§ 12. Типовые задания. Производная и приложения.

Для дальнейшего совершенствования навыков дифференцирования желательно решить один из предлагаемых ниже вариантов и после этого потренироваться на примерах из [3–12].

Все предлагаемые варианты с 1 по 14 содержат два примера с решениями

Для графического построения, в заданиях с 15 по 18 примеры с решениями вынесены в § 11 построение графиков.

При этом сборники задач [4–5,7] являются своеобразным стандартом, как и фамилия одного из авторов Демидович. Если вы решаете любую задачу из этих сборников, то вы очень хорошо подготовлены. «Решебник» (сборник задач с решениями) [12], (называемый среди студентов «антидемидовичем») позволяет посмотреть почти все необходимые решения. Новая редакция [11], к сожалению, не содержит решений. Но есть еще ряд «решебников» [3–9,12]. Все они будут полезны, самый простой, прозрачный это – [6], решения самых сложных задач можно найти в [3] и как указывалось выше в [12].

1. Основная таблица производных. Производная суммы. Константу можно выносить за знак производной

Пример 1.1. y = 12sinx +17cosx + 99tgx

► Пользуясь правилом суммы и вынося константу за знак производной получаем

(12sinx + 17cosx + 99tgx)` = 12cosx – 17sinx + ◄

Пример 1.2. y = 11x¹⁰¹ +18 ln(x)

► y` = 1111x¹⁰⁰ + 18/x◄

1) ( 2sinx + 3cosx – 4xa+5 ax )	2) ( 3tgx + 3ctgx – 7ln(6x)+4 ax )
3) ( 7arctgx + 5arcctg2x – 3log3(9x) )	4) ( 6tgx + 3arcsinx – 7log5(7x) )
5) ( 5tgx + 44arcsinx – 8log58(6x) )	6) ( 32arctgx + 3ctgx – 4log6(6x) )
7) ( 3sin2x + 5arcctgx – ln(6x) + 6x )	8) ( 23cosx + 78tgx – 99log3(6x))
9) (7secx + 5cosecx – 4og3(3x) + 7x )	10) (7arcsinx + 9sinx – 3ln(x) + 2x )
11) ( 39cosx + 7arccosx –33 ax )	12) (4tgx + 45arcctgx – 87 ax )
13) ( 6arcsinx + 4ctgx – 6ln(x) + vx )	14) (5tgx + 2sinx – 56ln(6x) +x)
15) ( 7arcctgx + cosx – 7ln(6x)+a 7x )	16) (1279x3 + 1279)
17) (17chx + 34shx + 136th2x)	18) (28/4(sin(cos34x)))
19) (4xlnx + 88cos(lnx))	20) (24e3x + 3e21x)
21) (324x3 + 456x2 + 43x)	22) (77arccos(thx) + 99)
23) (98tg3x + 84th5x)	24) (354esinx + 945ecosx)
25) (35cos(log3017x) + 92arctg5x)	26) (73(2)3x + 198e45x)
27) (23earccos(x2) + (17e/2)arctgx)	28) (73lnx3 + 3xlnx)
29) (77th(arctgx)+356 )	30) (876ln -126cos(79x))

2. Производная от частного. Найти производную функции

Пример 2.1. y = (99x/sinx).

► Воспользуемся формулой ((u/v)` = (u`v – uv`)/v²)

(99x/sinx)`=99(1sinx–xcosx)/sin²x. ◄

Пример 2.2. y = 3a^x/lnx.

► Пользуясь правилом дифференцирования частного двух функций, получаем (3a^x/lnx)` = 3(a^xlnalnx–3a^x/x)ln²x. ◄

1) (tg(x) /cx³)) 2) (sin(x) /x) 3) (cos(x) /x⁵)

4) (arctg(x) /4^x) 5) (arcctg(x) /(x-x⁸)) 6) (arcsin(x) /5^x))

7) (arccos(x) /a^x) 8) (5^x /ln(x)) 9) (log(x) /x³x))

10) (ln(x) /cosec(x)) 11) (x^a /sec(x)) 12) (x² /arccos(x))

13) (4x⁵) /arcsin(x)) 14) (9^x) /arctg(x)) 15) (12^x ) /arcctg(x))

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) (lg₄x/thx) 29) (chx/(1-shx²)) 30) (shx/(1-thx))