Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Elektro / Lek21_05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

424.32 Кб

Скачать

☆

Лекция 5. ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1.Общие сведения

2.Разложение несинусоидальных функций в тригонометрический ряд Фурье

3.Действующее и среднее по модулю значения несинусоидального тока и напр-ния

4.Мощности цепи несинусоидального тока

5.Расчет электрических цепей несинусоидального тока

5.1. Общие сведения

Причин отличия кривых токов и напряжений от синусоидальной формы несколько. Вопервых, в генераторах переменного тока кривая распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора из-за конструктивного несовершенства машин может отличаться от синусоиды. Это приводит к возникновению в обмотках несинусоидальной ЭДС. Отличие формы кривой ЭДС от синусоидальной нежелательное, и его стремятся уменьшить. Во-вторых, появление в цепи несинусоидальных токов и напряжений может быть связано с включением в цепь различных нелинейных элементов – нелинейных катушек, конденсаторов, выпрямителей и др. В-третьих, во многих электротехнических и радиотехнических устройствах используют источники сигналов – импульсов, у которых выходные напряжения и токи несинусоидальные. Форма импульсов может быть самой различной: пилообразной, прямоугольной и др. Наконец, применение в электротехнических устройствах источников синусоидальных ЭДС разной частоты вызывает появление несинусоидальных напряжений и токов.

Для примера рассмотрим пассивный двухполюсник с линейными параметрами (рис. 5.1 а), на входе которого включены два источника ЭДС разной частоты

e1 E1m sin t;	e2	E2 m sin 2			t .
		Напряжение на входе двухполюсника
	равно сумме этих ЭДС:
	u	e1	e2	E1m sin		t	E2m sin2 t .
	Легко убедиться в том (рис. 5.1 б), что это
	напряжение			будет		несинусоидальным.
	Очевидно,		ток	i	на входе		двухполюсника
	также будет несинусоидальным. Применим
	для расчета этой цепи принцип наложения, по
	которому результирующий ток определяется
	как сумма частичных токов, возникающих
Рис. 5.1	под действием каждой ЭДС в отдельности.
	Если	в	цепи		действуют источники

несинусоидальных ЭДС, то их необходимо разложить на гармонические составляющие. Расчет отдельных гармонических составляющих выполняется известными методами расчета электрических цепей синусоидального тока.

5.2. Разложение несинусоидальных функций в тригонометрический ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая несинусоидальная функция f t ,

удовлетворяющая условию Дирихле (имеющая за период конечное число максимумов и конечное число разрывов первого рода), может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

f t A0 A1m sin t

Akm sin k t

1	A2m sin 2 t	2 ...
k	Akm sin k t	k ,	(5.1)
	k 0

где A0 – постоянная составляющая (нулевая гармоника, k = 0); A1m sin t 1– первая (основная) гармоника, период которой равен периоду исходной несинусоидальной функции

(все остальные		слагаемые	называют высшими гармониками);				k –	порядковый	номер
гармоники;	A1m, A2m... Akm		– амплитуды соответствующих			гармоник; 1, 2 ...			k –
начальные	фазы	гармоник;	2		– основная частота; T	–	период	несинусоидальной

				T

периодической функции.

Коэффициенты ряда (5.1) определяются по формулам Эйлера. Постоянная составляющая A0 определяется как среднее значение несинусоидальной функции за период

A0	1 T	f t dt	1

	T 0		2

f t d t .

(5.2)

Составляющие амплитуд гармоник

2 T

Bkm

t sin ktdt

sin k

t ;

(5.3)

T 0

2 T

Ckm

cos ktdt

cos k

t d

t .

(5.4)

Амплитуды и начальные фазы гармоник ряда (5.1)

Ckm

;

arctg

(5.5)

Bkm

Формулы (5.2...5.5) позволяют представить несинусоидальную функцию в случае ее аналитического задания в виде ряда Фурье.

Совокупность амплитуд, частот, начальных фаз гармоник определяет спектральный состав исследуемой функции.

Гармоники, для которых k – число нечетное, называются нечетными, если k – число четное, то гармоники называются четными.

5.3. Действующее и среднее по модулю значения несинусоидального тока и напр-ния

Действующее значение несинусоидального тока (напряжения) определяют как среднеквадратичное значение тока за период. Допустим, что задан ряд тока

i I0 I1m sin t	1	I2m sin 2 t	1 ...	I km sin k t	k .
			k	0

Согласно определению действующее значение тока вычислим по формуле

	I	1
	I	T
		T

T
T
I 2	sin 2	k t	k	dt	I 2	I 2	I 2	I 2 ... .	(5.6)
km			k		0	1	2	3
0

Таким образом, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из действующих значений всех гармоник, включая постоянную составляющую. Оно не зависит от начальных фаз отдельных гармоник.

Пример 5.1. Найти действующее значение тока, если его мгновенное значение задано

рядом

i 100 282 sin t 141sin 3 t 30o 70,7 sin 5 t 20o , А;

I	1002	2822	1412			70,72				250 А.
I	1002	2		2			2			250 А.
		2		2			2
Периодическая несинусоидальная функция f						t может быть представлена средним по
модулю значением
			Acр		1 T			f t	dt .		(5.7)
					1 T
					T	0
					T	0

Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции за период. В отличие от действующего значения оно зависит от k .

Пример 5.2. Определить среднее значение по модулю несинусоидального тока i I1m sin t 1 I3m sin 3 t 3 I5m sin 5 t 5 .

После интегрирования (5.7) получим

I	cр. по мод	2	I	cos	1	I3m	cos	3	I5m	cos	5	.

			1m			3			5

5.4. Мощности цепи несинусоидального тока

Под активной мощностью несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности за период T первой гармоники

1 T

P uidt . T 0

После подстановки и интегрирования, получаем

P U0I0		UkmIkm cos	k	U0I0	U1I1 cos 1 U2I2 cos 2
P U0I0	k 1	2		U0I0	U1I1 cos 1 U2I2 cos 2
		2

U	I	3	cos	3	... P	P	P	P ...	P .	(5.8)
3		3		3	0	1	2	3	k
								k	0

Из (5.8) следует, что активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии можно получить формулу реактивной мощности

Q U1I1 sin 1 U2 I2 sin 2 U3I3 sin			3 ...	Q1 Q2	Q3 ...	Qk . (5.9)
					k 1
Реактивная мощность несинусоидального тока равна алгебраической сумме реактивных
мощностей отдельных гармоник.
Полная	мощность	определяется	произведением		действующих	значений
несинусоидального тока и напряжения
			S	UI ,		(5.10)

где U U 2	U 2	U 2	U 2	... ; I	I 2	I 2	I 2 ... .
0	1	2	3		0	1	2

5.5. Расчет электрических цепей несинусоидального тока

Для расчета цепей несинусоидального тока напряжения источника или ЭДС должны быть представлены рядом Фурье. Основывается расчет на принципе наложения, согласно которому мгновенное значение тока в любой ветви равно сумме мгновенных значений токов

отдельных гармоник. Расчет выполняют для каждой из гармоник в отдельности с использованием известных методов расчета цепей. Сначала выполняют расчет токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, затем – возникающих от действия первой гармоники ЭДС и т.д.

При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, следует иметь в виду, что напряжение на катушке равно нулю, так как

0 0; 0 L 0; U L I 0 0 L 0,

а постоянный ток через конденсатор не протекает

1		1			U 0	U 0
xC				; I 0			0.
	C		0 C		xC
0

Расчет для первой и высших гармоник выполняют известными методами расчета линейных электрических цепей синусоидального тока (как правило, в комплексной форме). При этом следует учитывать, что индуктивное сопротивление растет прямо пропорционально частоте, а емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты

L; x

k L kx

;

; x

xC 1

L 1

C 1

k C

Допустим, что в цепи (рис. 5.2) действует несинусоидальное напряжение

u t U 0 U 1 m sin

U 3 m sin 3

...

Требуется найти мгновенное значение тока. По

принципу

наложения

мгновенное

значение

несинусоидального тока для рассматриваемой схемы

i I 0

i 1

i 3 .

Рис. 5.2

Так

как

цепь

содержит

конденсатор, то

I 0

0 ,

т.е. постоянная составляющая тока

Определим комплекс полного сопротивления цепи для каждой гармоники

Z 1

R j L j

z 1 e j 1

;

Z 3

R j3 L j

z 3 e j

3 .

3 C

Комплекс амплитуд токов

1 me

1 m

1 me

;

1 m

Z 1

1 e

3 me

3 m

3 me

3 m

Z 3

3 e

Тогда мгновенное значение тока
i I 1 m sin t	1	1	I 3 m sin 3 t	3	3 .

Лекция 5. ИМПУЛЬСНЫЕ ЦЕПИ

1.Общие сведения

2.Спектры некоторых непериодических и периодических функций

3.Дифференцирующие и интегрирующие цепи

5.1. Общие сведения

В современных электронных устройствах, системах связи, автоматического управления и вычислительной технике информация часто передается в виде электрических импульсов различной формы. В процессе прохождения импульсов через различные цепи и устройства их форма видоизменяется и иногда искажается.

При анализе форм электрических сигналов их представляют в виде спектра частот. Причем непериодический сигнал (импульс) представляют непрерывным, а периодический – дискретным спектром. Для характеристики спектра применяют функцию, которая позволяет определить закон изменения амплитуд составляющих спектра в зависимости от частоты. Иначе ее называют спектральной плотностью. Спектральную плотность представляют амплитудночастотной (для четной функции частоты) или фазо-частотной (для нечетной функции) характеристиками.

5.2. Спектры некоторых непериодических и периодических функций

В общем виде спектральная функция импульсного сигнала длительностью						и высотой
aмакс	представляет собой функцию, плотность которой
			2
	F	j	a	e j	t dt .	(5.1)
			макс
			2
Если непериодический сигнал имеет форму импульса косинусоидальной формы, т.е.
f x	aмакс cos t длительностью		(рис.8.1 а), то его спектральная плотность
			2
	F	j	a	e j	t dt .	(5.2)
			макс
			2

Амплитудно-частотная характеристика такой функции показана на рис. 5.1 б.

а)	б)
	Рис. 5.1
Амплитудно-частотная характеристика цепи при входном сигнале прямоугольной формы
(рис.5.2 а) длительностью	и высотой aмакс имеет вид (рис. 5.2 б)

F j		2aмакс	sin		.	(5.3)
				2

Фазо-частотная характеристика	превращается в нуль при положительных значениях
синуса и равна – при отрицательных (рис.5.2 б).

б)

а)

в)

Рис. 5.2 При воздействии периодическим импульсом, например, синусоидальной формы, если в его

длительности укладывается целое число периодов, т.е.	nT (рис.5.3 а), амплитудно-частотная
характеристика имеет вид, показанный на рис.5.3 б.

а)

б)

Рис. 5.3

Для примера рассмотрим реакцию цепи (ток через катушку L), схема которой приведена на рис. 5.4 а. Если входное напряжение изменяется скачком (форма показана

а)	б)	в)
		Рис. 5.4

на рис. 5.4 б), то ток в ветви с катушкой имеет вид, показанный на рис. 5.4 в.

Особый интерес для практики представляет собой реакция электрической цепи на

единичный импульс (единичный скачек), который называют дельта-функцией					t
(рис.5.5). Единичный скачек определяется как производная по времени от единичной
функции
t		d1 t		.	(5.4)

		dt
Поскольку площадь единичного импульса равна 1, то реакция электрической цепи
будет
k t	dh t		.		(5.5)

		dt

Например, при включении RC-цепи на единичный импульс напряжения реакция цепи

h t 1 R .

Между спектрами непериодических и периодических функций, которые получаются повторением непериодических, существует связь. Дискретный спектр амплитуд непериодической функции TF вписывается в амплитудно-частотную характеристику

F , соответствующую непериодической (рис. 5.6).

Рис. 5.5 Рис. 5.6

5.3. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

В схеме (рис.5.7) при бесконечно большом сопротивлении нагрузки I2 0 . Если выбрать

параметры схемы	CR	1, то U2 j	j	CR U1	j , т.е. в цепи происходит
дифференцирование входного напряжения, так как				U1 j	– спектральная характеристика
производной dh t	dt (рис. 8.5).

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Аналогично для цепи (рис. 5.8), при CR	1 U2 j	U1	j	j	CR , т.е. в
цепи происходит интегрирование входного напряжения, так как U1			j	j	–
спектральная характеристика интеграла от напряжения U1		t .

Соседние файлы в папке Elektro

#
12.03.2015570.68 Кб55Lek21_01.pdf
#
12.03.2015844.31 Кб48Lek21_02.pdf
#
12.03.2015342.92 Кб54Lek21_03.pdf
#
12.03.2015429.67 Кб48Lek21_04.pdf
#
12.03.2015424.32 Кб47Lek21_05.pdf
#
12.03.2015409.13 Кб49Lek21_06.pdf
#
12.03.2015483.23 Кб49Lek21_07.pdf
#
12.03.2015767.04 Кб53Lek21_08.pdf