- •2.6. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •а ее закон распределения:
- •Множество возможных значений биномиальной СВ
- •а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
- •Множество возможных значений геометрической случайной величины
- •а вероятности значений определяются по формуле:
- •Множество возможных значений пуассоновской случайной величины
- •а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
- •8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.
- •Найдем математическое ожидание этой случайной величины:
всюду» (Р-п.в.) или просто «почти наверное» (п.н.), «почти всюду» (п.в.). Используют также термин: свойство выполнено с вероятностью 1.
М4). Если X ≥ 0 п.н. (то есть P(X ≥ 0) =1), то M X ≥ 0.
Если X ≥ 0 п.н. и при этом M X = 0, то X = 0 п.н. (то есть P(X = 0) =1).
▲ Доказательство свойства для дискретных случайных величин очевидно. Для непрерывных случайных величин доказательство следует из того, что плотность вероятностей f (x) = 0 при x < 0 ■.
М5). Если X ≤Y п.н., то M X ≤ MY .
Если X ≤Y п.н. и при этом M X = MY , то X =Y п.н..
▲ Для доказательства достаточно применить свойство М4) к случайной величине Y − X ≥ 0 п.н. ■.
М6). M X ≤ M X
▲ Поскольку − X ≤ X ≤ X для любого ω Ω, то в силу свойства М5) −M X ≤ M X ≤ M X , то есть M X ≤ M X ■.
Замечание. Свойство М6) справедливо и в более общем виде:
Для любой выпуклой вниз функции g = g(x) справедливо неравенство: g(M X ) ≤ M g(X ) (неравенство Йенсена).
Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
Кроме математического ожидания, в теории вероятностей используется еще ряд числовых характеристик различного назначения. Среди них основную роль играют моменты – начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом k -го порядка случайной величины
X называется математическое |
ожидание k -ой степени этой случайной |
|||
величины: |
= M X k , (2.9) |
|
|
|
αk |
|
|
|
|
если математическое ожидание существует. |
|
|
|
|
Как правило, используют начальные моменты αk |
целого положительного |
|||
порядка. В частности, при k =1 имеем α = M X , а при |
k = 2 α |
2 |
= M X 2 . |
|
|
1 |
|
|
Определение. Центральным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k -ой степени отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:
µk = M(X −M X )k , (2.10)
если математическое ожидание существует.
26
|
|
|
Случайная величина X = X −M X называется центрированной случайной |
||
величиной. Очевидно, |
|
. Таким образом, центральный |
M X = M X −M X = 0 |
момент – это начальный момент для центрированной случайной величины:
µk = M X k .
Аналогично начальным моментам, используются центральные моменты µk , как правило, целого положительного порядка. В частности, при k =1 имеем
µ1 = M X = M(X −M X ) = 0 для всех случайных величин.
Особое значение для практики имеет второй центральный момент µ2 , который называется дисперсией случайной величины и обозначается D X .
Определение. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
DX = M(X −MX )2 . (2.11)
Для дисперсии DX справедливо также следующее выражение:
DX = M(X −MX )2 = M X 2 −2X M X +(M X )2 =
= M X 2 −2MX M X +(M X )2 = M X 2 −(M X )2
Таким образом, наряду с (2.11), имеем эквивалентное определение дисперсии DX :
D X = M X 2 −(M X )2 . (2.12)
С помощью формулы (2.12) на практике вычислять дисперсию часто бывает проще.
Дисперсия D X характеризует степень разброса (рассеивания) значений случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания). Чем плотнее группируются значения случайной величины около математического ожидания, тем дисперсия меньше (ср. со смыслом параметра
σ2 в нормальном законе распределения).
Механическая интерпретация дисперсии. Дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (центра тяжести, математического ожидания).
Вычисляются начальные моменты αk по формулам, вытекающим из основной теоремы о математическом ожидании для функции g (x)= xk :
если Х – дискретная случайная величина, то
αk =MX k = ∑xik pi ;
i
если Х – непрерывная случайная величина, то
αk =MX k = ∞∫ xk f (x)dx .
−∞
27
Центральные моменты µk вычисляются по формулам, вытекающим из основной теоремы о математическом ожидании для функции g (x)=(x −MX )k :
если Х – дискретная случайная величина, то
µk = M(X - M X )k = ∑(xi −M X )k pi ;
i
если Х – непрерывная случайная величина, то
µk = M(X - M X )k = ∞∫(x −M X )k f (x)dx .
−∞
Формулы для вычисления дисперсии DX вытекают из основной теоремы о математическом ожидании для функции g (x)=(x −MX )2 , если используется
формула (2.11), или для |
функции g (x)= x2 −(MX )2 , если |
используется |
|||||
формула (2.12): |
|
|
|
|
|
|
|
если Х – дискретная случайная величина, то |
|
|
|
||||
|
D X = ∑(xi −M X )2 pi = ∑xi2 pi −(M X )2 |
|
|
||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
если Х – непрерывная случайная величина, то |
|
|
|
||||
|
D X = ∞∫(x −M X )2 f (x)dx = +∞∫ x2 f (x)dx −(M X )2 |
|
|
||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
||
Свойства дисперсии |
|
|
|
|
|
||
D1). D X ≥ 0, D X = 0 тогда и только тогда, когда X =C = const п.н. |
|
||||||
▲ |
Поскольку |
|
(X −M X )2 ≥ 0 |
для |
любого |
ω Ω, |
то |
M(X −M X )2 = D X ≥ 0 |
в соответствии со |
свойством М4) математического |
|||||
ожидания |
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, |
что |
X =C = const |
п.н. Тогда |
M X =C |
и |
||
D X = M(X −M X )2 = M(C −C)2 = 0 . Обратно, если D X = M(X −M X )2 = 0 , то |
|||||||
в соответствии со свойством М4) математического ожидания |
(X −M X )2 = 0 |
||||||
п.н., а значит X = M X =C п.н. ■. |
|
|
|
|
D2). Дисперсия не изменяется при прибавлении к случайной величине константы:
D(X +C) = D X .
▲ D(X +C) = M[(X +C) −M(X +C)]2 = M(X −M X )2 = D X ■. D3). Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом:
D(CX ) =C2 D X .
▲ D(CX ) = M[CX −M(CX )]2 =C2 M(X −M X )2 = D X ■.
28
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерность случайной величины, является среднее квадратическое отклонение σX
(стандартное отклонение), определяемое как корень арифметический из дисперсии:
σX = DX .
Поэтому часто пишут: DX =σX2 .
Другие используемые на практике числовые характеристики положения. Величина xp , определяемая равенством F (xp )= p , называется
p - квантилем распределения случайной величины X .
Квантиль x0,5 называется медианой распределения случайной величины X . Другими словами, медиана – это значение x0,5 на числовой прямой, для
которого
P(X ≤ x0,5 ) = P(X ≥ x0,5 ) = 0,5
Модой распределения непрерывной случайной величины X называется число xM , при котором плотность вероятностей f (x) достигает максимального
значения. Распределения с одной модой называются унимодальными, а распределения с несколькими модами – мультимодальными.
Для симметричных распределений медиана, мода и математическое ожидание совпадают.
2.7. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин
1. Индикаторная случайная величина. Индикаторная случайная величина имеет вид:
X = IA (ω) = |
1, |
ω A; |
|||||
|
|
|
|||||
а ее закон распределения: |
|
|
0 , ω A, |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
q |
|
|
p |
|
где p = P(A), q =1− p . |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной |
|||||||
величины. |
|
|
|
|
|
|
|
M X = M IA = ∑xi pi = 0 q +1 p = p . |
|
|
i |
|
D X = D IA = M X 2 −(M X )2 = ∑xi2 pi − p2 = 0 q +1 p − p2 = pq . |
||
|
i |
|
Окончательно, |
|
|
M X = p , D X = pq . |
||
|
|
|
29