2.3. Функции от случайных величин и векторов Законы распределения функций от случайных величин

2.3.1.

	1	4
	0,5	0,5

2.3.2.

	0		1
	0,5	0,4	0,1

2.3.3. ;.

2.3.4. ;;

; .

2.3.5. ;;.

2.3.6. .

2.3.7. а) ;

б) ;

в) .

2.3.8. .

2.3.9. .

2.3.10. а) ; б);

в) ; г) ;

д) .

2.3.11. а)

б)

2.3.12. а) ; б) , .

2.3.13. б) ,.

2.3.14. Указание. Так как , где- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке, то;;.

2.3.15. а) ; б);

в) ,.

2.3.16. .

2.3.17. .

2.3.18.

где – площадь круга с диаметром.

2.3.19. Если , то;

если , то;

если , то.

Таким образом, имеет равномерное распределение на отрезке.

2.3.20.

	11	12	13	14	17	18
	0.08	0.32	0.02	0.08	0.10	0.40

2.3.21. а) ;;;;; остальные;

б) ;;;;; в) ;;.

2.3.22.

	0	1	2	3	4

2.3.23. Указание. Воспользоваться формулой

.

а) учесть в указанной формуле, что

Рис. 2.16.

б) в)

г)

д)

Рис. 2.17.

2.3.24.

2.3.25.

2.3.26.

2.3.27.

Рис. 2.18.

2.3.28. а) б)

в)

2.3.29. а) , (закон Лапласа); б) , .

2.3.30. .

2.3.31. ;

2.3.32. а) ; б) .

2.3.33. Равномерное распределение на отрезке .

2.3.35. Указание. Воспользоваться результатом решения задачи 2.3.31.

2.3.36. .

При - закон распределения Коши.

2.3.37. .

2.3.38. .

2.3.39. , если функция монотонно возрастающая,, если функция монотонно убывающая.

2.3.40. Указание. Учесть, что случайные величины иявляются гауссовскими, а их взаимный корреляционный момент равен 0.

2.3.41. Рассмотрим два произвольных и. Пусть вероятность. Учитывая независимостьи, имеем

Следовательно, события инезависимы в этом случае. Аналогично рассматривается случай.

2.3.43. Указание. Поскольку ,, следовательноинезависимы тогда и только тогда, когда, а

тогда и только тогда, когда .

2.3.44. .

2.3.45. , где;;.

Случайные величины ибудут независимы, есливыбрать так, чтобы.

2.3.46. (распределение Релея).

2.3.47. ,;

.

2.3.48.

;

2.3.49.

2.3.50.

.

2.3.51. Покажем, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром.

Пусть Найдем вероятность

Здесь использована формула бинома Ньютона. Видим, что случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром. Обобщение результата легко получить, используя метод математической индукции.

2.3.52. Указание. Использовать метод математической индукции и закон композиции.

2.3.53. Указание. Воспользоваться результатом решения задачи 2.3.11 а), положив . Далее, используя метод математической индукции и формулу свертки, доказать истинность выражения для плотности вероятностей.

2.3.54. Указание. Сначала показать, что плотность вероятностей случайной величины имеет вид

При этом следует использовать результат решения задачи 2.3.53. Затем, используя результат решения задачи 2.3.31, получить плотность вероятностей случайной величины .

2.3.55. ,.

2.3.56. .

2.3.57. Указание. Воспользоваться равенством , гдетогда и только тогда, когдас вероятностью 1.

2.3.58. .

2.3.59.

2.3.60. .

2.3.61.

2.3.62. а) ;,

б) ;.

2.3.63. .

2.3.64. ,

,

.

2.3.65. .

2.3.66. .

2.3.67. .

2.3.68. .

2.3.69. .

2.3.70.

2.3.71.

2.3.72. .

2.3.73. .

2.3.74.

2.3.75. .

2.3.76. .

2.3.77. .

2.3.78.

2.3.79. .

2.3.80. .

2.3.81. .

2.3.82.

2.3.83. .

2.3.84. Неравенство Коши-Буняковского: если случайные величины итаковы, чтои, то. Если положитьи, то из последнего неравенства получим, то есть существует конечный момент. Аналогично доказываются остальные утверждения.

2.3.85.

2.3.86.