Множество возможных значений биномиальной СВ

p = P(X =i) = P (i) =Ci piqn−i , i =

.

0,n

i

n

n

Найдем математическое ожидание случайной величины X Bi(n, p) :

n

n

n!

n

(n −1)!

M X = ∑xi pi = ∑iCni

piqn−i = ∑i

piqn−i = np∑

pi−1qn−i =

i!(n −i)!

(i −1)!(n −i)!

i

i=0

i=0

i=1

n

(n −1)!

n

np∑

pi−1qn−i = np∑Cni−−11 pi−1qn−i = np( p + q)n−1 = np .

(i −1)!(n −i)!

i=1

i=1

n

n!

n

(n −1)!

M X 2 = ∑xi2 pi = ∑i2

piqn−i = np∑(i −1+1)

pi−1qn−i =

i!(n −i)!

(i −1)!(n −i)!

i

i=0

i=1

n

(n −1)!

i−1 n−i

n

i−1

i−1 n

−i

n

i−2

i−2

n−i

= np ∑

p

q

+ ∑Cn−1 p

q

= np(n −1) p ∑Cn−2 p

q

+ np =

(i −2)!(n −i)!

i=2

i=1

i=2

(( ((

(( ((

=1

=1

D X = M X 2 −(M X )2 = n2 p2 −np2 + np −n2 p2 = npq .

Окончательно,

M X = np , D X = npq .

∞

∞

M X = ∑xi pi = ∑iqi−1 p = p∑iqi−1 .

i

i=1

i=1

∞

Заметим,

что

ряд

∑iqi−1

представляет

собой

результат

i=1

q

∞

дифференцирования по q геометрической прогрессии ∑qi =

. Поэтому

1−q

i=1

d

∞

i

d

q

1

p

1

M X

= p

∑q

= p

= p

=

=

.

dq

(1−q)

2

p

2

p

i=1

dq 1−q

Для нахождения дисперсии СВ X G( p) вычислим вначале M X 2 .

2

2

∞

2

i − 1

∞

2

i−1

d

∞

i

d

∞

i−1

M X

= ∑xi

pi = ∑i

q

p = p∑i

q

= p

∑iq

= p

q∑iq

.

dq

dq

i

i=1

i=1

i=1

i=1

Заметим теперь, что при нахождении математического ожидания было

∞

1

получено, что ∑iqi−1 =

. Поэтому

(1−q)

2

i=1

M X 2 = p

d

q

1+ q

1+ q

= p

=

.

dq

(1−q)

2

3

2

(1−q)

p

Теперь для дисперсии случайной величины X G( p)

получаем выражение:

D X = M X 2 −(M X )2 =

1+ q −

1

=

q

.

p2

p2

p2

Окончательно,

M X =

1

, D X =

q

.

p

p2

Χ ={0,1,2,...,n,...}={xi =i,

i = 0,1,2,...},

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

p = P(X =i) = ai

e−a ,

i = 0,1,2,....

i

i!

Найдем математическое ожидание случайной величины X Π(a) :

∞

i

∞

a

i−1

M X = ∑xi pi = ∑i a

e−a = ae−a ∑

= ae−aea = a .

(i −1)!

i

i=0

i!

i=1

Для нахождения

дисперсии случайной

величины X Π(a) вычислим

−a

∞

ai−2

∞

ai−1

2

= ae

a∑

+ ∑

= a

+ a

(i −2)!

i=2

i=1

(i −1)!

Теперь для дисперсии случайной величины

X Π(a)

получаем

выражение:

D X = M X 2 −(M X )2 = a2 + a −a2 = a .

Окончательно,

M X = a , D X = a .

5. Равномерная случайная величина X R[a,b].

Плотность вероятностей

случайной

величины

X ,

равномерно

распределенной на отрезке [a,b], имеет вид:

1

, x [a,b];

f (x) =

b −a

0 , x [a,b].

Найдем математическое ожидание случайной величины X R[a,b]:

+∞

b

1

1

2

2

M X = ∫ xf (x)dx = ∫x

dx =

b

− a

= a +b .

b −a

b −a

−∞

a

2

2

2

Найдем далее M X 2 :

+∞

b

1

1

3

3

2

+ ab +b

2

M X 2 = ∫ x2 f (x)dx = ∫x2

dx

=

b

− a

= a

.

b −a

3

−∞

a

b −a

3 3

Для дисперсии случайной величины X R[a,b] получаем выражение:

D X = M X 2 −(M X )2 = a2 + ab +b2

−

(a +b)2

=

(b −a)2

.

3

4

12

Окончательно,

M X = a +b

,

D X =

(b −a)

2

.

12

2

f (x)

0 , x < 0;

=

λe−λx , x ≥ 0.

Найдем математическое ожидание случайной величины X E(λ) :

M X = +∞∫ xf (x)dx = λ+∞∫ xe−λx dx = −xe−λx

0+∞ + +∞∫e−λx dx =

1

.

λ

−∞

0

0

Найдем далее M X 2 :

M X 2 = +∞∫ x2 f (x)dx = λ+∞∫ x2e−λx dx =

2

.

λ2

−∞

0

D X = M X 2 −(M X )2 =

2

−

1

=

1

.

λ2

λ2

λ2

Окончательно,

M X =

1

, D X =

1

λ

λ2

1

e−

(x−a)2

f (x) =

2σ2

, −∞ < a < +∞, σ > 0, −∞ < x < +∞.

σ

2π

Найдем математическое ожидание случайной величины X N(a,σ2 ) :

+∞

1

+∞

(x−a)2

замена

1

+∞

u2

M X = ∫ xf (x)dx =

∫ xe−

2σ2 dx =

x −a =

∫(a +σu)e−

2 du =

−∞

σ 2π

−∞

u =

2π −∞

σ

1

+∞

u2

σ

+∞

u2

= a

∫e−

2 du +

∫ue−

2 du = a

2π

2π

−∞

−∞

=1 в силу нормировки

=0 в силу нечетности

f (x) =

1

, −∞ < x < +∞.

π(1+ x2 )