0; °y0(x2) + ±y(x2) = 0:

70