Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

2021_082

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.01.2024
Размер:
3.23 Mб
Скачать
☆

12.

13.

14.

15.

V :

x

2

z

2

6 y ,

 

y 8.

 

 

 

 

V :

 

 

 

 

 

2x y

2

z

2

,

 

 

 

 

 

 

 

y2 z2 4 , x 0 .

 

 

 

 

V :

 

 

4 y

x

2

z

2

,

 

 

 

 

 

 

x2 z2 16 , y 0 .

 

 

 

V :

z

2

y

2

8x ,

 

x 2.

 

 

 

27.

28.

29.

30.

V

:

 

 

 

z 2

 

x

2

y

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

9

, z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

V

:

x

2

y

2

2z ,

 

z 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

:

 

 

 

 

z

 

x2

y2 ,

z 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

:

 

 

 

 

 

z x

2

y

2

,

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

4

, z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 14. Вычислить момент инерции относительно указанной оси координат однородного тела, ограниченного данными поверхностями.

Вариант

 

 

 

Задание

 

 

Вариант

 

 

 

 

 

Задание

 

 

1.

V : y2 x2

z2 ,

y 4

,

16.

V

:

2 y x2

 

z2

,

 

 

 

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

,

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

V : x y

2

z

2

,

 

x 2,

 

17.

V

:

x

2

y

2

 

z

2

,

 

x 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

V :

y

2

x

2

z

2

,

y 2

,

18.

V

:

2z x

2

 

y

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

,

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

V : x y

2

z

2

,

 

x 2,

 

19.

V

:

x

2

y

2

 

z

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

z

2

4

 

, x 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

V : x

2

y

2

z

2

,

x 2

,

20.

V :

2z x

2

 

y

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 4 ,

z 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

V :

y x

2

z

2

,

 

y 2 ,

 

21.

V

:

z

2(x

2

y

2

)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

,

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

V : x2

y

2

z

2

,

x 3

,

22.

V

: x 1 y2

z2 ,

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 , Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

V : x y2

z2 ,

 

x 3 ,

 

23.

V :

y 4 x2

z2

,

 

 

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0 , Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

V :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

V : x 3( y2 z2 ) ,

 

71

10.

11.

12.

13.

14.

15.

y 2

 

 

x

2

z

2

,

y 2 ,

 

 

 

 

 

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

: y x2 z2 ,

y 3,

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

:

x

2

y

2

z

2

,

 

 

 

 

 

 

y

2

z

2

1,

x

0

, Ox .

 

 

V

:

x y

2

 

z

2

,

 

 

 

 

 

 

 

y

2

z

2

1,

x

0

, Ox .

 

 

V

:

z

2

x

2

y

2

,

z 3,

 

 

 

 

 

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

:

z x

2

 

y

2

,

z 3,

 

 

 

 

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V :

y

2

x

2

z

2

,

 

 

 

 

 

x

2

z

2

4

,

 

y 0 ,Oy .

 

 

 

25.

26.

27.

28.

29.

30.

x 3 , Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

V : z 9 x

2

z

2

,

 

 

 

 

z 0 , Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4 x2 y2 , z 2

,

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V : z 3(x

2

y

2

)

,

 

 

 

 

 

z 3, Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 z2 y2 , x 2

,

Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V : y 3(x

2

z

2

)

,

 

 

 

 

y 3, Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

V : z 3 x

2

z

2

,

 

 

 

 

z 0 , Oz .

4.3 Вопросы для подготовки к экзамену по разделу «Двойные и тройные интегралы»

1.Двойной интеграл: определение и условия существо-

вания.

2.Свойства двойного интеграла.

3. Двойной интеграл. Правильная область.

4.Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

5.Замена переменных в двойном интеграле.

6.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

7.Приложения двойного интеграла. Решение задач математики и механики с помощью двойного интеграла (объем тела, площадь поверхности, центр тяжести плоской пластинки, статические моменты).

72

8.Тройной интеграл. Свойства тройного интеграла.

9.Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной системе координат.

10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.

11.Вычисление тройного интеграла в сферической системе координатах.

12.Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

13.Вычисление тройного интеграла. Решение задач математики и механики с помощью тройного интеграла (масса тела, статические моменты, центр тяжести тела, моменты инерции).

4.4 Тест для подготовки к экзамену по разделу «Двойные и тройные интегралы»

1. Область D ограничена линиями: x 1 Интеграл по этой области от функции f (x; y) вариант ответа, уровень сложности – легкий):

,

y x

2

,

y

 

имеет вид

 

x .

(один

1 x2

1) dx f (x;

0

 

x

 

 

 

 

1

 

x

2

 

 

 

 

 

4)

dx

f

 

1

 

 

x

 

y)dy ; 2)

(x; y)dy ;

1

1

 

x2

1

dx

f (x; y)dy ; 3)

dx f (x; y)dy ;

 

1

 

 

 

 

0

 

x

0

5) нет правильного ответа.

2. Область интегрирования представлена на рисунке.

73

Для двойного интеграла по этой области

f (x; y)dxdy D

повторный интеграл имеет вид (один вариант ответа, уровень сложности – легкий):

 

1

1)

 

1 dу

f

(x;

y)dх

; 2)

1

2 х

dx

f

(x;

y)dy

; 3)

2

1

dx

f

(x;

y)dy

;

0

у

 

0

х

 

 

 

 

1

2 у

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4)

dу

f (x; y)dх ; 5)

dу

 

 

0

у

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

3. Если в повторном интеграле

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

0

 

у

 

 

 

 

 

f (x; y)dх .

у

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

dx

f (x; y)dy

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

изменить

порядок интегрирования, то он будет иметь вид (один вариант ответа, уровень сложности – легкий):

 

1

1

1

 

y

 

1)

dy f (x; y)dx ; 2) dy f (x;

 

0

0

0

y2

1 y

4)dy f (x; y)dx ; 5)

 

1

y2

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

4. Интеграл

dx (2x

2

y 3y

2

x)dy

 

 

 

0

0

 

 

 

 

1 y2

y)dx ; 3) dy f (x; y)dx ;

 

 

0

y

 

1

1

 

 

 

dy

f (x; y)dx .

0

y

 

 

 

равен (один вариант от-

вета, уровень сложности – средний)

 

1)

 

1 ; 2)

 

1

; 3)

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

5. Если в интеграле

 

 

 

 

x

 

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

чена линиями:

y x ,

x

2

y

2

 

4 , x

 

 

 

переменных, то он будет иметь уровень сложности – средний):

2

; 4)

2

; 5) 1.

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

dxdy , где область

D

ограни-

0 ,

y 0

выполнить замену

вид (один вариант ответа,

 

 

 

 

4

2

1)

sin d dr

 

0

0

; 2)

 

 

4

2

cos d dr

0

0

22

;3) sin d dr ;

0

4

74

2 2

4)cos d dr ; 5)

0

4

 

 

4

2

cos d rdr

0

0

.

6.

Значение

интеграла

(4xy 3x

2

y

2

)dxdy

по

области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

D :{x 1, y x

2

, y

x}

равно (один вариант ответа,

уровень

 

 

сложности – средний)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

1; 2)

0

; 3) 1; 4) 2 ; 5)

2 .

 

 

7.

Объем

 

тела,

 

ограниченного

поверхностями

x y z 1,

z 0 ,

x 0

, y 0 равен (один вариант ответа, уро-

вень сложности – сложный)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

1

; 2)

4

; 3)

24

; 4)

3 ; 5) нет правильного ответа.

 

6

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Интеграл

D

y

2

 

cos(xy)dxdy

, где область ограничена ли-

ниями x 0 , y x вень сложности –

,

y

, равен

сложный)

 

 

1) 1

; 2)

1

; 3) -

 

2

 

 

 

 

(один

1

; 4)

 

вариант ответа, уро-

1

; 5)

0 .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Площадь фигуры, ограниченной

линиями y 2 x ,

 

 

 

y

x , x 4, равна (один вариант ответа, уровень сложности

– сложный)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

8

; 2) нет правильного ответа; 3)

16

; 4)

1

; 5)

24

.

 

 

 

6

3

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Объем тела,

z x2 y2 ,

x2 y2 1, z 0

вень сложности – сложный)

ограниченного поверхностями равен (один вариант ответа, уро-

1)

; 2)

23 ; 3)

32 ; 4)

2 ; 5)

2

.

Ответы к тесту

задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ответ

1

5

2

1

4

2

1

3

3

1

75

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для формирования навыков вычисления двойных и тройных интегралов в процессе самостоятельной работы обучающихся рекомендовано:

-активно исследовать рекомендованную литературу, законспектировать ответы на вопросы для самоконтроля, решить задачи, предложенные для самостоятельного решения;

-закрепить навыки вычисления двойных и тройных интегралов путем самостоятельного решения заданий, подлежащих выдачи на практических занятиях;

-пройти пробное тестирование по тестовым заданиям для завершения подготовки к экзамену.

Реализация требований Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 35.03.06 Агроинженерия, подразумевает качественную и эффективную организацию самостоятельной работы обучающегося. На данный вид работы отводится значительное количество часов. Поэтому учебным планом предусмотрено выполнение домашней контрольной работы с целью повышения уровня знаний, приобретенных в контактной работе с преподавателем.

С целью оптимизации поиска информационных источников обучающемуся рекомендуется использовать не только учебную литературу, представленную в библиотечных фондах, но и находящуюся в электронных библиотечных системах (ЮРАЙТ, РУКОНТ, ЛАНЬ и т.д.), электронных периодических справочниках и справочно-правовых системах.

76

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ Основная:

1.Баврин, И. И. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебник и практикум для академического бакалавриата / И. И. Баврин. — 2-

еизд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 327 с. — (Бакалавр. Академический курс). — Режим доступа : http://urait.ru/bcode/407102 – Загл. с экрана.

2.Ильин, В. А. Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 2 [Электронный ресурс]: учебник для академического бакалавриата / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2018. —– Режим доступа : http://www.biblioonline.ru/bcode/420749 – Загл. с экрана.

3.Кытманов, А. М. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие для бакалавров / А. М. Кытманов. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 607 c. — (Бакалавр. Академический курс). — Режим доступа : http://urait.ru/bcode/406659 – Загл. с экрана.

Дополнительная:

1.Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов : в двух частях. Часть 2 / П. Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – Москва : Мир и Образование, 2016. – 448 с.

2.Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ: Учебное пособие. 2-е изд., стер. – Спб.: Издательство «Лань», 2021. – 448 с.

–ISBN 978-5-8114-0700-2/ – Текст: электронный // Лань : электронно-

библиотечная система. –URL : https://e/lanbook.com/book/167686

3.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учебник : в 2 частях. Часть 2 / Д. Т. Письменный. – 11-е изд. – Москва : Айрис-

Пресс, 2015. – 252 с.

БАЗЫ ДАННЫХ, ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЕ И ПОИСКОВЫЕ СИСТЕМЫ

1.Электронный каталог библиотеки Пермского ГАТУ: базы данных, содержащие сведения о всех видах литературы, поступающей в фонд библиотеки Пермского ГАТУ : [сайт]. – Пермь, 2005 – . – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/webirbis/.

2.Электронная библиотека / Пермский государственный аграрнотехнологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова : [сайт]. – Пермь, 2014– . – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

77

3.ConsultantPlus (КонсультантПлюс) : компьютерная справочноправовая система. – Москва, 1992– . – Режим доступа: для авторизированных пользователей.

4.Юрайт : электронно-библиотечная система: [сайт].– Москва,

2013– . –URL:www.biblio-online.ru. – Режим доступа: для зарегистрирован-

ных пользователей.

5.Лань :электронно-библиотечная система : [сайт]: [коллекции «Ветеринария и сельское хозяйство», «Лесное хозяйство и лесоинженерное дело», «Инженерно-технические науки», «Информатика», «Технологии пищевых производств»].– Санкт-Петербург, 2011– . –URL: http://e.lanbook.com/. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

6.eLIBRARY.RU : научная электронная библиотека : [сайт]. – Москва, 2000– . –URL: http://elibrary.ru/. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

7.Polpred.com (Полпред.ком) : электронно-библиотечная система: [сайт]: [доступ к электронным изданиям «Агропром в РФ и за рубежом»].– Москва, 2007– . –URL: https://polpred.com/. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

8.Библиокомплектатор : электронно-библиотечная система : [сайт]: [коллекции «Информатика и вычислительная техника», «Геодезия. Землеустройство», «Технические науки»].– Саратов, 2012– . –URL: http://www.bibliocomplectator.ru/. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

9.Гребенникон: электронная библиотека: [сайт].– Москва, 2011–. – URL: http://grebennikon.ru. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

10.Руконт : национальный цифровой ресурс: межотраслевая электронная библиотека : [сайт] : [коллекции «Электронная библиотека авторефератов диссертаций ФГБОУ ВПО РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева», «Сельское хозяйство. Лесное дело»].– Москва, 2013– . –URL: https://lib.rucont.ru/search. – Режим доступа: для зарегистрированных пользователей.

Архив контрактов на предоставление доступа к электроннобиблиотечным системам представлен на сайте Университета

(https://pgsha.ru/generalinfo/library/accreditation/).

78

Учебное издание

Кузьмина Нина Александровна

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся

Подписано в печать 27.08.21. Формат 60×84 1/16 Усл. печ. л. 4,88. Тираж 30 экз. Заказ № 74

ИПЦ «Прокрость»

Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д.Н. Прянишникова, 614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23,

тел. (342) 217-95-42

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности