2021_082
.pdfМИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д.Н. Прянишникова»
Н.А. Кузьмина
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся
Пермь
ИПЦ «Прокрость»
2021
УДК 51
ББК 22.1 К 893
Рецензенты:
В.Д. Галкин – доктор технических наук, профессор, декан инженерного факультета ФГБОУ ВО Пермского ГАТУ;
В.В. Аюпов – кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ.
К 893 Кузьмина, Н.А.
Двойные и тройные интегралы: методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся / Н.А. Кузьмина; Министерство сельского хозяйства Российской Федерации, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский аграр- но-технологический университет имени академика Д.Н. Прянишникова».
– Пермь : ИПЦ «Прокростъ», 2021. – 78 с ; 21 см. – Библиогр.: с. 77-78. – 30 экз. –Текст : непосредственный
Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся содержат учебные материалы по разделу «Двойные и тройные интегралы» дисциплины «Математика» и полностью соответствуют рабочей программе этой дисциплины.
Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся предназначены для обучающихся направления подготовки 35.03.06 Агроинженерия, а также могут быть полезны и другим обучающимся очной и заочной форм обучения, изучающим дисциплину «Математика».
УДК 51
ББК 22.1
Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся «Двойные и тройные интегралы» рекомендованы к изданию методической комиссией инженерного факультета ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ, протокол № 8 от «13» апреля 2021 г.
© ИПЦ «Прокрость» 2021
© Кузьмина Н.А., 2021
Содержание |
|
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………4 |
|
1 ОРГАНИЗАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ ВИДЫ |
|
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПРИ |
|
ИЗУЧЕНИИ РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ ................................................ |
5 |
2 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ |
|
ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ ............................................... |
6 |
3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ПО ДВОЙНЫМ И |
|
ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ...................................................................... |
7 |
3.1 Теоретический материал по двойным интегралам............... |
7 |
3.1.1 Определение двойного интеграла.................................... |
7 |
3.1.2 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе |
|
координат............................................................................................. |
10 |
3.1.3 Замена переменных в двойных интегралах .................. |
19 |
3.1.4 Применение двойного интеграла ................................... |
23 |
3.2 Теоретический материал по тройным интегралам ............. |
34 |
3.2.1 Определение тройного интеграла .................................. |
34 |
3.2.2 Вычисление тройного интеграла в декартовой системе |
|
координат............................................................................................. |
36 |
3.2.3 Замена переменных в тройном интеграле..................... |
40 |
3.2.4 Применение тройного интеграла ................................... |
44 |
4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПРИ |
|
ПОДГОТОВКЕ К ТЕКУЩЕМУ КОНРОЛЮ И |
|
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО |
|
ДИСЦИПЛИНЕ ......................................................................................... |
50 |
4.1 Рекомендации при подготовке к текущему контролю и |
|
промежуточной аттестации...................................................................... |
50 |
4.2 Задания, подлежащие выдачи на практических занятиях для |
|
самостоятельного выполнения домашней контрольной работы ......... |
51 |
4.3 Вопросы для подготовки к экзамену по разделу «Двойные и |
|
тройные интегралы» ................................................................................. |
72 |
4.4 Тест для подготовки к экзамену по разделу «Двойные и |
|
тройные интегралы» ................................................................................. |
73 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................... |
76 |
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ ....................... |
77 |
БАЗЫ ДАННЫХ, ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЕ И |
|
ПОИСКОВЫЕ СИСТЕМЫ ...................................................................... |
77 |
3
Введение
Методические рекомендации предназначены для организации самостоятельной работы обучающихся по разделу «Двойные и тройные интегралы» дисциплины «Математика» обучающихся по направлению подготовки 35.03.06 Агроинженерия.
Цель методических рекомендаций для самостоятельной работы обучающихся заключается в углублении и проверке знаний, умений и навыков вычисления двойных и тройных интегралов, усвоенных ими при контактной работе с преподавателем и при изучении учебной литературы.
Процесс подготовки обучающихся предусматривает формирование компетентностного подхода к обучению и освоению учебного плана. Настоящие методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся соответствуют содержанию рабочей программы дисциплины «Математика» и ОПОП ВО по направлению подготовки 35.03.06 Агроинженерия.
Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся содержат теоретический материал с подробно разобранными примерами, задания, подлежащие выдачи на практических занятиях для самостоятельного выполнения домашней контрольной работы, вопросы для самоконтроля, задания для самостоятельной работы, вопросы для подготовки к экзамену по разделу «Двойные и тройные интегралы», а также тест по разделу «Двойные и тройные интегралы». Справочно-библиографический аппарат учебного издания включает список рекомендуемых источников, а также базы данных, информационно-справочные и поисковые системы.
4
1 ОРГАНИЗАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
Самостоятельная работа - планируемая учебная работа, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия.
Задачами организации самостоятельной работы обучающихся являются:
-развитие способности работать самостоятельно;
-формирование самостоятельности мышления и принятия решений;
-стимулирование самообразования;
-развитие способности планировать и распределять свое время.
К основным видам самостоятельной работы относятся:
-чтение основной и дополнительной литературы по дисциплине,
-оставление конспекта по вопросам разделов и тем дисциплины;
-ответы на вопросы для самоконтроля,
-подготовка к практическим занятиям,
-решение задач по теме;
-выполнение домашней контрольной работы,
-ответы на вопросы для подготовки к экзамену.
Для организации самостоятельной работы необходимы следующие условия:
-готовность обучающихся к самостоятельному труду;
-мотивация получения знаний;
-наличие и доступность всего необходимого учебнометодического и справочного материала;
-система регулярного контроля качества выполненной самостоятельной работы;
-консультационная помощь преподавателя.
5
2 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
В ходе самостоятельной работы при изучении раздела «Двойные и тройные интегралы» дисциплины «Математика» обучающимся рекомендуется, используя основные учебники и дополнительную литературу, а также материал, представленный в данных методических рекомендациях. Составить конспект по темам, выписать основные термины и теоремы, ответить на вопросы для самоконтроля и выполнить задания для самостоятельной работы. Особо значимые места – это примеры, приведенные в каждой теме раздела «Двойные и тройные интегралы» методических рекомендаций. Необходимо после прочтения теоретического материала, разобраться в решении каждого примера и законспектировать его.
К самостоятельному выполнению заданий и ответу на вопросы для самоконтроля следует приступать после прочтения теоретического материала методических рекомендаций. При возникновении затруднений с выполнением самостоятельных заданий обучающийся может проконсультироваться с преподавателем.
При первом ознакомлении с каким-либо разделом рекомендуется прочитать его целиком, стараясь уловить логику и основную мысль автора. При вторичном прочтении целесообразно акцентировать внимание на основных, ключевых вопросах раздела. При этом рекомендуется законспектировать неясные вопросы, чтобы задать их преподавателю. Контроль результатов работы осуществляется в виде ответов на вопросы для самоконтроля и решения заданий для самостоятельной работы. Если в процессе самостоятельной работы возникают затруднения (непонимание отдельных положений раздела, трудности в решении задач и др.), обучающемуся следует обратиться за консультацией на кафедру к преподавателю, ведущему занятия в соответствующей группе. Основная форма контроля знаний по окончании изучения дисциплины
– это выполнение домашней контрольной работы и подготовка к экзамену по данному разделу.
6
3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ПО ДВОЙНЫМ
ИТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ
3.1Теоретический материал по двойным интегралам 3.1.1 Определение двойного интеграла
Рассмотрим в плоскости Oxy замкнутую область D , |
|
ограниченную линией |
L . Разобьем эту область какими- |
нибудь линиями на n |
частей S1 |
, S2 |
,…, Sn (причем теми же |
символами S1 , S2 ,…, |
Sn |
будем обозначать и площади соот- |
ветствующих частей). |
|
|
Обозначим через |
|
наибольший из диаметров элемен- |
тарных областей Si |
и будем называть рангом дробления. |
||||||
Пусть в области |
D задана функция |
z f (x, y) . Выберем |
|||||
в каждой |
части Si |
области |
точку Pi |
. Обозначим через |
|||
f (P1 ) , f (P2 ) ,…, f (Pn ) |
значения |
этой функции |
в выбранных |
||||
точках и |
составим |
|
сумму |
произведений |
вида |
f (Pi ) Si : |
|
|
|
n |
|
|
V |
|
|
f (P ) S |
i |
n |
|
i |
||
|
|
i 1 |
|
|
.
Рисунок 1 - Разбиение области
D
n
Определение 1. Сумма вида Vn f (Pi ) Si называется
i 1
интегральной суммой для функции f (x, y) в области D .
Определение 2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм при n и 0 , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi
7
в них,
f (x, y)
то он называется двойным интегралом от
|
|
и обозначается f (x; y)dS lim |
n |
|
по области |
D |
|
||
|
|
D |
n |
i 1 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
функции
f (Pi ) Si .
Функция f (x, y) называется интегрируемой в области
D
, область
D
– областью интегрирования,
x
и
y
– пере-
менными интегрирования, dS – элементом площади. Теорема 1 (существования двойного интеграла). Если
подынтегральная функция
f (x, y)
непрерывна в каждой точке
простой замкнутой области
D
, то она в этой области инте-
грируема. (Без доказательства).
Замечания:
1.Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
2.Из определения двойного интеграла следует, что для
интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными осям координат.
Рисунок 2 - Разбиение области D линиями, параллельными осям координат
При этом Si xi yi , и определение двойного интеграла в декартовой системе координат можно записать в виде:
8
D
|
n |
|
f (x; y)dxdy lim |
|
|
n |
i 1 |
|
0 |
||
|
f
(x |
; |
i |
|
y |
) x |
y |
i |
i |
i |
|
.
Свойства двойного интеграла
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1. |
dS S , так как |
Si S . |
|
||||||
|
D |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
2. |
|
cf (x; y)dxdy c |
|
f (x; y)dxdy , c const . |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
3. |
|
( f1(x; y) f2 (x; y))dxdy |
f1(x; y)dxdy |
||||||
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
D |
|
D |
f |
2 |
(x; |
|
|
y)dxdy
.
4. Если область
D
разбить линией на две области
D1
и
D2 |
такие, |
что |
лишь |
из |
|
|
f (x; y)dxdy |
|
D |
|
D |
|
|
1 |
D1 |
D2 D , а |
пересечение D1 и D2 |
состоит |
|
|
линии, |
их |
разделяющей, |
то |
f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy . |
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
то и
5. Если в области |
D |
имеет место неравенство |
|||
f (x; y)dxdy 0 |
. Если в области |
D |
функции |
||
D |
|
|
|
|
|
f
(x, y) f (x, y)
0, |
и |
(x, y) |
удовлетворяют |
f (x; y)dxdy (x; y)dxdy |
|
D |
D |
неравенству
.
f
(x, y)
(x,
y)
,
то и
D
6.Если функция
,площадь которой
f (x, y) непрерывна в замкнутой области
S , то |
mS f (x; y)dxdy MS , где m и M |
|
D |
соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области D .
7. Если функция |
f (x, y) непрерывна в замкнутой области |
||||
D , площадь которой S , то в этой области существует такая |
|||||
|
0 |
0 |
|
|
0 0 |
точка |
(x |
, y |
) , что |
|
f (x; y)dxdy f (x ; y )S , где величину |
D
f (x |
; y |
) |
1 |
|
|||
0 |
0 |
|
S |
|
|
|
ции f (x, y)
|
называют средним значением функ- |
f (x; y)dxdy |
|
D |
|
в области D .
9
3.1.2 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Определение 3. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy , ес-
ли любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy , пересекает границу D в двух точках.
Рисунок 3 - Область, простая в направлении оси
Oy
Рисунок 4 - Область, не являющаяся простой в направлении оси Oy
Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Oх : любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх , пересекает границу D в двух точках.
Рисунок 5 - Область, простая в направлении оси Oх
Рисунок 6 - Область, не являющаяся простой в направлении оси Oх
10