4.10 Определение статистических ошибок и достоверности разности между средними двух выборок

При сравнении средних арифметических двух генеральных со­вокупностей любая разность между ними будет достоверна. В ве­теринарии, зоотехнии и т. д. приходится сравнивать между собой средние величины не генеральных совокупностей, а выборочных (породы, линии, семейства, опытная и контрольная группы и т. д.). Поэтому необходимо установить достоверность разности между средними двух групп. Недостаточно, например, знать, что 20 дочерей какого-то производителя превосходят по удою своих матерей. Следует, кроме того, вычислить критерий достоверности разности, чтобы с определенной вероятностью судить о том, что следующие 100, 200 и т. д. дочерей этого производителя также будут превосходить по молочности своих матерей в аналогичных условиях. Для оценки достоверности разности между средними арифметическими двух выборочных совокупностей применяется критерий достоверности (td), который вычисляют по формуле

гд еmi, тг — ошибки сравниваемых выборочных средних арифметических х\, xj; d —разность между средними арифметическими х\, хг; пи —средняя ошибка выборочной разности; /« — стандартное значение критерия, определяемое по таб­лице Стьюдента (табл. 13) с учетом числа степеней свободы (v) для трех уровней вероятности; щ, т — численность сравниваемых групп.

Ошибки выборки – разность между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Для среднего значения ошибка будет определяться по формуле

(7.1)

где 

Величина  называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки – величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

4.11 Использование критерия хи-квадрат

Критерий хи-квадрат может быть применен и для выявления сходства или различия внутри одной, но численно достаточно большой выборки. В этом случае вычленяются показатели (а их может быть два и больше), по которым и осуществляется сравнение. Этот аспект применения критерия хи-квадрат сближает его с коэффициентом корреляции, который также находит степень связи между двумя или большим числом признаков. Различие между этими двумя методами, прежде всего, в том, что для подсчета коэффициента корреляции необходимо знать все величины сравниваемых признаков, а для использования критерия хи-квадрат важно знать только уровни (градации) сравниваемых признаков.

При сравнении показателей с помощью критерия хи-квадрат нулевая гипотеза Н₀ звучит так: сравниваемые признаки не влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связи нет, корреляция не отличается от нуля.

Соответственно альтернативная гипотеза Н₁ звучит следующим образом: сравниваемые признаки влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связь есть, корреляция значимо отличается от нуля.

В этих случаях применение критерия хи-квадрат основывается на использовании так называемых многопольных таблиц или, как их еще называют, таблиц сопряженности, т. е. таких таблиц, эмпирические данные в которых представлены размерностью большей, чем 2×2.

В этом случае расчет эмпирического значения критерия хи-квадрат может осуществляться по следующим двум формулам:

, (13.10)

где d_i – разность между эмпирическими и «теоретическими» частотами;

f_mi – есть вычисленная, или «теоретическая» частота.

, (13.11)

где k – число строк многопольной таблицы;

m – число столбцов многопольной таблицы;

N – общее число значений (элементов) в многопольной таблице, оно всегда является произведением N = k ∙ m;

С_ij – элементы многопольной таблицы;

С_i – суммарные значения по строкам многопольной таблицы;

С_j – суммарные значения по столбцам многопольной таблицы.