3. Законы больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

3.1. Неравенство Чебышева и законы больших чисел

3.1.2.

3.1.3.

3.1.4.

3.1.5 а)б)

3.1.6. a) 0,888…; б) 0,25.

3.1.7.

3.1.8.

3.1.9.

3.1.10.

3.1.11.

3.1.12.n≥ 227500.

3.1.13.n≥ 60000.

3.1.14.

3.1.15.

3.1.16. См. задачу 3.1.15.

3.1.17. а) ;

б) Пусть F(x) – функция распределения случайной величины X. Тогда

3.1.18. Применима, т. к. ,для всехn.

3.1.19. Применима, т. к. ,для всехn.

3.1.20. Применима, т. к. идля всехn.

3.1.21.,

при, т.е. последовательность подчиняется закону больших чисел.

3.1.22.,

Поэтому прии, следовательно, последовательность подчиняется закону больших чисел.

3.1.23.,. Поэтому

при, т.е. в силу теоремы Маркова последовательность подчиняется закону больших чисел.

3.1.24. Не подчиняется, т.к.не существует.

3.1.25.,

при, если<1/2. Следовательно, последовательность подчиняется закону больших чисел.

3.1.26. а)- постоянная, т.е. по теореме Чебышева закон больших чисел применим.

б) . Полагая в равенствеm=1,2,…n, и складывая полученные равенства, получаем:

Следовательно, при, т.е. закон больших чисел применим.

3.1.27. Обозначим. Тогда

, еслипри.

3.1.28.. Поэтому последовательность подчиняется закону больших чисел при α < 1 и не подчиняется при α ≥ 1.

3.1.29. при. Поэтому в соответствии с теоремой Маркова закон больших чисел имеет место.

3.1.30..

Пусть >0 – любое число; тогдаприи для каждогои не более чем2Nномеровj может быть. Поэтому имеем:

.

Следовательно, при, т.е. последовательность подчиняется закону больших чисел.

3.1.31..

Но т.е.

при.

Таким образом, по теореме Маркова закон больших чисел имеет место.

3.1.32.Из непрерывности функцииf(x)в точкеаследует: для любогосуществуеттакое, чтопри. Рассмотрим событие. Очевидно, событиеВ влечет событиеи поэтому. Из сходимости по вероятности случайной величиныимеем: для данногои любогосуществуеттакое, чтопри. Следовательно,

3.1.33.Для любогосправедливо неравенство:

Из сходимости по вероятности случайной величины имеем: для данногои любогосуществуеттакое, чтопри. Выберем. Тогда прибудем иметь:

,

что в силу произвольности доказывает утверждение.

3.1.34. а)

,

при , так как.

б)

.

Покажем вначале, что первое слагаемое стремится к 0 при .

Поскольку , то

при , так как

.,

Покажем теперь, что второе слагаемое стремится к 0 при .

Для любого фиксированного имеем

.

Переходя в последнем неравенстве к пределу вначале при , а затем при, получаем, что.

Полностью аналогично доказывается, что при .

3.1.35. Пусть - последовательность независимых, равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных величин. В соответствии с законом больших чисел

при .

Из непрерывности (см. задачу 3.1.32) имеем

при ,

а в силу ограниченности (см. задачу 1.3.33)

при .

Пользуясь теперь независимостью величин и выражаяв виде интеграла, получаем:

.

3.1.36. Посколькуи, то (см. задачу 3.1.34)

3.1.37. См. задачи 3.1.27, 3.1.32 и 3.1.33.

3.2. Производящие и характеристические функции

3.2.1.

3.2.2.

3.2.3.(см. пример 1 раздела 3.2).

3.2.4.а)дискретный закон распределения: значения 0, 1, 2 принимаются с вероятностямисоответственно;

б) дискретный закон распределения: значениепринимается с вероятностью;

в) распределение Пуассона с параметром ;

г) биномиальное распределение с вероятностью успеха .

3.2.5. .

3.2.6.

3.2.7.

3.2.8.

3.2.9.

3.2.10.

3.2.11.

3.2.12. а)

б)

в) После подстановкив силу аналитичности подинтегральной функции имеем:

г) Используя лемму Жордана и теорему Коши, имеем:

при t > 0

при t < 0 .

Окончательно получаем, что .

д) (см. пример 3 раздела 3.2).

е)

, т.к. .

3.2.13.

.

3.2.14. Указание: Учитывая взаимнооднозначное соответствие между и, достаточно проверить, что(см. задачу3.2.13).

3.2.15. .

3.2.16.Указание:Воспользоваться определением характеристической функции дискретной случайной величины.

а) дискретный закон распределения: значения -1, 1 принимаются с вероятностями;

б) дискретный закон распределения: значения -2, 0, 2 принимаются с вероятностямисоответственно;

в) дискретный закон распределения: значения принимаются с вероятностями;

г) дискретный закон распределения: значения принимаются с вероятностями,.

3.2.17. дискретный закон распределения: значения принимаются с вероятностями.

3.2.18. а) (см. задачу3.2.12 г));

б) Используя лемму Жордана и теорему Коши, получаем:

, если ;

в) (см. задачу3.2.13);

г) Так как является абсолютно интегрируемой, то

поскольку известно, что (ср. с примером 3 раздела 3.2).

3.2.19. и поэтому(см. задачу3.2.18 б)). Аналогично, и поэтому.

Замечание: В частности, из этих результатов следует, что характеристической функции соответствует плотность вероятностей(ср. с задачей3.2.18 а)).

3.2.20. Указание: Воспользоваться тем, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых, а между плотностью вероятностей и характеристической функцией имеется взаимнооднозначной соответствие.

3.2.21. .

3.2.22. См. задачу 3.2.21.

3.2.23.дискретный закон распределения: значения -1, 0, 1 принимаются с вероятностямисоответственно.

3.2.24. При любом натуральномnфункцияявляется характеристической функцией случайной величины, где- независимые, одинаково распределенные дискретные случайные величины, принимающие значения -1 и 1 с вероятностью(см. задачу3.2.7).

3.2.25. В силу четности функцияразлагается в ряд Фурье по косинусам:. При этом,. Приполучаем, что, то естьявляются вероятностями дискретного закона распределения с возможными значениями.

3.2.26. а) да; б) нет; в) да; г) нет, так как в противном случае случайная величинаХс такой характеристической функцией должна была бы иметь, то естьп.н.; д) да; е) да; ж) нет по той же причине, что и в п. г).

Замечание: Общий результат состоит в следующем: функция, отличная от константы и такая, что, не может быть характеристической.

3.2.27. а) и б) – не выполняется свойство характеристических функций;

в) Не выполняется свойство четности вещественной характеристической функции;

г) Функция не является неотрицательно определенной, поскольку ее преобразование Фурье

не является неотрицательной функцией при всех хи потому не может быть плотностью вероятностей;

3.2.28. Заметим, что- характеристическая функция равномерного закона распределения на отрезке;- характеристическая функция равномерного закона распределения на отрезке;- характеристическая функция дискретного закона распределения с возможными значениями, принимаемыми с равными вероятностями (см. задачу3.2.7). Поскольку, то равенство в условии задачи означает, что равномерный закон распределения на отрезкеможет быть получен как композиция равномерного закона распределения на отрезкеи дискретного закона распределения с возможными значениями, принимаемыми с равными вероятностями.

3.2.29.Поскольку- характеристическая функция дискретного закона распределения с возможными значениями, принимаемыми с равными вероятностями, то (см. задачу3.2.28) равенство в условии задачи означает, что равномерный закон распределения на отрезкеможет быть получен как композиция счетного числа дискретных законов распределения с возможными значениями, принимаемыми с равными вероятностями.

3.2.30. ,.

При имеем:

,

то есть при равномерно в любом конечном промежутке измененияtзакон распределения случайной величинысходится на всей числовой прямой к равномерному закону распределения на отрезке.

3.2.31. По определению совместная характеристическая функция случайных величиниравна. В данном случае

.

3.2.32. Характеристическая функция нормального случайного векторас нулевым математическим ожиданием и корреляционными моментами, имеет вид:

.

По свойствам характеристической функции случайного вектора имеем:

а) .

В результате дифференцирования и подстановки , получаем:

;

б) ;

в)

.