3.3. Предельные теоремы теории вероятностей

3.3.1.

3.3.2.

3.3.3.n= 450000.

3.3.4.

3.3.5. (3361, 3639).

3.3.6.

3.3.7.а)1/2; б) 0,0008.

3.3.8.

Проверим условие Ляпунова:

при ,т.к. т.е. теорема Ляпунова применима.

3.3.9. а)

Проверим условие Ляпунова при :

при ,

если Следовательно, теорема Ляпунова имеет место.

б) При закон больших чисел имеет место на основании теоремы Маркова. Призакон больших чисел неприменим (см. задачу 3.1.28).

3.3.10. Характеристическая функция случайной величины имеет вид (см. задачу 3.2.15). Поэтому характеристическая функция случайной величиныравна , т.е.Пусть , где- любое конечное число. Считая, разложимв степенной ряд:

т.е. при равномерно в интервале. Следовательно, функция распределениясходится на всей числовой прямой к нормальному закону.

3.3.11. Производящая функция биномиальной случайной величиныХимеет вид. Пустьи разложимв степенной ряд:

Из разложения видно, что при идля любого, т.е.. Замечая, чтоесть производящая функция пуассоновского распределения с параметром, по теореме непрерывности для производящих функций имеемпри каждоми.

3.3.12. Если- функция распределения пуассоновской случайной величиныXcпараметром, то условие задачи можно переписать в виде. Поэтому достаточно показать, что придля любогоНо посколькуесть функция распределения случайной величины, то требуемое утверждение вытекает из примера 1 раздела 3.3.

3.3.13.Из теоремы непрерывности для характеристических функций следует, что соотношениевыполняется тогда и только тогда, когда, или, эквивалентно,, где- характеристическая функция случайной величины. Откудаили, причем сходимость при каждом фиксированномявляется равномерной на конечных интервалах. Это означает, что в любом интерваледля всех достаточно большихвыполняется неравенство. Тогда для таких большихиз разложения Тейлора функциизаключаем, что

.

Отсюда следует, что для выполнения соотношения необходимо и достаточно чтобы(подробнее см. [12], т.2, гл.XVI). Последнее соотношение эквивалентно тому, что, или, что завершает доказательство.

Замечание.Из данной задачи следует, что закон больших чисел может выполняться также и для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, не имеющих математического ожидания. Это утверждение известно также какобобщенный закон больших чисел(см. подробнее [12], т.2, гл.VII).

Если случайные величины имеют математическое ожидание, , то известно, что характеристическая функцияслучайной величиныимеет производнуюи. Обратное утверждение неверно.

3.3.14. а) Пусть;- характеристическая функция случайной величины. Тогда, т.е. предельный закон распределенияесть нормальный .

б) Если ряд расходится, то не существует предельного распределения дляпри.

3.3.15.а),.

. То есть закон больших чисел не выполняется. ЦПТ не выполняется, так как последнее слагаемое в условии Линдеберга имеет порядок.

б) ,. Следовательно, закон больших чисел выполняется. ЦПТ не выполняется, поскольку условие асимптотической малости выполняется, а условие Линдеберга нет.

в) ,,.

Проверим условие Ляпунова.

. Следовательно, ЦПТ выполняется. Посколькуи ЦПТ выполняется, то, что при маломне стремится к 1, то есть закон больших чисел не выполняется.

3.3.17. ..

.

3.3.18.. При этом. Поэтому

.

3.3.19.. Оценкой интегралаявляется сумма, где случайные величиныимеют равномерное распределение на отрезке,.. Число опытов определяется из неравенства, илиоткуда.

3.3.20.Пусть- число людей, прошедших до продажиэкземпляров газеты после продажиэкземпляров. Тогда случайная величина, где- независимые случайные величины, и для низ имеет место геометрическое распределение. Поскольку, то. При этом,. Следовательно, случайная величинаимеет приближенный нормальный закон.