1.4. Аксиомы теории вероятностей. Условная вероятность. Независимость случайных событий.

1.4.4. , поэтому , но.

1.4.5. Следует из того, что и свойств вероятности.

1.4.6. , если

1.4.7. .

1.4.8. ; ; .

1.4.9. ;

;

;

.

1.4.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) .

1.4.14. .

1.4.15.

1.4.16.

1.4.17. См. задачу 1.4.7.

1.4.19. 1) Зависимы; 2) независимы; 3) зависимы; 4) зависимы.

1.4.20. Зависимы.

1.4.21. а) Могут быть как зависимыми, так и независимыми; б) зависимы.

1.4.22. а) и г) – независимы, остальные зависимы.

1.4.23. События независимы; результат изменится.

1.4.24. События изависимы. Так как, то курение способствует ухудшению зрения.

1.4.25. События зависимы.

1.4.26. События инезависимы.

1.4.27. В силу независимости событий идля вероятности событиясправедливо выражение:. Отсюда следует, что, т.е. событияинезависимы. Аналогично доказывается независимость событийи.

1.4.28. Из равенства условных вероятностей следует, что

.

Отсюда получаем:

,

что означает независимость событий и.

1.4.29. Из независимости событий и,ии несовместности событийиследует, что

,

что означает независимость событий и.

1.4.30. .

1.4.31. .

1.4.32. .

1.4.33. а) ; б).

1.4.34. 0,94; 0,9964.

1.4.35. а) 7/8; б) 2/3; в) 1/3.

1.4.36. 2/3; 1/3.

1.4.37. 5/11.

1.4.38. 0,3056.

1.4.39. 0,9008.

1.4.40. 0,8.

1.4.41. 6/7.

1.4.42. .

1.4.43. а) 1/216; б) 1/36.

1.4.44. 1/2.

1.4.45. 3/4. Указание: Если события иозначают попадание 1 и 2 ракеты соответственно, то для решения задачи требуется найти условную вероятность.

1.4.46. .

1.4.47. 1/4.

1.4.48. 1/2.

1.4.49. 2/3.

1.4.50. 121/360.

1.4.51. 228/253.

1.4.52. 1/5.

1.4.53. 1/4.

1.4.54. 0,72.

1.4.55. .

1.4.56. 20/29.

1.4.57. 14/47.

1.4.58. а) 0,3264; б) 0,5884; в) 0,0696; г) 0,2356.

1.4.59. .

1.4.61. .

Указание. Для решения задачи следует использовать теорему сложения вероятностей в общем случае.

1.4.62. .

1.4.63. .

1.4.64. ;;

.

1.4.65. .

1.4.66. 0,75.

1.4.67. .

1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса

1.5.1. а) 13/24; б) 1/2.

1.5.2. 9/35.

1.5.3. шансы одинаковы

1.5.5. .

1.5.6. 14/17.

1.5.7.

1.5.8. 21/50.

1.5.9. 0,87.

1.5.10. 9/16.

1.5.11. M/N.

1.5.12. а) 0,0345; б) 125/345; 140/345; 80/345.

1.5.13. 0,05.

1.5.14.

1.5.15. 7/18.

1.5.16. 0,3.

1.5.17. 3 белых и 2 черных; изменение.

1.5.18. .

1.5.19. а) 3/4; б) 0,5.

1.5.20. 10/11.

1.5.21. 0,9968.

1.5.22.

1.5.23.

1.5.24.

1.5.25. Пусть гипотеза H_k (k=0,1,2) - для первой игры взять k новых мячей. Событие А - для второй игры взять два новых мяча. Тогда

р=0,2797229.

1.5.26.

1.5.27.

1.6 Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли

1.6.1. а) Р₈(m  7) 0,00038; б) Р₈(m  1) = 0,8999.

1.6.2. 10.

1.6.3. а) 2; б) Р₁₀(2  m  4) = 0,591.

1.6.4. Вероятнее выиграть три партии из четырех.

1.6.5. 0,73.

1.6.6. а) 0,25; б) 0,935.

1.6.7. а) 0,656; б) 0,948.

1.6.8. .

1.6.9. .

1.6.10.

1.6.11. 1 - (1-p)³.

1.6.12. .

1.6.13. .

1.6.14. 0,2816.

1.6.15. .

1.6.16. 0,2.

1.6.17. а) ;

б)

1.6.18. .

1.6.19. 0,0588.

1.6.20. .

1.6.21. а) 558; б) 541.

1.6.22. а) 0,0435; б) 0,5.

1.6.23. .

1.6.24. а) 0,085; б) 0,384.

1.6.25. 50/243.

1.6.26. 0,815.

1.6.27. 69.

1.6.28. а) 0,01; б) 0,803.

1.6.29. По формуле Бернулли:

По теореме Пуассона:

1.6.30. 0,23.

1.6.31. а) 0,93803; б) 0,99983; в) 0,16062.

1.6.32. 0,95957.

1.6.33. ; .

1.6.34. .

1.6.35. 0,99.

1.6.36. В предположении, что доля белых шаров равна 0,4, .

1.6.37. 2;  0,13.

1.6.38. а)  0 (с точностью более, чем 10 знаков после запятой; б) 0,99534; 0,5; 0,00466.

1.6.39. а)  0,8859; б) 0,8859; 0,4991;  0,1468; 0,8353;

(применить интегральную теорему Муавра-Лапласа);

n = 18500.

1.6.40. а), где –-квантиль стандартного нормального закона распределения, то есть корень уравнения; б) враз.