Задача 3

3.1-3.20 Даны координаты точек А₁ ,A₂ ,А₃ ,A₄

Найти длину ребра А₁ А_2. Составить уравнение ребра А₁ А_{4 .}и грани А₁А₂А_3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А ₄ на плоскость А₁А₂А_3. Найти площадь треугольника А₁A₂A₃ . Найти объем треугольной пирамиды А₁A₂А₃A₄

N	Координаты точек
Вар	A1	A2	A3	A4
2.1	(1;0;2)	(2;1;1)	(-1;2;0)	(-2;-1;-1)
2.2	(-1;2;1)	(1;0;2)	(2;-1;3)	(1;1;0)
2.3	(2;1;1)	(-1;2;-1)	(1;0;-2)	(3;-1;2)
2.4	(-1;2;0)	(1;0;-2)	(3;1;1)	(2;-1;-1)
2.5	(2;0;1)	(1;3;-1)	(-1;2;0)	(2;-2;1)
2.6	(1;2;-3)	(2;1;1)	(3;0;2)	(0;-1;3)
2.7	(1;-2;3)	(3;1;2)	(-1;0;-3)	(2;-1;1)
2.8	(2;0;3)	(-1;3;2)	(3;2;0)	(-2;1;1)
2.9	(-2;1;-3)	(3;-1;0)	(2;3;1)	(1;2;2)
2.10	(2;2;1)	(`1;1;3)	(-2;0;-1)	(0;-1;2)
2.11	(1;2;5)	(0;7;2)	(0;2;7)	(1;5;0)
2.12	(4;4;10)	(4;10;2)	(2;8;4)	(9;6;4)
2.13	(4;6;5)	(6;9;4)	(2;10;10)	(7;5;9)
2.14	(3;5;4)	(8;7;4)	(5;10;4)	(4;7;8)
2.15	(10;6;6)	(-2;8;2)	(6;8;9)	(7;10;3)
2.16	(1;8;2)	(5;2;6)	(5;7;4)	(4;10;9)
2.17	(6;6;5)	(4;9;5)	(4;6;11)	(6;9;3)
2.18	(7;2;2)	(5;7;7)	(5;3;1)	(2;3;7)
2.19	(8;6;4)	(10;5;5)	(5;6;8)	(8;10;7)
2.20	(7;7;3)	(6;5;8)	(3;5;8)	(8;4;1)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. Для решения задачи следует использовать следующие сведения

1.) Каноническое уравнение прямой

L: (1)

M₀ (x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой L .

l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.

2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁ (x₁ ,y₁ , z₁ ) и M₂ (x₂ ,y₂ , z₂),

(2)

где (x ₁,y ₁ ,z ₁₎ - координаты одной точки на прямой, (x₂ ,y_{2 ,}z ₂) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.

3.) Параметрическое уравнение прямой

(3)

M₀ (x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.

4.) Условие параллельности прямых

Рассмотрим две прямые

L₁:

L₂ : , если прямая L₁ параллельна L₂ , то выполняется условие :

(4)

5.) Условие перпендикулярности прямых

l ₁ l₂ + m₁ m ₂ +n₁ n₂ =0 (5)

6). Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D = 0 , (6)

где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.

7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M₀ (x₀,y₀,z₀), M₁ (x₁,y₁,z₁), M₂ (x₂,y₂,z₂)

(7) или

(x-x₀) ((y₁-y₀)(z₂-z₀)-(y₂-y₀)(z₁-z₀)) – (y-y₀) ((x₁-x₀)(z₂-z₀)-(x₂-x₀)(z₁-z₀))+

+(z-z₀) ((x₁-x₀)(y₂-y₀)-(x₂-x₀)(y₁-y₀))=0

8). Условие параллельности плоскостей