Производная и дифференциал функции являются своеобразным математическим символом сегодняшнего типа цивилш ащш.

Ключевые слова:

Функция, производная функции и ее свойства, дифференциал нахождение производной функции.

• Что такое функция?

• Если каждому значению переменной х , принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у , то у является функцией отх . В символической записи:

У = /(*)

Несмотря на то, что содержание понятия "функции" обнаруживается в далекой древности (например, в первых формулах для нахождения площади и объема геометрических фигур, в табличном способе задания функции - астрономические таблицы вавилонян, древних греков и ин­дийцев) только начиная с XVII века, в связи с проникновением в матема­тику идеи переменных величин, оно стало применяться сознательно и целенаправленно.

Главным образом, благодаря работам знаменитого философа и ма­тематика Р.Декарта.

Почему знаменитые ученые античного мира, прежде всего, извест­ные всему миру греческие философы и математики, решавшие сложные геометрические задачи, финикийские и египетские инженеры, считаю­щиеся родоначальниками мореплавания, строившие выдающиеся архи­тектурные сооружения, широко не использовали понятия функции как зависимости одной величины от другой?

• Математика сегодняш­него типа цивилизации

  В этом не было практической надобности?

• Совершенно верно. Ученые античного мира решали сложные гео­метрические задачи (ведь геометрия описывает статичные процессы), которые не требовали описания динамических процессов.

Математика античного ми­ра

Число (Статичное)

Функция (Динамичное)

• Что лежит в основе отличия числа от функции? Или, в чем заклю­чается рубеж, отделяющий античную математику от современной?

• Понятие бесконечности. Видный философ культуры XX века Ос­вальд Шпенглер в «Закате Европы» отмечал, что каждый народ имел свое Число, и что математика античности и математика наших дней две разные, по сути, науки. Более того, не требуется специальных знаний в области точных наук, чтобы показать, что речь идет о двух симметрич­ных областях математики, которые, по мысли О. Шпенглера, отражают величие и непохожесть античного и современного обществ.

Приведем пример утверждения с доказательством (предмет-физика).

Эвристическое задание №1!

Доказательство того, что:

Законы макромира отличаются от законов микромира.

^Движение Є вокруг ядра напоминает движение планеты вокруг Солнца?

s e , как и планета, движется с ускорением?

^Тогда, согласно законам электромагнитной индукции, е должен из­лучать электромагнитную энергию, и, значит, вскоре упасть на ядро?

^Если этого не происходит в действительности, то законы классиче­ской электродинамики неприменимы к микромиру?!

118

119

Эвристическое задание №2!

Опровергните утверждение:

Если планеты Солнечной системы не перемещаются с одной орбиты на другую, в отличие от электронов в атоме, то это не озна­чает, что между законами физики макромира и микромира нет свя­зи.

Рассмотрим четвертый тип задания. Учащийся доказывает и одно­временно опровергает утверждение. В результате им совершается мыс­лительная работа по осмыслению явления или явлений в пределах дан­ной темы, т.е. рефлексия учащегося. Причем, в результате подобного единства, по сути, противоположно направленных действий осуществля­ется генерирование эмоции, которая, взаимодействуя с логикой при до­казательстве и опровержении, является основой усиления интенсивности мыслительной деятельности учащегося. Здесь мы можем наблюдать два возможных варианта деятельности учащегося:

1. «путь» доказательства (количество вопросов при доказательстве ЭЗ) и «путь» опровержения могут не совпадать (необратимый процесс);

2. «путь» доказательства и «путь» опровержения совпадают (об­ратимый процесс).

Это означает, что доказательство утверждения произошло при меньшей постановке вопросов, чем при опровержении. Почему? Дело в том, что, продвигаясь по «обратному» пути, на каждом вопросе как этапе этого пути ученик производит гораздо большее осмысление своих дейст­вий, нежели в одностороннем порядке (только при доказательстве или опровержении).

Разнонаправленность мыслительных операций учащегося (при до­казательстве и опровержении) приводит к усилению его мышления, кото­рое сопровождается генерированием эмоций в целом. Эмоция (эмоцио­нально-ценностная компетенция) ЭД усиливает как интенсивность познавательного мышления ученика, так и его рефлексию. Действи­тельно, эмоция дала толчок развитию всей западной культуры и заложи­ла основы деятельности человека по преобразованию (дифференциро­ванию) окружающего его мира. В проекции на образовательную плоскость можно говорить о том, что положительные эмоции способст­вуют эффективной мыслительной деятельности ученика.

"Столкновение" двух логик учащегося вызывает воодушевление и эмоцию - подобные ситуации в спорах достаточно широко изучены. При­чем, важным показателем эффективности мыслительной деятельности как результата взаимодействия эмоции и логики является разница в ко­личестве вопросов при доказательстве и опровержении - большая разница свидетельствует о большей работе внутреннего диалога, а, значит, о большей силе взаимодействия эмоции и логики учащегося. Данная разница показывает количество приобретенного знания (интен­сивного и экстенсивного) учащимся при выполнении эвристическогозада-ния.

Диалог (две логики) становится по-настоящему эвристическим при взаимодействии эмоции и логики. ЭД на основе опровержения и (ли) доказательства приводит к появлению ученической эмоции, которая за-

120

тем взаимодействует с логикой его рассуждений, порождая новое ЭЗ, и т.д. Эвристические задания, таким образом, порождают эвристический диалог, который, в свою очередь, создает предпосылки для конструиро­вания ЭЗ,

Рассмотрим также тип задания, направленный на сравнение двух ис­ходных постулатов и конструирование нового знания на этой основе.

По сути, речь идет о работе по сравнению двух постулатов и созда­нию на основе этой работы нового знания. Причем, чем большая «смы­словая разница», большая «дистанция» (больший «перепад энергии», выражаясь языком физики, двух высказываний) будет между ними, тем большую умственную работу нужно произвести ученику для конструиро­вания нового знания.

Отметим, что данная работа по сравнению дифференцированного знания имеет прямое отношение к внутреннему диалогу учащегося и может измеряться в единицах этого диалога (например, в количестве вопросов). Это дает нам право утверждать, что вопрос учащегося в ЭД наполнен в самой своей основе ценностно-эмоциональным компонен­том знания, что делает образовательный процесс более привлека­тельным и интенсивным.

Приведем пример диалогового компонента текста учебника по формированию умений школьников преобразовывать информацию и находить аналогии: между сюжетом сказки и усвоенным теоретическим материалом.

Из всех четырех видов физического взаимодействия ядерное -самое сильное! Почему же тогда распадается ядро атома, или: Почему старик оказался у разбитого корыта в известной сказке о рыбаке и рыбке?

• Учитель: Ядерные силы выигрывают в силе, но проигрывают в рас­стоянии, на котором действуют. Поэтому ядерные силы называются ко­роткодействующими, а кулоновские силы отталкивания - дальнодейст-вующими.

• Ученик: Какова же связь распада ядра со сказкой?

• Учитель: Ядерные силы воплощают в себе жадность человека -чем больше имеешь - больше хочется! Чем больше протонов и нейтро­нов поглощает ядро, тем сильнее становятся ядерные силы, «цементи­рующие» ядро. Казалось бы, их ничто не остановит - ведь они самые сильные! Однако при этом увеличивается и объем ядра. И однажды, когда объем ядра увеличивается настолько, что расстояние между час­тицами не позволяет действовать «неосмотрительным» ядерным силам, тогда начинает происходить неотвратимая «расплата» - ядро распадает­ся от действия более слабых, но более дальнодействующих (дальновид­ных?!) сил отталкивания Кулона со стороны положительно заряженных частиц. Как не вспомнить разбитое корыто, у которого оказалась жадная старуха!

• Учитель: Теперь вам предстоит на основе любого физического яв­ления самостоятельно придумать сказку по выбранному разделу.

121

Пример №2. Составление наглядного представления о сложной функции.

Учащийся может самостоятельно (для лучшего усвоения) составить свой образ сложной функции и ее производной. Левый столбец отражает наглядную информацию, правый - математическую.

Рис. 7. Элемент диалогового учебника

Это же задание может изначально задаваться и в качестве вопроси­тельной формы ЭЗ. Например, в таблице будет отсутствовать левая нижняя ячейка с чередой матрешек, а учащемуся надо самостоятельно изобразить графически образ производной сложной функции.

Во всех вышеперечисленных типах эвристических заданий есть ЭД как основа взаимодействия наглядно-образного мышления и мышления логического.

Перечисленные принципы конструирования и работы с эвристиче­скими учебниками проверялись нами в дидактическом эксперименте на основе разработанных учебных пособий («Биофизика в диалогах», «Диа­логический курс медицинской и биологической физики», материалы учеб­ных модулей 17 эвристических дистанционных курсов с диалоговым ком­понентом).

В текстах самих диалогов школьнику предлагаются разнообразные практические задания для самостоятельного выполнения, направленные на развитие умений самостоятельного создания и приобретения знаний, а также умений по доказательству и опровержению мнения собеседника.

Примеры практических заданий: Задание вида «Подумайте».

Задание на создание учащимся собственного креативного про­дукта на основе проведения аналогии из предыдущих знаний.

Доказательство или опровержение утверждения с помощью по­следовательности эвристических вопросов.

Задание на сравнение нескольких фрагментов текста друг с дру­гом с целью создания учащимся аналогии.

Важно отметить постепенный переход от традиционных заданий (перечисление особенностей, заполнение таблицы и др.) к заданию на умение доказывать или опровергать первоначальное утверждение с по­мощью последовательности вопросов. Таким образом, следует отметить сочетание традиционных дидактических компонентов учебника и нетра­диционных креативных, в которых образовательный продукт учащегося представляется в виде вопроса (последовательности вопросов).

В конце каждого диалога помещено доказательство (или опровер­жение утверждения) с помощью последовательности эвристических вопросов. Данная форма изложения материала, продолжающего тему, позволяет учащемуся ознакомиться с существующими типами вопросов и правильной последовательностью их задавания.

Некоторые задания включают в себя одновременное доказательст­во и опровержение одного и того же утверждения.

Задания на постановку вопросов учащимися к утверждению состав­лены с учетом эволюции его представлений по данной проблеме: каждая тема не просто способствует созданию учащимся знаний в пределах этой темы, но и обобщает ранее созданные и приобретенные им знания. По­этому от темы к теме претерпевает и акцент в виде создаваемого вопро­са как продукта эвристической деятельности учащегося - от вопросов группы «Что?» к вопросам группы «Как?», «Если, то?» и «Почему?».

В учебнике представлены задания, в которых одна и та же цитата по­вторяется несколько раз в разных диалогах - учащийся, задавая свои вопросы к одной и той же цитате, но уже в последующих диалогах, расширяет свой диапазон представлений о мире в целом, совершая большую работу по переходу речи внутренней в речь внешнюю.

Задания в конце последней темы могут являться заданиями ко всему курсу, поскольку данная тема является главной обобщающей, по сравне­нию со всеми остальными, темами.

Большинство заданий на опровержение (доказательство) снабжается ключевыми конструкциями «вопросов-подсказок», каждое из которых соотносится с той или иной группой вопросов согласно основным этапам познания. Например:

Практическое задание

- Докажите или опровергните, что между понятиями красоты чело­века и окружающего его мира, воспетые древними греками, и воли (фи­лософия Ф. Ницше и А. Шопенгауэра) существует тесная взаимосвязь.

- Изобразите эту связь в виде рисунка.Ключевые конструкции вопросов-подсказок:

Можно ли рассматривать красоту как некое совершенство, Абсолют, которое не требует дополнения? (вопрос из группы «Что?»)

Значит ли это, что красота - нечто статичное? (вопрос из группы «Как?»)

Можно ли утверждать, что воля имеет отношение к динамичному? (вопрос из группы «Что?»)

Если да, то, правильным ли будет утверждение, что ...?

122

123

Использование эвристического диалога, эффективно выполняющего интегрированную и дифференцирующую функции дистанционного учеб­ного процесса, в построении содержания школьных учебников представ­ляет собой универсальную комплексную основу для создания внутренне­го диалога логики и образа учащегося.