9. Найти дифференциал функции

Пример 9.1. Найти дифференциал функции y = ctg3x

►Пользуясь тем, что dy = y`(x)dx найдем dy

dy = – , xk/3, kZ.◄

Пример 9.2. Найти дифференциал функции y=ln| |

► Используя определение дифференциала, находим

.◄

1) y = arccos(89log₅₆(8x+4x⁹) ) 2) y = tg(exp(5x+x⁷))

3) y = cos(log₃(2x+x⁴)) 4) y = tg(5log₄(7x+x³))

5) y = arctg7log₈(9x+x²)) 6) y = log₃(5log₄(7x)+6x⁸))

7) y = exp(6log₇(16+2x⁵)) 8) y = arctg(9log₉(14x+x⁵))

9) y = arcctg(8log₁₂(13x)) 10) y = cos(exp(2x+x⁴))

11) y = arcsin(log₃(6x+12(x7)³)) 12) y = (67log₁₁(2x+33x⁷⁷))

13) y = 45log₁₂(x+2x¹²) 14)y = (34log₉(11x+66x9))³

15) y = (23log₃(7x+77x5))^{5 16) y = ln|x+ |}

^{17) y = xex 18)} y = tg(exp(16x+x⁹))

19) y = arctg(3log5(2x+4x³)) 20) y = arcctg(2log₆(7x+2x⁴))

21) y = arcsin(ln(6x²)) 22) y = arccos

23) y = arcsin 24) y = x²ln²x

25) y = 26) y =

27) y = sinx – xcosx+4 28) y = x + -5

29) y = xlnx-x+1 30) y = xarcsinx+

10. Вычислить значение функции используя формулу малых приращений

Пример 10.1. Вычислить

► Рассмотрим функцию y = . Вычислим ее производную в точке x = 1: y`(1) = 1/3.

По формуле малых приращений имеем (x = 0,02):

◄

Пример 10.2. Вычислить sin 29⁰

► Рассмотрим функцию y = sinx. Ее производная в точке x = /6 = 30⁰ равна . Тогда по формуле малых приращений получим (x =-/180)

sin29 = sin(/6-/180)  sin/6 – = 1/2(1 – ) = 0,484 … .◄

1) sin60⁰15' 2) cos60⁰15' 3) tg60⁰15' 4) ctg60⁰15'

5) 2^0.013' 6) 5^0.012 7) 9^0.501 8) 2.01³

9) 5.01² 10) 9^1/3 11) 80^1/4 12) 100^1/8

13) 1000^1/11 14) lg11 15) arctg1.05 16) sin46

17) cos 44 18) (7.01)³ 19) (7.01)⁴ 20) (7.01)⁷

21) arcsin0.99 22) arccos0.09 23) cos29 24) tg44

25) ctg46 26) arctg0.99 27) 28)

29) 16^0.503 30) sin14.5cos14.5

11. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ . Сколько общих точек имеет график данной функции с искомой касательной

Пример 11.1. y = x²/2 x₀ = 0

► y`=x по формуле уравнения касательной получим y = 0 + 0 = 0  y = 0.

Найдем точки пересечения графика функции и касательной

x²/2 = 0  x = 0 единственная точка совпадения графика функции с касательной – точка (0,0).◄

Пример 11.2.y = sinx, x₀ = /2.

►y`=cosx, y(x<sub>0</sub>)=1, y`(x₀) = 0. Запишем уравнение касательной y = 1. Таким образом в точках пересечения графика функции и касательной получаем уравнение

sinx = 1  x = /2+2k, kZ.

То есть, график функции имеет бесконечное число общих точек со своей касательной. Легче было решить эту задачу графически, так как, очевидно, что прямая y =1 будет касаться графика y = sinx во всех его «верхних» точках, а таких точек на всей числовой оси бесконечно много. ◄

1) y = sin3x +2, при x₀ = 0. 2) y = cos5px +6 , при x₀ = 1

3) y = sin5(x - 2) , при x₀ = 2 4) y = cos5px +8 , при x₀ = 1

5) y = tgpx +2, при x₀ = 1 6) y= ctg(px/2) +2, при x₀ =1

7) y = arctg2x +4 , при x₀ = 1 8) y= arcctg3x +6, при x₀ = 1/6

9) y = ax²+bx +c, при x₀ = –b/(2a) 10) y = ax+b, при x₀ = –b/(2a)

11) y = 1/x², при x₀ = –1 12) y = x3+bx +c, при x₀ = 0

13) y = (x+1)/(x-1), при x₀ = –1/2 14) y = x²/(1+x), при x₀ = –1

15) y = (x+1)/(3-x)^1/3, при x₀ = 2 16) y = sin4x – 1 , при x₀ = /8

17) y = sin2(x - 1), при x₀ = 3 18) y = cos2x +3 , при x₀ = 0

19) y = tg4px +2, при x₀ = 1 20) y= ctg(3px/2) +2, при x₀ = 1

21) y = arctgx/2 +1, при, x₀ = 1 22) y= arcctg3x/4 +6, при x₀ = 1/8

23) y = 3/2x², при x₀ = 7/2 24) y = x2+5x +23/24, при x₀ = 5/4

25) y = (2x+3)/(7x-15), при x₀ = 7/5 26) y = x⁴/2(4+2x), при x₀ = 1/2

27) y = tg46x –1/e, при x₀ = 2e 28) y = ctg(3x/8) -5, при x₀ = 1

29) y = (3x+9)/(6-2x)^1/5, при x₀ =–2/3 30) y = sin4x/11 – 2 , при x₀ = 11/8

12. Найти k-ю производную от функции y = f(x)

Пример 12.1. y=ax^-m, k=3

► Последовательно дифференцируя, имеем:

y` = –max^-m-1;

y`` = –ma(x^-m-1)` = am(m+1)x^-m-2;

y``` = am(m+1)(x^-m-2)`= –am(m+1)(m+2)x^-m-3◄

Пример 12.2. y= , k = 100.

► Преобразуем данную функцию к удобному для дифференцирования виду

y = 2(1-x)^-1/2-(1-x)^1/2

После 100-кратного дифференцирования получаем:

◄

1) k = 38, y = xe^x 2) k = 45, y = e^x2

3) k = 30, y = sinx +e^x 4) k = 39, y = cosx+e^x

5) k = 68, y = cos2x +e^x 6) k = 100, y = ln2x +e^x

7) k = 50, y = 2^x +e^x 8) k = 618, y = (3x)¹²¹ +e^x

9) k = 63, y = 1+e^x 10) k = 87, y = +e^x+1/(x+1)

11) k = 88, y = 1/(1-x²)+e^x 12) k = 98, y = 1/x+e^x

13) k = 78, y = 756x⁸+56x⁶+e^x 14) k = 6, y = 1+cos(x)e^x

15) k = 5, y = +sin(x)e^{x 16) k = 6, y = x(2x–1)2(x+3)3}

^{17) k = 3, y = 18) k = 100, y =}

^{19) k = 20, y = x2e2x 20) k = 10, y =}

^{21) k = 6, y = sin2xlnx 22) k =100, y = xshx}

^{23) k = 10, y = sinxsin2xsin3x 24) k = 50, y = x2sin2x}

^{25) k = 5, y = xlnx 26) k = 5, y =}

^{27) k = 8, y = 28) k = 10, y =}

^{29) k = 6, y = cosxchx 30) k = 10, y = (2x–1)23x32x}

13. С помощью правила ЛОПИТАЛЯ найти предел функции y =f(x) при x x₀ .

Пример 13.1.

►Непосредственное применение правила Лопиталя не эффективно, поэтому, произведя замену 1/x² = y и применив правило Лопиталя к полученному выражению получим

◄

Пример 13.2.

► Здесь имеется неопределенность вида 0⁰, поэтому предварительно воспользуемся представлением (u>0, v>0), а также соотношением , вытекающим из непрерывности функции e^x.

После очевидных преобразований и применения правила Лопиталя получаем

◄

1) x₀ = +0 y = x^x . 2) x₀ = a y = (a^x–x^a)/(x–a)

3) x₀ = п/2 y = tg(3x)/tgx . 4) x₀ = 0 y = (tg(x)–x)/(x–sinx) .

5) x₀ = 0 y = sinax/sinbx . 6) x₀ =1 y = x^1/(1–x) .

7) x₀ = +0 y = (ln(1/x))^x . 8) x₀ = 0 y = x^alnx (a>0).

9) x₀ = 0 y = ((1+x)^1/x-e)/x . 10) x₀ = 0 y = (1-cos(x²))/(x²sin(x²)) .

11) x₀ = y = lnx/x^a (a>0) . 12) x₀ = 0 y = sinax/tgbx .

13) x₀=0 y = ln(sin(ax))/ln(sin(bx)) . 14) x₀ = 0 y = ln(cos(bx))/ln(cos(ax))

15) x₀ = 0 y = (cos(sinx))-cosx)/x⁴ . 16) x₀ = 0 y =

17) x₀=0 y= 18) x₀ = 1 – 0 y = lnxln(1-x)

19) x₀=0 y= 20) x₀  + y = (thx)^x

21) x₀ = 0 y = 22) x₀ = 0 y =

23) x₀ = 0 y = 24) x₀ = 0 y =

25) x₀ = 0 y = 26) x₀ = 0 y =

27) x₀ = 1 y = 28) x₀ = 0 y =

29) x₀ = +0 y = -1 30) x₀ = /4 y = (tgx)^tg2x

14.Найти второй дифференциал функции y = f(x) определяемой уравнением

Пример 14.1. y=lnx

► Находим последовательно

dy = – dx/x;

◄

Пример 14.2. y = f(x) , где x – функция от некоторой независимой переменной.

► Исходя из определения дифференциалов высших порядков, имеем:

dy = f`dx; d<sup>2</sup>y = d(f`dx) = f``(dx)² + f`d²x;

d³y = d(f``(dx)² + f`d²x) =

f```(dx)<sup>3</sup> + 2f``dxd<sup>2</sup>x + f``dxd<sup>2</sup>x + f`d<sup>3</sup>x = f```(dx)³ + 3d²xdxf`` + f`d³x.◄

1) sin(x + y) =y 2) tg(x + y) = y

3) e^xy + x + y = 0 4) log₃(x + y) = x + y

5) log₄(x² + y) = 1-y 6) arccos(3x⁴ + y²) = y

7) (1 + x² + y²)^1/3 = x-y² 8) arctg(x⁴ + 3y) = x + y⁶

9) arcctg(x⁵ + 2y) = x + y³ 10) 2^{xy + y} = xy + x

11) 3^{1/(x + y)} = xy 12) x^y = x + y

13) y^x = x² + y³ 14) (x + y)^{(x + y)} = x⁴ + y⁷

15) log_xy = x+y^{2 16) sin2(x + y) = 3y}

^{17) log}_x^{y = (x+y)2 18) 3x + y + 2x + 5y = 0}

^{19) y3 = x3 + 3y 20) arctg(x – y) = x + y}

^{21) x2y = xx 22) ln(2x + 3y) = x – 2y2}

^{23) = x2-y2 24) cos(xy) = sin(x + y)}

^{25) tg(cosxy) = lnx3 26) (x + y)3 = xy}

^{27) log}_3x^{x + y = y2 28) 2x + y = xy}

^{29) lncos(x3 + y) = x + y5 30) x3x + y3 = 2xy}