Сопромат Лекции Часть 1

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 60

наиб = 1 − 3 .

2

Для получения выражения в правой части рассматриваем испытание

образца при центральном растяжении. Тогда 1 = , 2 = 3 = 0. Подставив значения главных напряжений в уравнение, получим | | наиб≤ 2 ,

а переходя к предельному состоянию [ ] = [2]. Тогда условие прочно- сти по III теории предельных напряж¼нных состояний запишется в виде

1 − 3 ≤ [ ].

III теория хорошо согласуется с опытными данными для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, Мор (1882 г.) предложил обобщ¼нную теорию

1 − · 3 ≤ [ ],

ãäå = тр для пластичных материалов,

тс

= вр для хрупких материалов.

вс

4.10.4IV теория предельных напряжённых состояний

теория октаэдрических касательных напряжений (энергетическая теория) (Губерт, 1904 г.).

Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если октаэдрическое касательное напряжение не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта .

Следовательно, в этом случае, расч¼т необходимо вести по октаэдри- ческим касательным напряжениям, то есть окт ≤ [ ].

Рассмотрим выражения в левой и правой частях этого неравенства. Левая часть

Для получения выражения в правой части рассматриваем испытание образца при центральном растяжении. Тогда 1 = , 2 = 3 = 0.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 61

Тогда условие прочности по IV теории предельных напряж¼нных состояний запишется в виде

√

12 + 22 + 32 − 1 · 2 − 2 · 3 − 3 · 1 ≤ [ ].

IV теория хорошо согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

Сравнивая формулы, устанавливающие условия прочности при различных теориях предельных напряж¼нных состояний, можно заметить, что в левых частях неравенств находятся алгебраические выражения из главных напряжений. Следовательно, можно обобщить все теории и записать

экв ≤ [ ],

ãäå

√

экв = 12 + 22 + 32 − 1 · 2 − 2 · 3 − 3 · 1.

экв имеет и физический смысл это напряжение в растягиваемом

образце, напряж¼нное состояние которого равноопасно заданному (рис. 4.24).

Рис. 4.24. Физический смысл эквивалентного напряжения

Напряж¼нные состояния называют равноопасными, если они имеют одинаковые коэффициенты запаса прочности.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 62

Коэффициент запаса прочности это число, показывающее во сколько раз нужно увеличить компоненты напряж¼нного состояния ( 1, 2, 3), чтобы оно стало предельным.

Пример: рассмотрим расч¼ты на прочность при чистом сдвиге (рис. 4.25). Определим главные напряжения графическим способом:

= , = − .

Рис. 4.25. Эквивалентное напряжение при чистом сдвиге

Переходя к общей записи напряжений 1 ≥ 2 ≥ 3, получим 1 =

[ ]

и переходя к предельным величинам, получим [ ] = √3 .

При изучении тем ¾чистый сдвиг¿ и ¾поперечный изгиб¿, мы использовали значения [ ] ≈ (0, 5 −0, 6) ·[ ]. Теперь понятно, как получены эти

значения.

Заключение:

1.III и IV теории используются для расч¼та деталей из пластичных материалов, а результаты они дают разные;

2.III теория менее точна, так как не учитывает среднее главное напряжение, но она имеет простой вид и поэтому часто используется для проектировочных (прикидочных) расч¼тов;

3.IV теория более точная, более ж¼сткая, так как размеры детали, определ¼нные по этой теории, будут наименьшими. В авиастроении, в основном, используется IV теория.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 63

4.11Вопросы для самопроверки

Что называется напряж¼нным состоянием детали в точке? Какие виды напряж¼нного состояния в точке Вы знаете? Назовите компоненты напряж¼нного состояния в точке и сколько из них независимых? Что называется главными осями напряж¼нного состояния, главными площадками, главными напряжениями? Напишите выражения для максимальных значений касательных напряжений и укажите площадки их действия. Как определяется значение главных напряжений и положение главных площадок? Какие вы знаете теории предельных напряж¼нных состояний (теории прочности)? Дайте критический обзор теорий прочности. Как решаются задачи расч¼та на прочность по теории наибольших касательных напряжений, энергетической теории?

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС

∫

= площадь сечения, она используется при растяжении и

Характеристики , используются в формулах для касательных напряжений при изгибе и при нахождении положения центра тяжести сечения:

используются в формулах при изгибе.

∫

= · центробежный момент инерции сечения относительно

îñåé , .

В зависимости от положения осей 7 0. Это вспомогательная характеристика, она в формулах сопротивления материалов непосредственно не участвует, но с е¼ помощью определяются главные моменты

инерции сечения и положение главных осей инерции сечения.

= ∫ 2 полярный момент инерции сечения относительно на-

чала координат. Очевидно, что > 0. Используется в формулах при кручении.

= + = 1 + 1 .

Следствие из этого равенства: + = 1 + 1 = .

Таким образом при повороте осей (рис. 5.2) сумма осевых моментов инерции не изменяется. Иначе: сумма осевых моментов инерции является инвариантом.

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС

Ðèñ. 5.4. Êðóã

Вычислим относительно центра круга. Выделим элементарную полоску в виде кольца толщиной .

· 4

= 32 .

Но = + . В силу симметрии = , следовательно

= = = · 4 .

2 64

5.2.3Кольцо

Провед¼м центральные оси , , центр тяжести кольца (рис. 5.5)

Рис. 5.5. Кольцо

В этом случае момент инерции кольца равен разности моментов инерции большого круга с диаметром и малого с диаметром . Обозначим

= / , тогда

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС

раллельные центральным осям , . Выделим элементарную площадку. Покажем е¼ координаты в двух системах осей: 1 = + , 1 = + , где , координаты центра тяжести сечения в осях 1, 1 (ðèñ. 5.7). Òî- ãäà

Рис. 5.7. Поперечное сечение бруса

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 = 12 = ( + )2 = 2 +2· + 2 = + 2· ,

Таким образом, осевой момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Следствие: если рассматривать множество параллельных осей, то наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси.

Центробежный момент инерции сечения

Следовательно, центробежный момент инерции относительно произвольных осей равен центробежному моменту инерции относительно параллельных им и также направленных центральных осей плюс произведение площади сечения на координаты центра тяжести в той системе осей, к которой осуществлён переход.