Сопромат Лекции Часть 1

3.1Основные понятия о сдвиге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1Основные сведения о напряж¼нном состоянии детали в точке 41

4.2Напряжения на произвольной площадке при линейном напряж¼нном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3Напряжения на произвольной площадке при плоском напряж¼нном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4Графический способ определения напряжений при плоском напряж¼нном состоянии. Круги Мора . . . . . . . . . . 47

4.5Напряжения на произвольной площадке при объ¼мном напряж¼нном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Круги при Мора объ¼мном напряж¼нном состоянии . . . . 52

4.7Закон Гука при объ¼мном напряж¼нном состоянии . . . . . 53

4.8Потенциальная энергия упругой деформации при объ¼мном напряж¼нном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.9Относительное изменение объ¼ма тела . . . . . . . . . . . . 58

4.10Теории предельных напряж¼нных состояний (теории проч- ности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.10.3III теория предельных напряж¼нных состояний . . . 62

4.10.4IV теория предельных напряж¼нных состояний . . . 63

4.11Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5Геометрические характеристики поперечного сечения бру-

5.1Основные понятия о геометрических характеристиках . . . 66

5.2Моменты инерции элементарых сечений . . . . . . . . . . . 68

5.2.1 Прямоугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.2Êðóã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.3 Кольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.4Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.5Прокатные профили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3Зависимость между моментами инерции относительно па-

5.6Определение главных моментов и положения главных осей инерции сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7Исследование моментов инерции графическим способом . . 77

5.8 Эллипс инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.9Определение моментов инерции сложных сечений . . . . . . 80

5.10Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4Равнодействующая распредел¼нной нагрузки и е¼ положение 91

6.5Построение эпюр поперечных сил и изгибающих момен-

òîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.6Контроль правильности построения эпюр и . . . . . . 94

6.7Напряжения в балке при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.7.1 Нормальные напряжения в балке при изгибе . . . . 96

6.7.2Касательные напряжения в балке при изгибе. Фор-

мула Журавского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.8Расч¼т балок на прочность по допускаемым напряжениям . 105

6.9Рациональная форма поперечного сечения балки . . . . . . 109

6.10 Перемещения балок при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.10.1Прогиб и поворот поперечного сечения балки . . . . 111

6.10.2Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 112

6.11Балки переменного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.12Балки равного сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.13Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.1.1Вычисление моментов, передаваемых на вал, по мощности и числу оборотов . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2Напряжения круглого вала при кручении и расч¼т на проч- ность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3Перемещения при кручении круглого вала . . . . . . . . . . 127

7.4Расч¼т винтовых цилиндрических пружин с небольшим углом подъ¼ма витка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.5Кручение брусьев некруглого сечения . . . . . . . . . . . . . 131

7.6Кручение тонкостенных брусьев (свободное кручение) . . . 132

7.6.1Свободное кручение тонкостенных брусьев с открытым профилем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.6.2Общий случай свободного кручения тонкостенного бруса с открытым профилем . . . . . . . . . . . . . . 134

7.6.3Свободное кручение тонкостенных брусьев с замкнутым профилем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.7Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1Потеря устойчивости сжатым стержнем. Формула Эйлера для критической силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2Влияние способа закрепления стержня на критическую силу143

8.3Пределы применимости формулы Эйлера. Полный график критических напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.4Расч¼т сжатых стержней с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения . . . . . . . . . 148

8.5Выбор формы поперечного сечения и материала сжатого стержня на основании экономических соображений . . . . . 151

8.6Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Ðèñ. 1.1. Áðóñ

поперечное сечение сечение бруса плоскостью, перпендикулярной оси.

Эти понятия однозначны: для любого бруса одна ось и для любой точки одно поперечное сечение.

Брусья бывают прямыми и кривыми. Если ось прямая линия, то брус прямой, если ось кривая линия брус кривой. Если радиус кривизны оси бруса значительно больше размеров поперечного сечения, то брус малой кривизны, если же радиус меньше размеров поперечного сечения, то брус большой кривизны.

Брусья бывают плоскими и пространственными. Если ось бруса плоская кривая, то брус плоский; если же ось пространственная кривая, то брус пространственный.

Брусья бывают постоянного и переменного поперечного сечения. Примеры брусьев: валы (различные); крыло самол¼та и т.д.

2. Пластина это тело, один размер которого (толщина) значительно меньше двух других. Пластина, имеющая искривления в одном или в двух направлениях, называется оболочкой.

Примеры: газовый баллон, бак ракеты, фюзеляж самол¼та.

1.3Основные гипотезы о деформируемом теле

1.Гипотеза сплошности. В сопротивлении материалов все тела, детали считаются сплошной средой без пустот (пренебрегая атомным строением материала).

2. Гипотеза идеальной упругости. В сопротивлении материалов все материалы считаются идеально упругими.

Упругость это способность тела (детали) восстанавливать свои форму и размеры после снятия нагрузки. Если форма и размеры восстанавливаются полностью, то это случай идеальной упругости.

Противоположное упругости свойство пластичность. Пластичностьэто способность тела (детали) получать неисчезающие, остаточные изменения формы и размеров.

3.Гипотеза однородности и изотропности. Материал (тело, деталь) считается однородным, если его упругие свойства одинаковы во всех точ- ках. Если упругие свойства не одинаковы материал неоднороден.

Материал считается изотропным, если его упругие свойства одинаковы по всем направлениям. Если упругие свойства не одинаковы материал анизотропен (пример: древесина).

4.Гипотеза Сен-Венана. Если к некоторой части тела приложена самоуравновешенная система сил, то действие это системы быстро убывает по мере удаления от места приложения сил (рис 1.2).

Рис. 1.2. Влияние системы самоуравновешенных сил

Следствие. Если систему сил, приложенную в некоторой части детали, заменить статически эквивалентной системой, приложенной в этой же части детали, то эта замена скажется только в области приложения сил.

5.Гипотеза неизменности начальных размеров. Даже при максимально допустимых действующих силах изменение формы и размеров деталей настолько малы, что при составлении уравнений равновесия ими

можно пренебречь. Например: шарнирно-стержневой кронштейн. В соответствии с этой гипотезой ′ = , ′ = (ðèñ 1.3).

Рис. 1.3. Неизменность начальных размеров

6. Гипотеза плоских сечений. Сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси до нагружения, оста¼тся плоским и перпендикулярным оси после нагружения .

1.4Классификация внешних сил

Внешними называются силы, с которыми соседние детали (тела) действуют на изучаемую деталь. Внешние силы бывают поверхностными и объ¼мными.

Поверхностные силы силы, приложенные к поверхности детали (пример: подъ¼мная сила крыла самол¼та).

Объ¼мные силы силы, приложенные к каждому элементу детали (тела) (пример: сила веса, инерционные силы).

Внешние силы бывают распредел¼нными и сосредоточенными. Распредел¼нные силы силы, приложенные ко всей детали или к е¼

части.

Сосредоточ¼нные силы силы, приложенные к небольшой части поверхности детали (пример : сила взаимодействия шарика (подшипника) и беговой дорожки).

Силы бывают постоянными и временными.

Постоянные силы силы, действующие в течение длительного промежутка времени.

Временные силы силы, действующие в течение небольшого промежутка времени

Силы бывают статическими и динамическими.

Статические силы силы, которые медленно изменяются от нуля до конечного значения и далее не изменяются (здание при строительстве).

Динамические силы разделяют на ударные и циклически изменяющиеся.

Ударные силы силы, при которых возникают большие ускорения Пример: сила взаимодействия шасси самол¼та и полосы (в момент посадки).

Циклические силы это силы, периодически изменяющиеся от одного крайнего значения до другого и обратно. Пример: сила, испытываемая шатуном двигателя внутреннего сгорания.

1.5Метод сечений. Понятие о напряжениях

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы (рис 1.4) силы взаимодействия отдельных частей детали. Именно внутренними силами определяется прочность деталей, поэтому определение внутренних сил является важнейшей задачей сопротивления материалов.

Внутренние силы определяются в два этапа:

Рис. 1.4. Внутренние силы

на первом этапе определяется сумма внутренних сил в поперечном сечении детали;

на втором этапе решается вопрос о том, как эта сумма распределена по поперечному сечению.

Первый этап статически определимая задача, второй этап стати- чески неопределимая задача.

Сумма внутренних сил находится с помощью метода сечений основного метода определения внутренних сил в сопротивлении материалов.

Суть метода сечений.

Изобразим тело произвольной формы, нагруженное системой сил 1, 2, 3, 4. Мысленно проводим сечение. Левую часть тела отбрасываем, изображаем правую часть. Покажем внешние силы, действующие на оставшуюся часть, и внутренние силы, распредел¼нные каким-то образом.

Привед¼м внутренние силы к какой-нибудь точке . Получим глав-

−→ −→ −→ −→

ный вектор и главный момент внутренних сил. и сумма внутренних сил в поперечном сечении тела.

Определим и . Покажем оси координат. Составим уравнения статики (уравнения равновесия)

∑

+ = 0;

∑

Имеем 6 уравнений статики и 6 неизвестных ( , , , , , ), то есть задача статически определима.

Внуртенние силы и не могут служить для оценки прочности