DRUN

2.4Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в нормальной форме.

xn = 'n(t; c1; c2; :::; cn);

где c1; c2; :::; cn произвольные постоянные.

Задача Коши. Требуется найти решение системы (2.20), удовлетворяющее заданным

Числа t0; x10; x20; :::; xn0 задаются.

Методом исключения систему (2.20) можно свести к одному дифференциальному уравнению n -го порядка относительно одной из неизвестных функций по следующей схеме.

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим

d3x1 = f¹3(t; x1; x2; :::; xn) dt3

и т. д., наконец,

dnx1 = f¹n(t; x1; x2; :::; xn): dt3

51

и подставим их в последнее уравнение системы (2.23). Получим дифференциальное урав-

Получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение ¸2 ¡ 1 = 0 имеет корни ¸1 = 1; ¸2 = ¡1: x = c1et + c2e¡tобщее решение однородного уравнения. Частное решение xч(t) ищем в виде

xч(t) = Atet + B; xч(t)0 = Aet + Atet;

xч(t)00 = Aet + Aet + Atet = 2Aet + Atet:

Подставляем в уравнение

2Aet + Aet ¡ Atet ¡ B = et + 1:

Отсюда A = 1=2; B = ¡1 и x¹ = 12 tet ¡ 1:

Общее решение

x = c1et + c2e¡t + 12tet ¡ 1:

Находим y :

x0 = c1et ¡ c2e¡t + 12tet + 12et:

52

Используя начальные условия, найдем c1 и c2 :

½c1 + c2 ¡ 1 = 0; c1 ¡ c2 ¡ 12 = 0:

2.5 Линейные системы

2.5.1Структура общего решения

Рассмотрим нормальную систему линейных дифференциальных уравнений

где Xi(t) фундаментальная система решений однородной системы ( n линейно независимых решений однородной системы), ci произвольные постоянные, i = 1; 2; : : : ; n:

Общее решение неоднородной системы имеет вид

Xч(t) частное решение неоднородной системы.

53

2.5.2 Нахождение общего решения однородной системы с постоянными коэффициентами.

Пусть коэффициенты системы постоянны. Если искать решение однородной системы

то после подстановки (2.32) в (2.31) приходим к задаче на нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы A .

an1v1 + an2v2 + : : : + (ann ¡ ¸)vn = 0:

Ищется ненулевое решение системы.

Для нахождения собственных чисел составляем характеристическое уравнение

jA ¡ ¸Ej определитель системы (2.34).

Если ¸ простой действительный корень характеристического уравнения, то ему соответствует решение V e¸t , где V ненулевое решение системы (2.34). при данном значении

¸ .

Если все ¸i простые и действительные, то общее решение имеет вид

где V (i) собственные векторы матрицы A , соответствующие собственным числам ¸i . Если ¸ действительный корень кратности k и имеется столько же линейно независи-

мых собственных векторов V (i) , то ему соответствует k линейно независимых решений системы (2.31)

Xi = V (i)e¸t; i = 1; 2; : : : ; k:

Если для действительного корня ¸ кратности k имеется m линейно независимых векторов (m < k) , то решение системы (5), соответствующее этому собственному числу можно искать в виде

янных после подстановки (2.37) в систему (2.31). ( m = n ¡ r , r ранг матрицы A )

54

Пример 1.

dxdt = ¡x + y + z; dydt = x ¡ y + z; dzdt = x + y ¡ z:

Составим систему (2.34) для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A

¸3 + 3¸2 ¡ 4 = 0¸1 = 1 , ¸2;3 = ¡2 .

Находим собственный вектор V (1) соответствующий ¸1 = 1 . Подставляем ¸ = 1 в (2.34)

Отсюда: v1 = v2 = v3 . Полагая v3 = 1 , находим собственный вектор V (1) .

011

V (1) = @1A:

1

Пусть ¸ = ¡2 . Подставляем ¸ = ¡2 в систему (2.34)

v1 + v2 + v3 = 0; v1 + v2 + v3 = 0; v1 + v2 + v3 = 0:

Отсюда v1 = ¡(v2 + v3) . Полагая v2 = 1 , v3 = 0 и v2 = 0 , v3 = 1 , находим два линейно независимых собственных вектора, соответствующих собственным числам

55

или

x = c1et ¡ c2e¡2t ¡ c3e¡2t; y = c1et + c2e¡2t;

z = c1et + c3e¡2t:

Пример 2. Указать в каком виде следует искать решение системы:

После подстановки xj в рассматриваемую систему получается система для определения неизвестных коэффициентов bij , которые определяются в виде линейной комбинации трех произвольных постоянных ( k = 3 ).

Если ¸ = v + ¯i комплексный корень кратности s , то нахождение решения проводится по изложенной выше схеме, после чего отделяются в полученных комплексных решениях действительные и мнимые части, и тем самым определяются 2s линейно независимых вещественных решений.

Пример 3. Решить систему

dxdt = 3x ¡ 2y; dydt = 4x ¡ y:

Записываем систему

(3 ¡ ¸)v1 ¡ 2v2 = 0; 4v1 ¡ (1 + ¸)v2 = 0:

56

Находим собственный вектор, соответствующий ¸1 = 1 + 2i . Подставляем ¸1 = 1 + 2i

Выделяя действительные и мнимые части, получаем общее решение системы

x = (c1 cos 2t + c2 sin 2t)et;

y= c1(cos 2t + sin 2t)et + c2(sin 2t ¡ cos 2t)et:

2.5.3Нахождение частного решения неоднородной системы со специальной правой частью

Рассмотрим неоднородную систему постоянными коэффициентами

степени m + s , коэффициенты которых определяются после подстановки (2.42) в (2.40).

57

Пример 4. Указать вид в котором следует искать частное решение системы

dxdt = 3x ¡ 2y + et cos 2t + e¡t; dydt = 4x ¡ y + 2e¡t:

Характеристическое уравнение для данной системы имеет корни ¸1 = 1 + 2i , ¸2 = 1 ¡ 2i:

Частное решение системы ищем в виде

xч = x1ч + x2ч; yч = y1ч + y2ч;

где x1ч , y1ч и x2ч , y2ч частные решения систем

dxdt = 3x ¡ 2y + et cos 2t; dydt = 4x ¡ y

и

соответственно.

В соответствии с (2.42) частные решения систем ищем в виде

x1ч = ((a1t + b1) cos 2t + (c1t + d1) sin 2t)et; y1ч = ((a2t + b2) cos 2t + (c2 + d2) cos 2t)et:

s = 1 , так как 1 + 2i совпадает с корнем характеристического уравнения.

x2ч = Ae¡t; y2ч = Be¡t:

s = 0 так как ¡1 не является корнем характеристического уравнения.

2.5.4Нахождение частного решения неоднородной системы методом вариации постоянных

Рассмотрим неоднородную систему

58

ci(t) неизвестные функции, которые определяются после подстановки (2.45) в систему (2.44).