DRUN

yч; yч0 ; yч00 подставляем в уравнение (2.12)

(2C ¡ Ax ¡ B) cos x ¡ (2A + Cx + D) sin x + 2(A + Cx + D) cos x+

Приравниваем коэффициенты при функциях sin x и cos x в левой и правой частях уравнения (2.13)

При cos x :

2C ¡ Ax ¡ B + 2A + 2Cx + 2D + 5Ax + 5B = 2x:

При sin x :

¡(2A + Cx + D) + 2C ¡ 2Ax ¡ 2B + 5Cx + 5D = 0:

Запишем частное решение.

yч = (3;6x ¡ 2;52) cos x + (1;8x ¡ 0;36) sin x:

Общее решения уравнения имеет вид

y = e¡x(c1 cos 2x + c2 sin 2x) + (3;6x ¡ 2;52) cos x + (1;8x ¡ 0;36) sin x:

Частный случай. Пусть f(x) = A cos ¯x + B sin ¯x: Тогда частное решение находится в

виде

y¹ = xs(M cos ¯x + N sin ¯x):

s = 0 , если ® + i¯ не является корнем характеристического уравнения, если i¯ является корнем характеристического уравнения, то s равняется его кратности. если i¯ ре является корнем характеристического уравнения, то s = 0: M и N постоянные числа, значения которых находятся также методом неопределенных коэффициентов.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y00 + 2y0 + 5y = 2 cos x:

Имеем

¸2 + 2¸ + 5 = 0; ¸1;2 = ¡1 § 2i; y0 = e¡x(c1 cos x + c2 sin x):

Частное решение ищем в виде

yч = A cos x + B sin x; yч0 = ¡A sin x + B cos x;

yч00 = ¡A cos x ¡ B sin x:

Полученные значения подставим в уравнение:

¡A cos x ¡ B sin x ¡ 2A cos x + 2B sin x + 5A cos x + 5B sin x = 2A cos x;

41

(4A + 2B) cos x + (¡2A + 4B) sin x = 2A cos x; ½ 4A + 2B = 2;

¡2A + 4B = 0:

Решая систему, находим A = 25 ; B = 15 :

Ответ:

y = e¡x(c1 cos x + c2 sin x) + 25 cos x + 15 sin x:

Замечание. Если f(x) = f1(x)+f2(x) , где f1(x) и f2(x) имеют специальный вид, то

целесообразно yч(x) искать в виде yч = yч1(x)+yч2(x) , причем: L(yч1) = f1 , L(yч2) = f2 . Пример 3. Найти общее решение уравнения

y00 ¡ 4y0 + 3y = 3e2x + xex; f1(x) = 3e2x; f2(x) = xex:

Составляем характеристическое уравнение

¸2 ¡ 4¸ + 3 = 0; ¸1 = 1; ¸2 = 3; y0(x) = c1ex + c2e3x:

Найдем частные решения уравнений

y00 ¡ 4y0 + 3y = 3e2x; y00 ¡ 4y0 + 3y = xex;

y1 = Ae2x; y10 = 2Ae2x; y100 = 4Ae2x;

e2x(4A ¡ 8A + 3A) = 3e2x; A = ¡3; y1 = ¡3e2x:

y2 = (Ax2 + Bx)ex; y20 = (Ax2 + (2A + B)x + B)ex; y200 = (Ax2 + (4A + B)x + 2A + 2B)ex:

Подставляя y2 , y20 , y200 во второе уравнение

(Ax2 + +(4A + B)x + 2A + 2B ¡ 4Ax2 ¡ 8Ax ¡ 4Bx ¡ 4B + 3Ax2 + 3Bx)ex = xex;

¡4A = 1; A = ¡1=4: 2A ¡ 2B = 0; B = A = ¡1=4 . y¹2 = ¡14x(x + 1)ex;

Ответ:

y = c1ex + c2e3x ¡ 3e2x ¡ 14x(x + 1)ex:

2.2.3 Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариации постоянных.

Если известна фундаментальная система (y1; y2; : : : ; yn) решений однородного уравнения, частное решение можно искать в виде

Xn

yч(x) = ci(x)yi(x);

i=1

42

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y00 + y = cos1 x:

Запишем однородное уравнение y00 +y = 0: Решая характеристическое уравнение ¸2 +1 = 0 , находим корни ¸1;2 = §i и соответствующие им решения y1 = cos x; y2 = sin x: Записываем общее решение однородного уравнения

y0 = c1y+c2y2 = c1 cos x + c2 sin x:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = c1(x)y1 + c2(x)y2 = c1(x) cos x + c2(x) sin x:

Составляем и решаем систему уравнений для определения функций c1(x); c2(x)

½ c01(x) cos x + c02(x) sin x = 0; ¡c01(x) sin x + c02(x) cos x =

Имеем c01 = ¡tgx; c2(x) = 1: Далее

Z

c1(x) = ¡ tgxdx = ln j cos xj;

Z

c2(x) = xdx = x:

Частное решение

yч(x) = ln j cos xj cos x + x sin x:

Ответ.

y = c1 cos x + c2 sin x + cos x ln j cos xj + x sin x:

Пример 2.

y00 + a2y = f(x):

Составляем характеристическое уравнение

¸2 + a2 = 0;

Общее решение однородного уравнения

y0 = c1 cos ax + c2 sin ax:

Находим частное решение методом вариации постоянных yч = c1(x) cos ax + c2(x) sin ax:

Записываем систему (2.12) для определения c1(x) и c2(x) c01 cos ax + c02 sin ax = 0;

¡ac01 sin ax + ac02 cos ax = f(x):

43

Замечание. Методом вариации постоянных можно находить частное решение неоднородного уравнения и с переменными коэффициентами.

2.2.4 Уравнение Эйлера.

называется уравнением Эйлера.

Заменой независимой переменной t = ln jxj ( x = et при x > 0 , x = ¡et при x < 0 ) уравнение Эйлера сводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение

¸2 ¡ 2¸ + 1 = 0

имеет корни ¸1 = ¸2 = ¡1 .

y0(t) = (c1 + c2t)e¡t

44

Здесь пишем ln jxj это будет соответствовать и случаю x < 0 . Пример 2. Решить задачу Коши

y00 ¡ y = 2x; y(0) = 0; y0(0) = 1:

y = c1ex + c2e¡x ¡ 2x

общее решение.

Постоянные c1 и c2 находим, удовлетворяя начальным условиям. Имеем

y0 = c1ex ¡ c2e¡x ¡ 2; y(0) = c1 + c2 = 0; y0(0) = c1 ¡ c2 ¡ 2 = 1:

Отсюда c1 = 1;5 , c2 = ¡1;5 . Подставляя найденные значения c1 и c2 в общее решение, получаем решение задачи Коши.

В следующих задачах записать вид частного решения (значения коэффициентов не определять).

25.y00 + 9y0 = 4x + e¡3x + x cos 3x .

26.y000 ¡ 4y0 = 3 + e2x + e2x sin x .

27.yIV ¡ 4y000 + 5y00 = xex sin 2x + 3ex sin x .

28.y00 ¡ 2y0 + 2y = xex cos x . 29. y00 + 2y0 + y = x(e¡x ¡ cos x) .

30.y00 ¡ 9y = e¡3x(x2 + sin 3x) . 31. y00 ¡ 4y0 + 5y = e2x sin 2x .

Решить задачи Коши.

34.y00 + 4y0 + 4y = 3e¡x , y(0) = y0(0) = 0 .

35.y00 + 4y = sin 2x , y(0) = y0(0) = 0 .

36.y000 ¡ 3y0 ¡ 2y = 9e2x , y(0) = 0 , y0(0) = ¡3 , y00(0) = 3 .

37.y00 + 2y0 + 2y = xe¡x , y(0) = y0(0) = 0 .

38.yIV + y00 = 2 cos x , y(0) = ¡2 , y0(0) = 1 , y00(0) = y000(0) = 0 .

Найти общие решения методом вариации постоянных.

45

Построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решения.

55.(x ¡ 2)2y00 ¡ 3(x ¡ 2)y0 + 4y = x .

56.При каких значениях ¸ задача y00 + ¸2y = 0 , y(0) = y(¼) = 0 имеет только нулевое решение (y ´ 0) .

57.При каких значениях ¸ задача y00 + ¸2y = 0 , y(0) = y(¼) = 0 имеет бесконечное число решений и выписать эти решения.

58.При каких значениях ¸ и ! уравнение y00 + ¸2y = sin !x имеет хотя бы одно периодическое решение.

0 . Выразить I(x) через элементарные функции.

X1 x4n+1

60. Доказать, что функция J(x) = n=0 (4n + 1)! удовлетворяет уравнению JIV (x) ¡ J(x) = 0 . Выразить J(x) через элементарные функции.

Ответы

c1 +c2x5x ¡0;2x3 ¡0;12x2 ¡0;048x+0;02(cos 5x¡sin 5x) . 20. y = c1 cos x+c2 sin x¡2x cos x .

46

xex((Ax+B) cos x+(Cx+D) sin)) . 29. y = x2(Ax+B)e¡x +(Cx+D) cos x+(Ex+G) sin x .

2.3Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то по формуле (2.4) записывается общее решение однородного уравнения. Частное решение можно находить методом вариации постоянных.

Если известно частное решение y1 однородного уравнения, то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого надо сделать замену y = y1z(x): В полученном уравнении не будет входить функция z: Затем делаем замену z0 = u(x) .

В случае уравнения второго порядка для нахождения второго решения однородного уравнения можно использовать формулу Лиувилля для определителя Вронского:

Иногда частное решение линейного уравнения удается отыскать методом подбора. Например, если коэффициенты являются полиномами, можно искать решение в виде полинома некоторой степени n .

Пример 1. Для уравнения

(x3 ¡ 3x2 + 1)y00 ¡ (x3 ¡ 6x + 1)y0 + (3x2 ¡ 6x)y = 0

найти частное решение в виде полинома.

47

Решение. Подставляем полином y = xn+c1xn¡1+¢ ¢ ¢+an¡1x+an в заданное уравнение

(x3 ¡ 3x2 + 1)(n(n ¡ 1)xn¡2 + : : : ) ¡ (x3 ¡ 6x + 1)(nxn¡1 + : : : ) + +(3x2 ¡ 6x)(xn + : : : ) = 0:

Приравнивая нулю коэффициент при xn+2; имеем ¡n+3 = 0; отсюда n = 3 . Значит, если частное решение в виде полинома существует, то он может быть полиномом только третьей степени. Положим y = x3 + a1x2 + a2x + a3 и подставим этот полином в заданное уравнение

(x3 ¡ 3x2 + 1)(6x + 2a1) ¡ (x3 ¡ 6x + 1)(3x2 + 2a1x + a2) + +(3x2 ¡ 6x)(x3 + a1x2 + a2x + a3) = 0:

После раскрытия скобок, приравниваем к нулю коэффициенты при x4; x3; x2; x и свободный член:

Ответ:

y = c1x + c2(x2 ¡ 1):

Пример 3. Исследовать на линейную зависимость на промежутке (¡1; +1) функ-

ции

1) 1 , x , x2 , x3; ... , xn:

48

2) 4 ¡ x , 2x + 3 , 6x + 8 .

Решение. 1) Предположим, что функции 1 , x , x2 , x3; ... , xn линейно зависимы на (¡1; +1) . Тогда на справедливо тождество

®1 ¢ 1 + ®2x + ®3x2 + : : : ®nxn ´ 0;

где ®12 + ®22 + ®32 + : : : + ®n2 > 0 , что невозможно, так как в левой части равенства имеем многочлен степени n , который может обращаться в нуль не более чем в n точках на всем промежутке (¡1; +1) . Следовательно, рассматриваемая система функций линейно независима.

2) Выясним, можно ли найти такие постоянные ®1 , ®2 , ®3 , чтобы ®12 + ®22 + ®32 > 0 и на промежутке (¡1; +1) имело место тождество

®1(4 ¡ x) + ®2(2x + 3) + ®3(6x + 8) ´ 0:

Отсюда

(¡®1 + 2®2 + 6®3)x + (4®1 + 3®2 + 8®3) ¢ 1 ´ 0:

Поскольку функции 1 и x линейно независимы , то тождество возможно только при

¡®1 + 2®2 + 6®3 = 0; 4®1 + 3®2 + 8®3 = 0:

С учетом базисного минора, перепишем систему в виде

(

®1 ¡ 2®2 = 6®3;

4®1 + 3®2 = ¡8®3:

(Определитель системы относительно неизвестных ®1 , ®2

Так, что система при любых ®3 6= 0 имеет не нулевое решение. Таким образом, данные функции линейно зависимы.

Замечание. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то вычисляя определитель и приравнивая его к нулю

получаем решение обратной задачи - нахождение (восстанавление) линейного, однородного дифференциального уравнения n -го порядка по его фундаментальной системе решений.

Задачи

1. Показать, что система функций '1(x) , '2(x) , : : : , 'm(x) , определенных на I = (a; b) , является линейно зависимой на I , если среди этих функций имеются по крайней мере две тождественно равные на I .

49

2. Показать, что система функций '1(x) , '2(x) , : : : , 'm(x) , определенных на I = (a; b) , является линейно зависимой на I , если какая-либо подсистема этой системы линейно зависима на I .

Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. В каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.

3.x + 2 , x ¡ 2 .

4.6x + 9 , 8x + 12 .

5.sin x , cos x .

7.1 , sin2 x , cos 2x .

8.x , x3 , jx3j .

9.Известно, что для функций y1; : : : ; yn детерминант Вронского в точке x0 равен нулю, а в точке x1 не равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости (или независимости) этих функций на отрезке [x0; x1] ?

10.Детерминант Вронского для функций y1; : : : ; yn равен нулю при всех x . Могут ли быть эти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми?

11.Что можно сказать о детерминанте Вронского функций y1; : : : ; yn , если только известно, а) что они линейно зависимыми? б) что они линейно независимыми?

12.Доказать, что два решения уравнения y00 + p(x)y0 + q(x) = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении x , линейно зависи-

мыми.

13. Даны 4 решения уравнения y000 + xy = 0 , графики которых касаются друг друга

водной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений?

14.Доказать, что функции cos !x , sin !x , x cos !x , x sin !x образуют фундамен-

тальную систему решений линейного однородного уравнения yIV + 2!2y00 + !4y = 0

(! = const > 0 ).

Вкаждой из задач составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения

15. 1 , cos x .

16. x , x2 , ex .

17. ex , e¡x , sin x , cos x .

18. x2 , x5 .

Найти общие решения уравнений, используя формулу Лиувилля.

19.(x2 ¡ 1)y00 + (x ¡ 3)y0 ¡ y = 0 .

20.x2(ln x ¡ 1)y00 ¡ xy0 + y = 0 .

21.(x ¡ 1)y00 ¡ (x + 1)y0 + 2y = 0 .

22.x2(2 ln x ¡ 1)y00 ¡ x(2 ln x + 1)y0 + 4y = 0 .

Зная два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, найти его общее решение.

уравнения второго порядка, найти его общее решение.

Ответы

3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 7. Да. 8. Нет. 9. Линейно независимы. 10. Могут быть линейно зависимы или линейно независимы. 11. а) W ´ 0 , б) ничего нельзя сказать. 13. Два.

50