Сопромат Лекции Часть 1

Это нелинейное дифференциальное уравнение, которое можно решить на компьютере. Однако, в этом нет необходимости, так как урав-

нение можно упростить.

Поскольку ′ = << 1, à ( ′)2 <<< 1, то можно записать 1−( ′)2 ≈ 1. Умножим обе части равенства на · и получим

· · ′′ = ( )

облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (не приближ¼нное). Это уже простое уравнение, которое легко решается.

Проинтегрируем это уравнение

уравнение для прогибов. В этих уравнениях и постоянные инте-

( ′)2 << 1. По ним нельзя определять перемещения гибких балок

здесь нужно использовать полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Пример (рис. 6.42). Для заданной балки определить прогиб и угол поворота сечения в концевом сечении консоли .

Рис. 6.42. Определение перемещений

= · ( − ), тогда

· · ′′ = · ( − ),

Знак плюс следовательно поворот сечения происходит против часовой стрелки.

Знак плюс следовательно прогиб происходит вверх.

Конкретизируем этот пример: для заданной стальной балки подо-

брать двутавровое сечение и определить прогиб и угол поворота сечения, если = 20 кН, = 2 м, [ ] = 160 МПа, = 2 · 105 ÌÏà.

Из данного примера видно, что

( ′)2 = (7, 168 · 10−3)2 = 5, 135 · 10−5 <<< 1.

При расч¼те на прочность балок с плавно изменяющимися размерами сечениея можно пользоваться формулами для балок постоянного сече- ния, предварительно определив наиболее опасное сечение сечение, в которй возникают | |наиб. Для этого составляется функция | | наиб= ( )

и ищется е¼ экстремум.

При определении перемещений для всех балок можно пользоваться формулами для балок постоянного сечения, только здесь будет = ( )

Постоянные интегрирования и находятся из граничных условий.

6.12Балки равного сопротивления

Рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную силой (рис. 6.46, а) и построим эпюру внутренних сил (рис. 6.46, б-в). Как назначается

поперечное сечение для балок постоянного сечения? ≥ | |наиб . Â

[ ]

такой балке полностью нагружено только одно сечение , в котором ||наиб= [ ]. Во всех других сечениях балка недогружена. Напрашивается

вывод: уменьшить размеры сечения так, чтобы во всех сечениях было | |наиб= [ ], тогда получим балку равного сопротивления.

Балкой равного сопротивления называется такая балка, в каждом сечении которой наибольшее напряжение равно допускаемому.

Для балки, показанной на рисунке, выясним, как будет изменяться е¼ поперечное сечение, если она будет балкой равного сопротивления.

Рис. 6.46. Балка равного сопротивления

диаметры сечений в балке, то есть изеняются по закону 1/3. Изобразим

балку (рис. 6.46, г).

С приближением к опорам → 0, но возле опор имеются касательные

напряжения от поперечной силы и они становятся опасными. Диаметр балки у опор нужно подбирать из условия прочности по касательным

На пракитке балку изготавливают ступенчатой (рис. 6.46, д).

6.13Вопросы для самопроверки

Какой изгиб называется прямым чистым, прямым поперечным? Что такое нейтральный слой, силовая плоскость, нейтральная линия (ось), силовая линия (ось)? Как взаимно расположены силовая и нейтральная линии при прямом изгибе? Как изменяются нормальные и касательные напряжения по сечению в направлении силовой и нейтральной осей при прямом поперечном изгибе балки? В каких точках поперечного сечения балки возникают наибольшие нормальные напряжения? Какие при¼мы используют при интегрировании? Как решаются основные задачи рас- ч¼та на прочность при плоском изгибе?

Пара сил, с которой одна часть вала действует на другую, называется крутящим моментом и обозначается через к.

Таким образом, крутящий момент есть внутренняя сила. Как определить крутящий момент в любом поперечном сечении вала?

На рисунке 7.2 показано нагружение вала из условия, что смотрим на вал слева направо. Применим метод сечений плоскостью перпендикулярной оси вала, и покажем силы, действующие отдельно на левую часть и отдельно на правую часть. () крутящий момент. На рисунке

показаны положительные направления крутящего момента. Рассмотрим равновесие отдельных частей.

Рис. 7.2. Определение крутящих моментов

Равновесие левой части:

1 − 2.)

Равновесие правой части

− 3 + 4.) Следовательно, крутящий момент можно вычислять как по

левым, так и по правым силам (рис. 7.2).

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен сумме моментов относительно оси вала внешних пар сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

О знаке крутящего момента (рис. 7.3): смотрим на оставшуюся часть вала со стороны внешней нормали к сечению. Если при этом крутящий

момент действует против часовой стрелки, то он считается положительным, а если по часовой стрелке то отрицательным.

Рис. 7.3. Правило знаков для крутящего момента

Построим эпюру крутящего момента это график изменения крутящего момента по длине вала (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Эпюра крутящего момента

Эпюра к строится для того, чтобы определить | к | наиб, то есть наиболее опасное сечение вала.

7.1.1Вычисление моментов, передаваемых на вал, по мощности и числу оборотов

Изобразим участок вала, к которому приложена внешняя пара сил . Чтобы произвести расч¼ты на прочность, необходимо знать , однако на практике чаще известны только мощность и число оборотов (в

îá/ñåê) (ðèñ. 7.5).

Можно записать = · , где угловая скорость, = 2 · ·, = · 2 · · . Разрешим зависимость относительно

= 2 · · формула для момента внешней пары сил. В инженерной практике эта формула конкретизируется.

1. Пусть мощность задана в кВт. (вал приводится в движение электродвигателем), а скорость вращения вала в об/мин; необходимо

Рис. 7.5. Вал с приложенной внешней парой сил

получить в Нм.

об/мин, момент нужно получить в Н · м. Вначале перевед¼м заданные

Это инженерная формула, в ней л. с., об/мин, а Нм.

7.2Напряжения круглого вала при кручении и расчёт на прочность

Изобразим вал до нагружения (рис. 7.6, а). Пусть нижним концом он защемл¼н. Выберем систему координат, ось направим по оси вала.

Вырежем элемент вала двумя поперечными сечениями, одно на расстоянии от начала координат, второе на от первого и двумя осевыми

плоскостями, между которыми малый угол .

Покажем вал и элемент после нагружения (рис. 7.6, б). В любом се- чении вала крутящий момент к = (ðèñ. 7.6).

Задача определения напряжений статически неопределима. Нужно записать уравнения статики и дополнить их уравнениями совместности деформаций. Изменим порядок. Сначала составим уравнения совместности деформаций. Закономерности деформаций изучались сначала опытным пут¼м, а затем и теоретическим. Установлено.