Сопромат Лекции Часть 1

тела (детали), т.к. зависят от размеров поперечного сечения. Поэтому переходим к напряжениям.

Напряжение это сила, приходящаяся на единицу площади сечения. Выделим в сечении площадку конечного размера (рис. 1.5). На

площадке действуют каким-то образом распредел¼нные внутренние силы. Покажем равнодействующую внутренних сил на площадке .

Рис. 1.5. Внутренние силы

Рассмотрим отношение = среднее напряжение на площад- ке . Этой характеристикой пользоваться не удобно, т.к. она зави-

сит от площади площадки, поэтому рассматривается в пределе, =

lim полное напряжение в исследуемой точке сечения детали.

→ 0

На практике в расч¼тах на прочность пользуются не полными напряжением, а его составляющими на нормаль к сечению и на плоскость сечения.

Обозначим проекции (составляющие) на нормаль к сечению через и на плоскость сечения ; нормальное напряжение, касательное напряжение. Выразим и через

1.6Вопросы для самопроверки

Что изучает сопротивление материалов и каково значение науки в общем цикле инженерных дисциплин? Что понимается под прочностью, ж¼сткостью, устойчивостью конструкций? Основные гипотезы сопротивления материалов. В ч¼м суть принципа Сен-Венана? Какие силы называют внешними, а какие внутренними, их различие? Внутренние силовые факторы и их определение. Что такое напряжение в точке полное, нормальное, касательное?

Рис. 2.2. Продольная деформация бруса

Рассмотрим отношение = относительная продольная деформация: при растяжении > 0, при сжатии < 0.

Деформация связана с напряжениями экспериментально полученной зависимостью:

·

,òî = · закон Гука, записанный через действующую силу и размеры бруса, где · ж¼сткость бруса при центральном растяжении

и сжатии.

Запишем закон Гука в общем случае нагружения бруса, когда нормальная сила изменяется по его длине. Выделим из бруса элемент длинойи покажем его отдельно (рис. 2.2, в). Удлинение элемента определя-

2.3Поперечная деформация бруса при центральном растяжении и сжатии. Закон

Пуассона

Изобразим брус до и после нагружения (рис. 2.3, а, б), абсолютная поперечная деформация: при сжатии > 0, при растяжении

< 0. Отношение = поп относительная поперечная деформация.

Рис. 2.3. Поперечная деформация бруса

Экспериментально получена зависимостьпоп = − · закон Пуассона, где продольная деформация,

коэффициент Пуассона или коэффициент поперечной деформации ( = 0 ... 0,5).

2.4Испытания на растяжение. Основные механические характеристики

Для выявления способности деталей, материалов сопротивляться разрушению проводятся испытания стандартных лабораторных образцов на растяжение вплоть до разрушения. Существуют также испытания на срез, изгиб, кручение, сжатие.

Все материалы условно делятся на пластичные и хрупкие. Разрушению первых предшествуют большие пластические деформации, вторыхмалые.

Для испытаний на растяжение существуют специальные разрывные машины. Испытания проводятся на образцах, форма, размеры и каче- ство обработки которых оговорены в соответствующем ГОСТе. Изобразим цилиндрический образец (рис. 2.4) диаметром и длиной рабочей

части .

В процессе испытаний автоматически записывается график зависимости удлинения образца от действующей силы машинная диа-

грамма (диаграмма растяжения). Изобразим диаграмму растяжения для малоуглеродистой стали (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Образец для испытаний на растяжение

До точки зависимость между и линейная. Это область дей-

ствия закона Гука. В этой области работают все детали машин. До точкидеформации упругие. В точке наблюдается площадка текучести (ко-

гда удлинение образца раст¼т при постоянной силе). Далее начинается кривая упрочнения. Перед точкой в рабочей части образца образует-

ся так называемая шейка и дальнейший рост деформаций всего образца обусловлен деформациями в шейке. После точки нагрузка снижается,

так как резко уменьшается площадь поперечного сечения образца и в точке наступает разрушение.

О законе разгрузки и повторного нагружения. Образец нагружаем до точки , а затем разгружаем. Разгрузка ид¼т по прямой, параллель-

ной прямой действия закона Гука. Повторное нагружение происходит по той же прямой до точки , а затем воспроизводится оставшаяся часть

диаграммы. Полное удлинение образца состоит из упругой упр и остаточной ост деформаций, = упр + ост.

Измерив длину рабочей части после разрушения к (состыковав ча-

сти), определим разр = к − обсолютное остаточное удлинение после

ост

разрушения и введ¼м первую механическую характеристику

где относительное остаточное удлинение после разрушения. Характеристика никогда не определяется по диаграмме, а определя-

Рис. 2.5. Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

ется на образце на расч¼тной длине . Обычно = 10 ; для укороченных образцов = 5 ( 5 > 10).

После разрушения образца замеряется диаметр шейки к, вычисляется площадь шейки к и определяется следующая характеристика ма-

териала

= − к · 100%,

где относительное остаточное сужение после разрушения, на-

чальная площадь.

Эти две характеристики и определяют пластичность материала

и называются деформационными.

На диаграмме растяжения ординаты и абсциссы зависят от размеров образца, поэтому е¼ перестраивают. Вместо рассматривают = ,

а вместо = . В результате получим график, называемый диаграммой условных напряжений (рис. 2.6).

Характерные ординаты этой диаграммы являются механическими характеристиками материала (характеристики прочности).

п предел пропорциональности наибольшее напряжение, до ко-

торого справедлив закон Гука.

у предел упругости наибольшее напряжение, до которого практически не возникают ( ост < 0, 005) пластические деформации.

т предел текучести напряжение, при котором наблюдается рост

деформаций при постоянной нагрузке.

в предел прочности отношение наибольшей нагрузки, которую

выдержит образец до разрушения, к первоначальной площади его поперечного сечения.

Рис. 2.6. Диаграмма условных напряжений малоуглеродистой стали

Пример прочностных характеристик для малоуглеродистой стали 20:п = 200 ÌÏà; у = 220 ÌÏà; т = 240 ÌÏà; в = 400 ÌÏà.

Диаграммы напряжений большинства конструкционных материалов не имеют площадки текучести (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Диаграмма напряжений материлов, не имеющих площадки текучести

Для таких материалов вводится понятие условного предела текучести0,2 это напряжение, при котором остаточные деформации равны 0,2 %.

О законе разгрузки и повторного нагружения применительно к диаграмме напряжений. Образец нагружается до точки , а затем разгру-

жается (рис. 2.6). Разгрузка происходит по прямой, параллельной гуковскому участку диаграммы. В результате предварительного нагружения материал образца будет иметь другие механические характеристики, которые обусловлены накл¼пом.

Накл¼п или нагартовка это увеличение прочностных (кроме )

и уменьшение деформационных характеристик материала в результате предварительного нагружения за предел текучести.

Деление материалов на пластичные и хрупкие довольно условное. Хрупкие материалы, как правило, неравнопрочны . Сжатию они сопротивляются лучше, чем растяжению (рис. 2.8), то есть вс > вр.

Рис. 2.8. Диаграмма напряжений хрупкого материала

2.5Расчёты на прочность при центральном растяжении и сжатии

Вначале об опасных напряжениях. Опасные напряжения обозначают через это те напряжения, при которых материал либо разрушается, либо получает недопустимые пластические деформации.

Для деталей из пластичных материалов = т, т.к. при достижении предела текучести деталь получает пластические деформации и нарушается е¼ нормальная работоспособность. Для деталей из хрупких материалов = в, т. к. при достижении предела прочности деталь разрушается. Такие напряжения в деталях допускать нельзя.

Наибольшие напряжения в деталях, отвечающие безопасной работе материала, называются допускаемыми напряжениями и обозначаются через [ ]. Если материал деталей неодинаково сопротивляется растяже-

нию и сжатию, то соответственно [ ] допускаемое напряжения на растяжение, [ ] допускаемое напряжения на сжатие.

Допускаемые напряжения определяются как часть опасных:

[ ] = ,

ãäå коэффициент запаса прочности. Конкретизируем, Для пластич-

ãäå т коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Для хрупких материалов:

[ ] = вв ,

ãäå в коэффициент запаса прочности по пределу прочности. Необходимо отметить, что в > т.

Из каких соображений назначается коэффициент запаса? Запишем обстоятельства, которые необходимо учитывать при назначении коэффициента запаса.

1.Силы, действующие на деталь, известны не точно.

2.Механические характеристики, используемые в расч¼тах на проч-

ность ( т è в) имеют рассеяние, а в справочной литературе приведены средние значения.

3.Расч¼тная схема, используемая в расч¼тах на прочность, отражает реальную деталь приближ¼нно.

4.Методы (формулы) сопротивления материалов не являются абсолютно точными.

С уч¼том этих обстоятельств в авиапромышленности коэффициент

запаса т = 1,2 3,0 (в зависимости от ответственности деталей).

Расч¼т на прочность При расч¼тах на прочность рассматриваются 3 задачи: 1. Проверка прочности.

Для того, чтобы работа детали была безопасной, необходимо

| | наиб= | | наиб ≤ [ ].

Эта формула устанавливает условие прочности при центральном растя- жении и сжатии. Если [ ] ̸= [ ] , то в правой части условия прочности должно быть соответствующее допускаемое напряжение.

2. Назначение размеров поперечного сечения. Разрешим условие прочности относительно площади

≥ | | наиб .

[ ]

Эта формула используется при определении размеров поперечного сечения детали.