Сопромат Лекции Часть 1

Рис. 8.6. Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами

Рассматривая этот случай аналогично предыдущему, получим

òî åñòü кр в этом случае в два раза больше, чем при шарнирном закреп-

лении.

Анализируя полученные зависимости, русский инженер Ф.С. Ясинский предложил общую формулу для любого случая закрепления

кр = 2 · · наим

( · )2

формула Ясинского. Здесь коэффициент приведения длины, ука-

зывающий, на какой длине данного стержня реализуется схема Эйлера,· привед¼нная длина.

Тогда:

1) два шарнирно закрепл¼нных конца = 1;

Формула Ясинского широко применяется для расч¼та критических сил. В справочниках приводятся значения для различных способов

закрепления, промежуточных опор, стержней переменного сечения и т.д.

8.3Пределы применимости формулы Эйлера. Полный график критических напряжений

Запишем формулу Эйлера для критических напряжений: кр = 2 ·

2 ,

·

ãäå = min.

Эту формулу широко применяли мостостроители, но бывали случаи, когда вс¼ - таки стержни выходили из строя и мосты разрушались. Тогда формулу Эйлера отбросили, заменив массой эмпирических формул. Затем формула Эйлера была реабилитирована. Оказалось, что у ней есть пределы применимости.

При выводе формулы Эйлера использовалось облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки · · ′′ = ( ), которое спра-

ведливо только для линейно упругих систем, то есть когда справедлив закон Гука ( ≤ п).

Следовательно, условие применимости формулы Эйлера: кр ≤ п

формулу Эйлера можно применять только для достаточно длинных стержней, у которых ≥ пред. Какие же это стержни?

стержней из стали 20 можно применять формулу Эйлера (рис. 8.7).

Для деталей машин это условие выполняется редко, чаще оказывается < пред, тогда кр < 2 ·

2 , поэтому были случаи разрушения. Полный график критических напряжений

С точки зрения потери устойчивости все сжатые стержни делятся на три группы:

Рис. 8.7. Стержень круглого сечения с шарнирными опорами

1 группа. Стержни большой гибкости К ним относятся стержни, для которых ≥ пред. При сжатии они

выпучиваются, теряют устойчивость и критическое напряжение вычисляется по формуле Эйлера: кр = 2 ·

2 . Для стержней из стали 20 это

стержни у которых ≥ 100.

2 группа. Стержни средней гибкости.

К ним относятся стержни, для которых гр ≤ < пред, ãäå гр

нижняя граница стержней средней гибкости, зависящая от материала стержня. Для стержней из стали 20 гр = 40.

Стержни средней гибкости выпучиваются достаточно большими силами, но кр < 2 ·

2 , так как потеря устойчивости происходит при упруго-пластическом изгибе (в крайних волокнах происходят пластиче-

ские деформации). Чаще всего гр è кр определяются опытным пут¼м,

но в последнее время появились и аналитические методы. 3 группа. Стержни малой гибкости

К ним относятся стержни, для которых < гр. Для стержней из стали 20 это стержни, для которых < 40. При сжатии стержня выпучи-

вания не наблюдается, но при напряжениях, равных пределу текучести (пластичные материалы) или пределу прочности (хрупкие материалы) наблюдаются явления, формально похожие на потерю устойчивости внезапное нарастание деформаций. В этом случае кр = т èëè кр = в,

хотя никакого выпучивания и не происходит.

Полный график критических напряжений рассмотрим на примере стержней из стали 20, у которой п = 200 ÌÏà, т = 240 МПа, граница

стержней малой гибкости = 40, граница стержней средней гибкости= 100 (рис. 8.8).

Для стержней с гибкостью 100 кр = 200 МПа. С ростом гибкости

критическое напряжение уменьшается.

Для стержней малой гибкости кр = т = 240 ÌÏà.

Для стержней средней гибкости зависимость критического напряжения от гибкости определяются экспериментально или теоретически (В.И. Феодосьев). График зависимости почти прямая.

Рис. 8.8. Полный график критических напряжений для стержней из стали 20

Этот график для всего диапазона стержней называется полным графиком критических напряжений.

Если значение критического напряжения ( кр) взято с полного гра-

фика, то здесь учитывается не только потеря устойчивости как таковая,

но и опасные состояния для стержня любой длины. Поэтому, если при вычислении [ ]кр = кркр , кр взято с полного графика, то расч¼т нуж-

но провести только по устойчивости: ≤ [ ]кр, а простое сжатие уже учтено.

Необходимо сделать оговорку: сказанное справедливо для стержней без местных ослаблений.

8.4Расчёт сжатых стержней с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения

Обращаем внимание, что кр > т, т. к. потеря устойчивости являет-

ся более сложной деформацией, чем сжатие, и формулы сопротивления материалов здесь менее точны. Для стержней из пластичных материалов кр = 2 3 ( т = 1,5). Для стержней из хрупких материалов кр =

5, т. к. у хрупких материалов пластических деформаций практически не бывает и, если достигнуто предельное состояние, то стержень сразу разрушается, а у пластичных материалов разрушение происходит при значительных пластических деформациях.

Рассмотрим отношение допускаемых напряжений

В соответствии с этой формулой коэффициент называется коэффи-

циентом снижения основного допускаемого напряжения. Он показывает, как нужно снизить основное допускаемое напряжение, чтобы получить допускаемое напряжение на устойчивость. 0 ≤ ≤ 1. Для очень длин-

ных стержней → 0, а для весьма коротких → 1. Действительно,

если стержень короткий, то за предельное напряжение принимается предел текучести и поэтому = 1.

От чего зависит ? Подставим в формулу для значения допускаемых напряжений

Напряжение кр зависит от гибкости стержня (по графику) и материала, предельное напряжение и коэффициенты запаса кр è т от материала, то есть зависит от гибкости и материала стержня. В справочниках приводятся таблицы и графики зависимости от гибкости и

материала.

Как решаются задачи расч¼та на прочность с уч¼том полученной формулы?

1. Проверка прочности.

Прежде чем решать задачу, покажем стержень с местным ослаблени-

åì (ðèñ. 8.9).

Теперь будем решать задачу бр ≤ · [ ] если нет ослабления.

Если есть ослабление, то нужно проверить ещ¼ на сжатие в ослабленном сечении нетто ≤ [ ] .

Необходимо подчеркнуть, что при проверке на устойчивость местное ослабление не учитывается, так как оно практически не влияет на устой-

чивость стержня. Это видно из дифференциального уравнения изогнутой оси балки: · · ′′ = , так как местное ослабление находится на

небольшой длине, поэтому при интегрировании изменений практически не будет. Но ослабленное сечение нужно проверить на сжатие.

Рис. 8.9. Стержень с местным ослаблением

2.Назначение поперечного сечения сжатого стержня. Разрешим условие устойчивости относительно бр

бр ≥ · [ ] .

На первый взгляд вс¼ просто, однако это не так. Коэффициент зависит

от , а от , в свою очередь зависит от площади сечения. Так что в явном виде относительно площади это неравенство не разрешено, так как в зависимости от площади в аналитическом виде не представля-

ется (только в графическом или табличном виде), поэтому при решении пользуются методом попыток.

Для первой попытки используем среднее значение = 0,5 и из усло-

(1)бр ≤ (1) · [ ] .

Как правило оно не выполняется, поэтому делается вторая попытка. (Нужно стремиться к тому, чтобы действительные напряжения сравнялись с допускаемыми).

устойчивости не выполнится, то есть пока разница между правой и левой

частями условия устойчивости не будет менее 1 3 %. Допустим, что в

последней попытке получено значение ( ), удовлетволяющее условию

бр

устойчивости. Обычно, попыток бывает не более тр¼х.

нетто

выполняется, то расч¼т окончен. Если же не выполняется, то нужно

назначить площадь из этого условия. Здесь площадь нетто представлена

в явном виде.

3. Определение грузоподъ¼мности.

Разрешим условие устойчивости отностиельно

≤ · [ ] · бр,

≤ [ ] · нетто.

Вс¼, что в правой части , известно, поэтому необходимо вычислить зна- чения силы и взять меньшее значение, тогда будут выполнены условия

устойчивости и прочности.

8.5Выбор формы поперечного сечения и материала сжатого стержня на основании экономических соображений

Вначале о выборе формы.

Задачу поставим таким образом: площадь поперечного сечения постоянна. Требуется выяснить, при какой форме поперечного сечения крити- ческая сила будет наибольшей? Или иначе при какой форме попереч- ного сечения грузоподъ¼мность будет наибольшей? Чтобы решить эту задачу, вспомним полный график критических напряжений (рис. 8.10). Видим, что критическое напряжение возрастает при уменьшении гибко-

сти, т. е. нужно придать поперечному сечению такую форму, чтобы гиб-

·

кость была как можно меньше, но = , отсюда видно, что нужно

√

увеличивать минимальный радиус инерции = , откуда следу- ет, что нужно увеличивать наименьший из моментов инерции сечения.

Самый лучший случай тогда, когда = , то есть главные цен- тральные моменты инерции должны быть одинаковыми. Чтобы моменты инерции были больше, необходимо расположить площадь сечения как можно дальше от начала координат, что видно из формулы для момента

условиям (первое условие увеличение

) удовлетворяет кольцевое сечение наиболее экономичное сечение.

Рис. 8.10. Полный график критических напряжений

Однако увлекаться разносом площади нельзя, т. к. у тонкостенной трубы может произойти местная потеря устойчивости задолго до выпучивания всего стержня.

Чтобы избежать такой потери устойчивости, применяют кольцевые диафрагмы (р¼бра ж¼сткости) (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Рациональная форма поперечного сечения

О выборе материала.

Здесь необходимо рассмотреть раздельно стержни большой гибкости, стержни средней и малой гибкости.

1 Стержни большой гибкости.

Критическое напряжение определяется по формуле кр = 2 ·2 . Áó-

дем рассматривать не все материалы, а только сплавы на одной основе, например, стали. В соответствии с формулой материал влияет на устойчивость только через модуль продольной упругости , а в преде-

лах одного сплава практически не изменяется. Каким материалам, в

этом случае, отдать предпочтение? Наиболее деш¼вым, низкопрочным. Переход к высокопрочным материалам не обеспечивает увеличение критического напряжения, так как модуль упругости не изменяется.

2 Стержни средней и малой гибкости Здесь критическое напряжение зависит от предела текучести матери-

ала. Чем выше предел текучести, тем больше критическое напряжение, поэтому для стержней средней и малой гибкости оправдано применение высокопрочных материалов, так как они имеют более высокие значения

предела текучести.

Âзаключении. Устойчивость теряют не только сжатые стержни, но

èбалки при изгибе.

Âбалках с узким поперечным сечением потеря устойчивости происходит в изгибно-крутильной форме (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Потеря устойчивости балки с узким поперечным сечением

Устойчивость теряют также сжатые тонкостенные оболочки. Например, обшивка крыла, фюзеляж самол¼та потеряли бы устойчивость, если бы они не подкреплялись стрингерами, нервюрами, шпангоутами.

8.6Вопросы для самопроверки

Âч¼м суть явления потери устойчивости сжатого стержня? Что такое критическая сила и по какой формуле она определяется? Укажите пределы применимости формулы Эйлера. Что такое гибкость стержня? Как определяется критическое напряжение для стержней большой, средней и малой гибкости? Какой вид имеет полный график критических напряжений? Как влияют условия закрепления стержня на значение критической силы? Как производится проверка стержня на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения?