2 Понятие матрицы. Действия над матрицами
Специалистам, работающим в области экономики, при решении прикладных задач часто приходится оперировать множеством числовых данных, оформленных в виде таблицы. Для проведения количественного анализа таких массивов данных в математике используется понятие матрицы.
Матрицейназывается совокупность чисел, расположенных в виде таблицы изmстрок иnстолбцов. В этом случае матрица называется прямоугольной или матрицей размераmn.
Если число строк равно числу столбцов m = n, то матрица называетсяквадратной, порядка m.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
В частном случае матрица может состоять из одной строки или одного столбца.
Элемент матрицыобозначаетсяаij, здесь первый индекс iобозначает номер строки, второй индексjобозначает номер столбца.
В общем случае матрица записывается в виде:
.
(2.1)
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получится матрица, называемая транспонированной. Она записывается в виде:
.
(2.2)
Матрицу можно
умножать на произвольное число
,
при этом каждый элемент умножается на
это число:
А=
.(2.3)
Матрицы одного размера можно складывать (вычитать). При этом получается матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц:
+
=
.
Одну матрицу А можно умножать на другую матрицуВтолько в том случае, когда число столбцов первой матрицыА равно числу строк второй матрицыВ.
Произведение матриц обозначается как С=АВ. Каждый элемент новой матрицы находится как сумма произведений элементовi-ой строки матрицыАна соответствующие элементыj-го столбца матрицыВ:
(2.4)
При выполнении действий над матрицами следует учитывать следующие свойства:
Произведение матриц некоммутативно, то есть АВВА.
Произведение матриц ассоциативно, то есть
(АВ) С=А (ВС).
Произведение матриц подчиняется дистрибутивному закону, то есть (А+В)С=АС+ВС.
Произведение матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице.
Пример 2.1
Найти транспонированную матрицу, если дана матрица
А=
.
Согласно формуле (2.2), меняя местами строки и столбцы получим
.
Пример 2.2
Найти сумму двух матриц, если
А=
;В=
.
Согласно правилу сложения матриц получим
А+В=
=
.
Пример 2.3
Найти разность матриц, если
А=
;В=
.
Согласно правилу вычитания матриц, получим
А-В=
=
.
Пример 2.4
Найти матрицу С = 2А-В, если
А=
,В=
.
Согласно правилам действия над матрицами, получим
С=
=
.
Пример 2.5
Найти произведение матриц АВиВА, если
А=
В=
.
Согласно правилу умножения двух матриц (2.4), получим
АВ=
=
ВА=
=
.
Пример 2.6
Для матрицы С=АВнайти значение одного элементаС23, если
А=
,В=
.
Учитывая правило умножения матриц, по формуле (1.4), умножая элементы второй строки матрицы Ана соответствующие элементы третьего столбца матрицыВи складывая, получим
С23=2
.
3 Понятие обратной матрицы
При решении системы линейных уравнений используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица обозначается символом А-1.
Матрица А-1называетсяобратнойдля матрицыА, если произведениеАА-1=Е, гдеЕ-единичная матрица, то есть матрица, у которой элементы по диагонали равны 1, а остальные нули. Например:
.
Обратная матрица находится по формуле
,
(3.1)
где - определитель матрицыА;
-
матрица транспонированная к матрице,
составленной из алгебраических дополнений
элементов матрицы А:
.
(3.2)
Заметим, если определитель матрицы равен нулю=0 , то обратная матрица не существует.
Пример 3.1
Найти матрицу обратную данной матрице
.
Составим определитель матрицы и вычислим его по теореме Лапласа:
=
.
Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:
Составим транспонированную матрицу из полученных алгебраических дополнений по формуле (3.2):
.
Теперь находим обратную матрицу по формуле (3.1)
.
Пример 3.2
В предыдущем примере проверить правильность нахождения обратной матрицы.
Так как по определению АА-1=Е, то для проверки правильности нахождения обратной матрицы вычислим произведение двух матриц:
=
.
Так как произведение матриц единичная матрица, то обратная матрица определена правильно.