4. Образовательные технологии

Вид учебной работы

Всего часов

Семестры

1

2

3

4

Аудиторные занятия (всего)

277

108

133

36

В том числе:

-

-

-

-

-

Лекции

129

54

57

18

Практические занятия (ПЗ)

148

54

76

18

54

Семинары (С)

Лабораторные работы (ЛР)

Самостоятельная работа (всего)

227

72

119

36

В том числе:

-

-

-

-

-

Курсовой проект (работа)

Расчетно-графические работы

Реферат

Другие виды самостоятельной работы

227

72

119

36

2 к/р

тест

4 к/р

тест

1 к/р

тест

Вид текущего контроля успеваемости

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)

экз.

экз.

зач.

.

Общая трудоемкость час

зач. ед.

504

180

252

72

14

№ п/п

Наименование раздела дисциплины

Содержание раздела

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

1.

Векторная и линейная алгебра.

Понятие матрицы. Основные операции матричной алгебры и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие об определителе -го порядка. Обратная матрица, её нахождение. Системы двух и трёх уравнений с двумя и тремя неизвестными соответственно. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных неоднородных уравнений методом Крамера, методом Гаусса, матричным методом. Системылинейных уравнений снеизвестными. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера–Капелли.

Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.

Решение основных задач аналитической геометрии. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Некоторые приложения скалярного произведения. Векторное произведение векторов и его основные свойства. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения векторов через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения.

9-КР

2

Аналитическая геометрия

Линии и поверхности, задаваемые алгебраическими уравнениями первого порядка: прямая и плоскость. Различные способы задания прямых на плоскости Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Нормальный вектор плоскости. Различные способы задания плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Направляющий вектор прямой. Различные способы задания прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности. Линии и поверхности, задаваемые алгебраическими уравнениями второго порядка. Определения, канонические уравнения и исследование формы эллипса, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка.

10-коллоквиум

3

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Основные свойства вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Числовые последовательности. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Сходящиеся последовательности. Определение предела последовательности. Бесконечные пределы. Число . Натуральные логарифмы. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Определение и способы задания функции. Элементарные функции и их классификация. Определение предела функции. Свойства пределов функции. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Неограниченность бесконечно большой функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Некоторые замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного; предел и непрерывность сложной функции. Непрерывность функции на отрезке. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, существование промежуточных значений. Точки разрыва функций и их классификация.

Параметрическое задание функции. Производная параметрически заданных функций. Таблица основных формул дифференцирования. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие некоторых видов неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Различные формы представления остаточного члена. Использование формул Тейлора и Маклорена в приближенных вычислениях и прикладных задачах. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба и асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика

15-КР

4

Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Табличные интегралы. Простейшие приемы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные дроби. Интегрирование элементарных рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Интегрирование математических выражений, содержащих тригонометрические функции.

5

Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Производная интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным интегралом и первообразной функцией. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приближенное вычисление определенных интегралов.

Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, вычисление длин дуг кривых, площадей поверхности и объемов тел. Механические приложения определенного интеграла (работа силы, вычисление статических моментов и центра тяжести кривой).

10-КР

6

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченной подынтегральной функции. Признаки сравнения несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимости

7

Двойной интеграл

Определение двойного интеграла, его свойства. Вычисление двойного интеграла последовательным интегрированием. Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай замены в двойном интеграле.

Приложения двойного интеграла (вычисление площадей на плоскости, объемов тел, площади криволинейной поверхности, массы, моментов инерции, координат центра тяжести плоской фигуры)

14-коллоквиум

8

Тройной интеграл

Определение тройного интеграла, его свойства. Вычисление тройного интеграла последовательным интегрированием. Замена переменных в тройном интеграле. Общий случай замены в тройном интеграле.

Приложения тройного интеграла (вычисление моментов инерции, координат центра тяжести тела)

17-КР

9

Криволинейный интеграл

Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги), его основные свойства и вычисление. Определение криволинейного интеграла второго рода (по координатам), его основные свойства и вычисление. Связь между ними. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Некоторые приложения криволинейных интегралов: вычисление масс, распределенных вдоль кривой; координат центра масс; моментов инерции.

8-КР

10

Поверхностный интеграл

Односторонние и двусторонние поверхности. Определение поверхностного интеграла первого рода, его свойства и вычисление. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства и вычисление. Формулы Стокса и Остроградского

11

Дифференциальные уравнения первого порядка

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие понятия и определения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными и разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, уравнение Бернулли. Задача Коши, ее геометрический смысл. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства).

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах и их интегрирование. Интегрирующий множитель. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

12

Дифференциальные уравнения высшего порядка

Дифференциальные уравнения -го порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные).Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Некоторые приближенные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

13-КР

13

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Каноническая и нормальная формы систем дифференциальных уравнений. Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

14

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных и ее геометрическое изображение. Область определения. Предел функции, ее непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного первого дифференциала относительно выбора переменных. Неявные функции. Теорема существования. Производная неявной функции. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент функции. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции нескольких переменных. Условные максимумы и минимумы.

17-коллоквиум

15

Числовые ряды.

Числовые ряды. Определение. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Числовые ряды с положительными членами: сравнение рядов, признак Даламбера, признак Коши. Интегральный признак сходимости числового ряда.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда

16

Функциональные ряды. Степенные ряды.

Общие функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных рядов.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов.

Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры разложения элементарных функций в степенной ряд

17

Ряды Фурье

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях: вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

Тригонометрические ряды Фурье. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач. Коэффициенты Фурье, их стремление к нулю. Сходимость тригонометрических рядов Фурье в точке и в среднем. Понятие ортонормированной системы, разложение по полной системе. Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на интервале . Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале.

Интеграл Фурье. Определение. Представление функции интегралом Фурье

18

Комплексные числа.

Комплексные числа и формы их представления. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Муавра и ее применение. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

19

Теория вероятностей

Случайные события и их вероятности.Классификация событий. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Эмпирический закон устойчивости частот. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Вероятностное пространство.Теоремы сложения и умножения вероятностей.Операции над событиями (сложение и умножение). Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Практически невозможные и практически достоверные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.Следствия теорем сложения и умножения.Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.Схема независимых испытаний.Формула Бернулли. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра–Лапласа и их применение. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Формула Пуассона. Общая теорема о повторении опытов (производящая функция). Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.Случайные величины и их числовые характеристики.Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное, пуассоновское и геометрическое дискретные распределения. Простейший поток случайных событий.

Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты. Функция и плотность распределения вероятностей случайной величины.Функция распределения (интегральная функция), ее свойства и график. Функция плотности распределения вероятностей (дифференциальная функция), ее свойства и график. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывных случайных величин и их свойства. Равномерное, нормальное и экспоненциальное распределения.Закон больших чисел и предельные теоремы.Лемма, неравенство и теорема Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли о сходимости частот. Теорема Пуассона. Понятие о предельных распределениях. Центральная предельная теорема Ляпунова.

10-КР

20

Математическая статистика

Основные понятия математической статистики.Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки. Способы отбора. Обеспечивающие репрезентативность выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Выборочные характеристики и их распределение. Генеральная и выборочная средние. Групповая и общая средние. Генеральная и выборочная дисперсии. Групповая, внутригрупповая и общая дисперсииСтатистическое оценивание.Понятие о статистической оценке. Оценки параметров распределения по эмпирическим (выборочным) данным. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Несмещенные и состоятельные оценки генеральной средней и дисперсии. Точечные оценки параметров. Основные методы оценивания: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Понятие об интервальном оценивании. Погрешность оценивания. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.Оценка результатов наблюдений над нормально распределенной случайной величиной с помощью статистических гипотез.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Критерий согласия. Уровень значимости. Критическая область, критические точки. Область принятия гипотезы. Отыскание левосторонней, правосторонней и двусторонней критических областей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка однородности наблюдений.

16-КР