DRUN

4-102.2953 4-112.3053

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт космических и информационных технологий

И.И. Вайнштейн

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие по практическим занятиям

Красноярск

2008

Аннотация. В пособии рассматриваются методы исследования и нахождения решений обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Помимо стандартных методов нахождения общего решения основных типов дифференциальных и разностных уравнений, в пособии рассмотрены задачи на устойчивость, краевые задачи, задача ШтурмаЛиувилля, функция Грина. Рассмотрен метод прогонки нахождения решения краевой задачи для линейных разностных уравнений второго порядка. В пособии приводятся основные необходимые теоретические сведения для решения задач. По каждой теме приводятся с разъяснениями подробные решения характерных примеров, а также примеры с ответами для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплину "Дифференциальные и разностные уравнения"по направлению "Прикладная математика"220900.62. Оно будет полезно студентам и других специальностей, а также преподавателям при проведении практических занятий и специалистам, желающих освоить методы решения дифференциальных и разностных уравнений для решения прикладных задач.

2

Введение.

В цикле естественнонаучных дисциплин "Дифференциальные уравнения"изучаются либо как отдельная дисциплина, либо как обязательный раздел дисциплины "Математика". Вместе с разностными уравнениями для направления "Прикладная математика"220900.62, объединенный курс "Дифференциальные и разностные уравнения"изучается как отдельная дисциплина в течение одного семестра и состоит из 18 лекций и 9-ти практических занятий.

Условно "Дифференциальные и разностные уравнения"можно разделить на два раздела; первый - теоремы о существования и единственности решения различных задач с изучением свойств их решений (изучается на лекциях), второй - методы нахождения решений задач (изучается на практических занятиях).

Небольшое количество практических занятий и важность дисциплины при изучении смежных дисциплин, требует хорошего методического обеспечения как для изучения материала на практических занятиях, так и для самостоятельной работы студентов.

Всвязи с этим в учебном пособие рассматриваются темы и задачи дисциплины "Дифференциальные и разностные уравнения"в первую очередь важные для решения задач прикладной математики.

Впособии рассматриваются стандартные методы нахождения общего решения основных типов дифференциальных уравнений, такие как; уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, Риккати, в полных дифференциалах (вместе

синтегрирующим множителем), уравнения не разрешенные относительно производной, уравнения Клеро, Лагранжа, нахождение особых решений, уравнения n¡ го порядка, линейные уравнения n¡ порядка, системы дифференциальных уравнений. Для разностных уравнений, которые возникают при нахождении приближенных решений задач уравнений математической физики, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями с частными производными, в пособии рассмотрены решения основных характерных задач, которые по постановке близки к задачам теории дифференциальных уравнений.

Для решения наиболее часто встречающихся прикладных задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в пособие включены задачи на устойчивость, краевые задачи, задача Штурма-Лиувилля, функция Грина. Рассмотрен метод прогонки решения краевой задачи для линейных разностных уравнений второго порядка, который имеет важное значении в теории разностных схем.

Всвязи с небольшим количеством практических занятий, ряд методов решения других важных задач вынесен в качестве примеров в пособие для самостоятельной работы студентов. Это графическое построение интегральных кривых с помощью изоклин, построение приближенного решения задачи Коши методом последовательных приближений и оценка точности , исследование поведения интегральных кривых в окрестности особых точек, нахождение общего решения и решения задачи Коши для квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.

Впособии приводятся основные необходимые теоретические сведения для решения задач. По каждой теме приводятся с разъяснениями подробные решения характерных примеров, а также примеры с ответами для самостоятельного решения.

При написании пособия в качестве основного задачника взят "Сборник задач по дифференциальным уравнениям"(автор А.Ф. Филиппов), который в течение многих лет является основным задачником при проведении практических занятий в классических университетах по математическим специальностям.

3

Заключение Дисциплина "Дифференциальные и разностные уравнения"является основополагаю-

щей в обучении по направлению "Прикладная математика"220900.62.

Имеется большое количество проблем, задач, решение которых имеет важное значение как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для решения многих важнейших научных, технических, социально экономических задач.

Всвязи с этим в последующие издания пособия можно было бы включить (для ознакомления) нерешенные задачи, задачи повышенной трудности, задачи для тем бакалаврских и магистерских работ.

Вслучае увеличения часов для практических занятий можно добавить в пособие задачи по другим важным разделам теории дифференциальных и разностных уравнений. Например, задачи на колебания, задачи на асимптотику, задачи аналитической теории дифференциальных уравнений (специальные функции), периодические решения.

Вдальнейшем желательно изучать дифференциальные и разностные уравнения по отдельным дисциплинам.

4

Полученная функция y и будет являться решением дифференциального уравнения (1.3). Придавая константе C различные числовые значения, получим множество решений уравнения (1.3).

Рассмотрим задачу, приводящую к решению дифференциального уравнения. Пример 1. По закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропор-

циональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Пусть T (t) -температура тела в момент времени t . Начальная температура тела

µ ¶

T (0) = T0 , а температура окружающей среды постоянна и равна Tc; Tc · T0 . Найдём зависимость температуры тела от времени охлаждения . T > Tc . Скорость охлаждения

где k коэффициент пропорциональности, зависящий от теплофизических свойств тела и его размеров. Знак минус в уравнении (1.4) указывает на то, что с возрастанием t температура тела T уменьшается. Преобразуем уравнение (1.4) к виду

Непосредственной проверкой можно убедиться, что полученная функция является решением уравнения (1.4).

Удовлетворим условию T (0) = T0 . Подставляя значения t = 0 в решение (1.6), найдём произвольную постоянную C . Тем самым решение задачи будет удовлетворять начальному условию.

C = T0 ¡ Tc:

Окончательно

T (t) = Tc + (T0 ¡ Tc) ¢ e¡kt:

1.2Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде

6

Постановка задачи Коши. Требуется найти решение дифференциального уравне-

где x0 и y0 заданные числа.

Геометрический смысл задачи Коши заключается в нахождении решения при дополнительном условии, что его график (интегральная кривая дифференциального уравнения) проходит через заданную точку M0(x0; y0) .

Если найдено общее решение

©(x; y; C) = 0;

то для нахождения решения задачи Коши достаточно определить постоянную C , удовлетворяя начальному условию (1.9) из уравнения

©(x0; y0; C) = 0:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть в прямоугольнике D ( jx ¡ x0j · a , jy ¡ y0j · b ) функция f непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y :

jf(x; y1) ¡ f(x; y2)j · kjy1 ¡ y2j;

k = const Тогда на отрезке x0 ¡ d · x · x0 + d существует единственное решение

задачи Коши для уравнения

y0(x) = f(x; y(x));

Замечание. Если только требовать непрерывность функции f(x; y) в области D , то решение задачи Коши существует, но при этом решение может не быть единственным.

1.3Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение

y0(x) = f(x; y)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если

f(x; y) = f1(x)f2(y):

7

4. Интегрируя обе части уравнения (1.13), получаем общий интеграл уравнения, запи-

Если уравнение f2(y) = 0 имеет действительные корни yk , то функции y = yk являются решениями исходного уравнения (1.10), и нужно проверить (чтобы не потерять решения) содержатся ли они в полученном общем решении - за счет выбора постоянной С. В случае, если при некоторых k функции y = yk не содержатся в общем решении (1.14), то их следует включить в состав решения.

Дифференциальное уравнение первого порядка в форме

Разделим обе части уравнения (1.16) (разделяем переменные) на произведение

Ã1(y)Á2(x); [Ã1(y) =6 0; Á2(x) =6 0];

получим уравнение

Интегрируя почленно уравнение (1.18), получим общий интеграл уравнения (1.16):

Если уравнения

Ã1(y) = 0; Á2(x) = 0;

имеют корни yk; xi; то функции y = yk; x = xi являются решениями исходного уравнения (1.16), и нужно проверить содержатся ли они в полученном общем решении - за счет выбора постоянной С. В случае, если при некоторых k и i они не содержатся в общем решении (1.21),то их следует включить в состав решения.

8

y = 0 является решением исходного уравнения и не содержится в общем ни при каких значениях постоянной C:

Ответ:

1

y = (x ¡ 1)2 + C ; y = 0:

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

x(1 ¡ y2)dx + y(1 ¡ x2)dy = 0:

Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на величину (1 ¡ y2)(1 ¡ x2) :

12 ln jx2 ¡ 1j + 12 ln jy2 ¡ 1j = 12 ln jCj:

Преобразовав выражение, получим

которые являются решениями исходного уравнения и входят в решение (1.19) если C=0.

Ответ:

(y2 ¡ 1) ¢ (x2 ¡ 1) = C;

C -произвольная постоянная.

Уравнение вида

dxdy = f(ax + by + c)

приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

z = ax + by + c:

9

1.4 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

называется однородным, если функция f(x; y) однородная функция нулевого измерения.

1.4.1 Решение однородного уравнения

По условию функция f(x; y) однородная нулевого измерения:

10