DRUN

где u(x) новая функция, уравнение (1.20) преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Подставляя после интегрирования вместо u его значение u = xy , получим общее решение уравнения.

Отдельно нужно рассмотреть случай u = u0 , если Á(u0) ¡ u0 = 0 . Уравнение вида

P (x; y)dx + Q(x; y)dy = 0

является однородным, если функции P (x; y) и Q(x; y) - однородные функции одного и того же измерения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

(x2 ¡ y2)dx + 2xydy = 0:

P (x; y) = x2 ¡ y2

и

Q(x; y) = 2xy

однородные функции второго измерения.

Делаем подстановку y = xu; dy = xdu + udx . Заданное уравнение перепишется в

виде

x2(1 ¡ u2)dx + 2x2u(xdu + udx) = 0;

x2((1 + u2)dx + 2xudu) = 0:

Отсюда x = 0; или

x = 0 является решением исходного уравнения. Уравнение (1.23) - уравнение с разделяющимися переменными

11

приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых

ax + by + c = 0;

kx + my + n = 0:

Если x0; y0 решение системы, то в переменных x1; y1 ,

x1 = x ¡ x0; y1 = y ¡ y0

уравнение однородное. Если же прямые параллельны, то делается замена

ax + by + c = z:

В некоторых случаях уравнение можно привести к однородному заменой y = zm . Число m подбирается из условия, чтобы полученное уравнение было однородным.

Пример 3. Решить уравнение x2yy0 + y4 = 2x2:

После замены y = zm получаем уравнение x2mz2m¡1z0+z4m = 2x2 , у которого степени однородности всех его слагаемых должны быть равны, то есть

2 + (2m ¡ 1) = 4m = 2

. Отсюда m = 12 . Замена y = z1=2 приводит уравнение к однородному.

z0 = ¡2 z2 + 4: x2

Задачи

Решить уравнения.

11.Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

12.Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

12

Ответы

1.5Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

13

µZ ¶

R R

y(x) = u(x)v(x) = e¡ p(x)dx q(x)e p(x)dxdx + C :

2. Метод вариации постоянной (метод Лагранжа).

Вначале находим общее решение однородного уравнения (уравнение (уравнение с разделяющимися переменными)

где C(x) произвольная дифференцируемая функция g(x):

После подстановки в (1.24), получаем уравнение для определения функции C(x)

C0(x) = q(x)eR p(x)dx;

где C –произвольная постоянная. Подставляя найденнную функцию C(x) в (1.31), получаем общее решение исходного уравнения (1.24)

y = ·C + Z q(x)eR p(x) dx dx¸e¡ R p(x)dx:

Пример 1. Решить уравнение

y0 + y cos x = 2xe¡ sin x:

Вначале находим общее решение однородного уравнения y0 + y cos x = 0;

y = Ce¡ sin x:

Решение исходного уравнения ищем в виде:

y = C(x)e¡ sin x:

Имеем:

C0(x)e¡ sin x ¡ cos xC(x)e¡ sin x + C(x)e¡ sin x cos x = 2xe¡ sin x; C0(x) = 2x;

14

C(x) = x2 + C:

Общее решение:

y = (x2 + C)e¡ sin x:

Некоторые уравнения становятся линейными, если переменную x считать функцией, а y аргументом. Например,

Отсюда

dxdy = x + y2

- линейное уравнение относительно неизвестной функции x(y):

1.6Уравнение Бернулли

При n = 1 уравнение (1.32) линейное, а при n = 0 - c разделяющимися переменными. В остальных случаях уравнение (1.32) преобразуется в линейное относительно новой

функции z(x)

z = y1¡n

Замечание. Уравнение Бернулли можно решать также как линейное уравнение с помощью подстановки y = u(x)v(x) (методом Бернулли), не вводя вспомогательную функцию z .

Пример 1. Найти общее решение уравнения Бернулли

xy0 ¡ y = ¡3x2y2

Решение. Преобразуем уравнение к виду y0 ¡ xy = ¡3xy2 . Воспользуемся подстановкой y = uv; y0 = u0v + v0u . Тогда

u0v + v0u ¡ uvx = ¡3xu2v2;

далее

u0v + u(v0 ¡ xv ) = ¡3xu2v2:

Приравниваем нулю выражение, стоящее в скобках

Найденное v = x подставим в уравнения для определения функции u(x) :

dudxx = ¡3xu2x2:

15

Сокращаем на x , разделяем переменные и интегрируем

Замечание. Окончательное нахождение общего решения рассмотренных типов уравнений (уравнений с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) сводится к вычислению интегралов. В таком случае говорят, что решение определяется (записывается) в квадратурах.

Рассмотрим уравнение общее решение которого в общем случае не записывается в квадратурах.

у полученного уравнения коэффициент при u будет равен нулю. Коэффициент при u2 не изменяется.

u0 = pu2 + r + p®2 + q® ¡ ®0:

Комбинируя обе подстановки, уравнение Риккати можно привести к виду

y0 = §y2 + R(x):

3) Если известно частное решение y = y1(x) , то заменой y = z + y1 уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. В этом случае общее решение уравнения Риккати выражается в квадратурах.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y0 ¡ 2xy + y2 = 5 ¡ x2:

Имеем уравнение Риккати. Частное решение можно пробовать искать например, в виде y1 = anxn + an¡1xn¡1 + : : : ; y1 = aebx; y1 = xan :

16

Ищем частное решение в виде

y = ax + b:

После подстановки в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного уравнения, получаем систему для определения

коэффициентов a и b

a + b2 = 5;

¡2a + a2 = 5:

Отсюда a = 1; b = §2 . Возьмем

y1 = x + 2:

Далее

y = z + x + 2:

После подстановки в исходное уравнение получаем относительно z уравнение Бернулли

z0 + 4z = ¡z2:

4

z = x + 2 + ce4x ¡ 1

его общее решение. Следует обратить внимание, что решение исходного уравнения y1 = x + 2 не содержится в полученном общем решении уравнения Бернулли.

Ответ:

4

z = x + 2 + ce4x ¡ 1; y = x + 2:

В общем случае общее решение уравнения Риккати не может быть выражено в квадратурах. Так для специального уравнения Риккати

y0 = ay2 + bx®

имеется схема определения тех значений ® при которых решение определяется в квадратурах. Для остальных значений ® доказано, что решение не может быть выражено в квадратурах от элементарных функций.

17

Решить уравнения Риккати.

17. xy0 ¡ (2x + 1)y + y2 = ¡x2 . 18. y0 + 2yex ¡ y2 = e2x + ex .

19.Найти решение уравнения y0 sin x¡y cos x = ¡x¡2 sin2 x; которое стремится к нулю при x ! 1 .

20.Найти решение уравнения y0 sin 2x = 2(y + cos x) , которое остается ограниченным

¼.

2

21. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная,

1.8Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x; y) , то есть

В предположении, что функции P (x; y) , Q(x; y) непрерывно-дифференцируемые в односвязной области, условие (1.35) справедливо тогда и только тогда, когда

18

'(y) – произвольная дифференцируемая функция. Подставляя U(x; y) из (1.38) во второе равенство из (1.37), получим уравнение для определения функции '(y) :

@©(x; y) + d' = Q(x; y): @y dy

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:

(x2 + y2 + x)dx + (2xy + ey + y)dy = 0;

P (x; y) = x2 + y2 + x; Q(x; y) = 2xy + ey + y;

Условие (1.36) выполняется - уравнение в полных дифференциалах. Из

1.9Интегрирующий множитель

Если уравнение (??) не является уравнением в полных дифференциалах (условие (1.36) не выполняется), то его можно с использованием интегрирующего множителя преобразовать в уравнение в полных дифференциалах.

Интегрирующим множителем для уравнения (??) называется функция m(x; y) 6= 0 , после умножения на которую оно превращается в уравнение в полных дифференциалах.

То есть для уравнения

mP dx + mQ dy = 0

уже выполняется условие

Если функции P (x; y); Q(x; y) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует.

19

После преобразования (1.39) получается уравнение для нахождения интегрирующего множителя m(x; y)

Общего метода нахождения решения уравнения (1.40) не имеется. В некоторых случаях его решение можно искать путем подбора. Например,

зависит только от y , то интегрирующий множитель можно искать в виде m = m(y): Замечание. В некоторых случаях общее решение уравнения (??) можно получить

выделяя в нем полные дифференциалы с помощью формул

y dx ¡ (4x2y + x) dy = 0:

Здесь P = y , Q = ¡(4x2y + x) ,

Py0 = 1; Q0x = ¡(8xy + 1)

не зависит от y . Поэтому, интегрирующий множитель ищем в виде m = m(x) и определяем его из уравнения (1.40):

xy2 dx ¡ (4y + x1 ) dy = 0:

Его решение.

xy + 2y2 = C:

20