DRUN

Если существует функция Грина, то в соответствии с (2.56) краевая задача эквивалентна неоднородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода

В случае f(x) = 0 краевая задача называется задачей Штурма-Лиувилля, которая имеет следующую формулировку:

Требуется найти отличные от нуля решения (собственные функции) дифференциального уравнения

L(y) = ¸y(x);

удовлетворяющие краевым условиям

®y0(x1) + ¯y(x1) = 0;

°y0(x2) + ±y(x2) = 0;

а также значений параметра ¸ ( собственные числа) при которых существуют такие решения.

Для уравнения с постоянными коэффициентами общее решение записывается в явном виде и задача Штурма-Лиувилля сводится к исследованию системы уравнений, которая получается после удовлетворения краевых условий.

Пример 3. Решить задачу Штурма-Лиувилля.

y00 = ¸y;

y(0) = y(¼) = 0:

Пусть ¸ < 0: В этом случае, как это следует из Примера 1 собственные числа

¸ = ¡n2; n =6 0;

собственные функции

y = c sin nx:

При ¸ = k2 > 0: Общее решение имеет вид

y = c1ekx + c2e¡kx; k > 0:

Удовлетворяя краевым условиям , получаем систему

c1 + c2 = 0; kc1 ¡ kc2 = 0;

которая при k 6= 0 имеет только нулевое решение. Таким образом, при ¸ > 0 задача Штурма - Лиувилля не имеет решений.

Пусть ¸ = 0: В этом случае

y = c1x + c2:

Удовлетворяя краевым условиям, получаем c1 = c2 = 0: И в этом случае задача Штурма - Лиувилля не имеет решений.

71

Ответ: Собственные значения - ¸ = ¡n2; n =6 0; собственные функции - y = c sin nx; n =6 0:

В общем случае, в соответствии с (2.56), задача Штурма - Лиувилля сводится к нахождению отличных от нуля решений однородного интегрального уравнения Фредгольма

Z x2

y(x) = ¸ G(x; s)y(s)ds:

x1

Здесь ¸ характеристические числа интегрального уравнения числа при которых интегральное уравнение имеет ненулевые решения.

Основываясь на теорию интегральных уравнений Фредгольма устанавливается, что

4: y00 = f(x(; y(0) = 0; y(1) = 0:

72

Глава 3

Разностные уравнения

3.1Основные определения

Пусть yn = y(n) - функция целочисленного аргумента n = 0; §1; §2; : : :

¢yn = yn+1 ¡ yn; ¢m+1yn = ¢(¢myn);

¢1yn = ¢yn; m = 1; 2; : : :

называются конечными разностями. Например,

¢2yn = ¢1(¢1yn) = ¢1(yn+1 ¡ yn) = yn+2 ¡ 2yn + yn¡1:

Справедлива формула

Если уравнение (3.3) содержит как yn , так и yn+m: то уравнение называется разностным уравнением m -го порядка. Пусть существует единственное решение задачи (1.41), (1.42), имеющее непрерывные производные до 4-го порядка. Будем искать приближённое решение yk рассматриваемой задачи в точках xk = a + kh; h = (b ¡ a)=N; k = 1; 2; :::; N ¡ 1:

Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка

73

Заменим производные, входящие в уравнение, разностными производными:

Пусть h достаточно мало. Пренебрегая величиной Rn(h) , получаем уравнение для определения приближённого решения рассматриваемой задачи :

Получили разностное уравнение второго порядка, Задача Коши для уравнения m - го порядка.

Требуется найти в точках n = m; n = m+1; : : : решение уравнения (3.3) по заданным значениям y0; y1; : : : ym¡1:

называется линейным разностным уравнением m - го порядка. Здесь fn = f(n) - задан-

ная функция, ak(n); k = 0; 1; : : : ; m - заданные коэффициенты, am(n) 6= 0; a0(n) 6= 0: Уравнение

Xm

y¹n = ckyn(k);

k=1

где yn(1); yn(2); : : : ; yn(m) m решений однородного уравнения с отличным от нуля определителем

74

ck - произвольные постоянные.

Система yn(1); yn(2); : : : ; yn(m) из m линейно независимых решений однородного уравнения (3.4) называется фундаментальной. Необращение в ноль определителя обеспечивает линейную независимость системы функций yn(1); yn(2); : : : ; yn(m) .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

yn = y¹n + yч;n;

где y¹n - общее решение однородного уравнения, yч;n - частное решение неоднородного уравнения.

3.2Решение задачи Коши для уравнения первого порядка

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

L(y) = a1(n)yn+1 + a0(n)yn = fn; y0 ¡ задано:

yn+1 = qn+1y0 + Xn qn¡k'k:

k=0

3.3Нахождение общего решения линейного однородного разностного уравнения n - го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Если искать его решение в виде

yn = qn;

75

то после его подстановки в уравнение приходим к характеристическому уравнению для определению величины q

Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени m: Построение общего решения зависит от структуры корней характеристического уравнения.

1. Все корни q1; q2; : : : ; qm характеристического уравнения действительны и различны. В этом случае система решений

yn(k) = qkn; k = 1; 2; : : : m

является фундаментальной и общее решение записывается в виде

Xm

y¹n = ckqkn:

k=1

2. Пусть qk действительный корень кратности r:

В этом случае ему соответствует r линейно независимых решений

qkn; nqkn; n2qkn; : : : nr¡1qkn:

3. Пусть qk = ½(cos ' + i sin ') комплексный корень кратности r: В этом случае ему соответствует 2r линейно независимых решений

½n cos n'; n½n cos n'; n2½n cos n'; nr¡1½n cos n'; ½n sin n'; n½n sin n'; n2½n sin n'; nr¡1½n sin n':

Рассмотрим однородное уравнение второго порядка.

a2yn+2 + a1yn+1 + a0yn = 0:

Записываем характеристическое уравнение

a2q2 + a1q + a0 = 0:

1. Дискриминант больше нуля - корни q1; q2 действительны и различны. Общее ре-

шение имеет вид‘

y¹n = c1q1n + c2q2n:

2. Дискриминант равен нулю - корни совпадают q1 = q2; кратность два. Общее реше-

ние имеет вид‘

y¹n = (c1 + c2n)q1n:

3. Дискриминант меньше нуля - имеем два комплексно - сопряженных корня

q1 = ½(cos ' + i sin '); q2 = ½(cos ' ¡ i sin '):

Общее решение имеет вид‘

y¹n = (c1 cos n' + c2 sin n')½n:

Пример 1. Найти общее решение уравнения

yn+2 ¡ 2pyn+1 + yn = 0; p > 0:

76

Записываем характеристическое уравнение

q2 ¡ 2pq + a0 = 0:

Его корни p

q1;2 = p § p2 ¡ 1:

Рассмотрим три случая.

1. 0<p<1. Дискриминант D = p2 ¡ 1 меньше нуля. Положим p = cos ® , тогда

D = cos2 ® ¡ 1 = ¡ sin2 ®; q1;2 = cos ® § i sin ®;

Общее решение

y¹n = c1 cos n® + c2 sin n®:

2. p > 1: Положим p = ch®: тогда

D = ch2® ¡ 1 = sh2®; q1;2 = ch® § sh® = e§®:

Общее решение:

y¹n = c1en® + c2e¡n®:

3. p = 1: q1;2 = 1: Корни совпадают. Общее решение:

y¹n = c1 + c2n:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

yn+2 ¡ yn+1 ¡ 6yn = 0:

Записываем характеристическое уравнение

q2 ¡ q ¡ 6 = 0:

Его корни q1 = ¡2; q2 = 3: Общее решение:

y¹n = c1(¡2)n + c23n:

Пример 3. Найти общее решение уравнения

yn+2 ¡ 4yn+1 + 4yn = 0:

Записываем характеристическое уравнение

q2 ¡ 4q + 4 = 0:

Его корни q1;2 = 2: Общее решение:

y¹n = (c1 + c2n)2n:

Пример 4. Найти общее решение уравнения

yn+2 ¡ 2yn+1 + 2yn = 0:

Записываем характеристическое уравнение

77

3.4 Нахождение частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.

L(y) = amyn+m + am¡1yn+m¡1 + : : : + a0yn = fn:

Пусть правая часть уравнения имеет специальный вид

X

j=s

Если ¾ является корнем характеристического уравнения, то s равняется его кратности, если ¾ не является корнем характеристического уравнения, то s равняется нулю.

Неизвестные коэффициенты ¯j определяются после подстановки (3.9) в исходное уравнение.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

yn+2 ¡ 6yn+1 + 8yn = 5n:

Записываем характеристическое уравнение

q2 ¡ 6q + 8 = 0:

Его корни q1 = 2; q2 = 4: Общее решение однородного уравнения

y¹n = c12n + c24n:

Так как 5 не является корнем характеристического уравнения, то s = 0 и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

yч;n = A5n:

После подстановки в уравнение, получаем

A(5n+2 ¡ 6 ¢ 5n+1 + 8 ¢ 5n) = 5n;

A5n(52 ¡ 6 ¢ 51 + 8) = 5n; 3A = 1; A = 13:

Общее решение неоднородного уравнения

y = c12n + c24n + 53n :

78

3.5Нахождение частного решения неоднородного решения методом вариации постоянных

Рассмотрим неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

Пусть

y¹n = c1yn(1) + c2yn(2)

3.6Краевые задачи

Рассмотрим уравнение второго порядка в виде

К такому виду приводится аппроксимация линейного дифференциального уравнения второго порядка при замене производных разностными отношениями.

Постановка краевой задачи. Требуется найти решение уравнения (3.11), удовлетворяющее краевым условиям

Если

an > 0; bn > 0: cn ¸ an + bn;

то краевая задача (3.11), (3.12) имеет единственное решение.

Соотношения (3.11),(3.12) является системой из N + 1 уравнений с N + 1 неизвестными y0; y1; :::; yN ; с трёхдиагональной матрицей:

79

Её специфика позволяет использовать следующий метод исключения, который называется методом прогонки.

Пусть

k=2,3,...,N. Далее находим yk по формуле (3.14), переходя от k+1 и k с учётом yN = ¹2 . Запишем окончательно формулы прогонки:

Задачи

Записать решение задач Коши

1.yn+1 = yn + d; y0 = a - арифметическая прогрессия.

2.yn+1 = qyn; y0 = b - геометрическая прогрессия.

3.2nyn+1 ¡ nyn = 1; yo = 2:

Найти общее решение уравнений

4.2yn+2 + 3yn+1 ¡ 5yn = 0:

5.4yn+2 + 6yn+1 + 9yn = 0:

6.yn+2 + yn = 0:

80