Elektro / Lek21_02

Лекция 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1.Получение синусоидальной ЭДС

2.Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения

3.Действующее значение синусоидального тока

4.Резистор, индуктивность и конденсатор в цепи синусоидального тока

5.Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора

6.Параллельное соединение резистора, катушки и конденсатора

7.Мощности цепи синусоидального тока

8.Повышение коэффициента мощности в цепях переменного тока

9.Векторное представление синусоидальных токов и напряжений (СРС)

10.Электрические цепи с взаимной индуктивностью (СРС)

В электроэнергетике используют в основном переменный ток. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным током заключается в возможности просто и с минимальными потерями преобразовывать напряжение при передаче энергии. Генераторы и двигатели переменного тока имеют более простое устройство, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

2.1 Получение синусоидальной ЭДС

Следовательно, ЭДС изменяется по синусоидальному закону.

В промышленности для получения синусоидальных ЭДС применяют электрические машины – синхронные генераторы, приводимые во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими и др. двигателями.

2.2. Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения

В современной технике широко используются переменные токи: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. (рис. 2.2). Значение тока в любой момент времени называется мгновенным значением. Мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются буквами i, u, e.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, называют периодом Т (рис. 2.2).

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, ток называется синусоидальным.

Если кривая отличается от синусоиды – ток несинусоидальный.

Все синусоидальные функции времени (например, ток) записывают в одинаковой форме:

где i – мгновенное значение тока; Im – максимальное (амплитудное) значение тока (рис. 2.2);– угловая частота; – начальная фаза.

Аргумент синуса ( t ) называется фазой. Угол равен фазе в начальный момент

времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой. Отношение 2 / T определяет скорость изменения фазы и называется угловой частотой

дов в секунду, Гц. При стандартной частоте f = 50 Гц угловая частота

2 50 314, c 1.

Рис. 2.2

2.3. Действующее значение синусоидального тока

Мгновенное значение переменного тока все время изменяется от нуля до максимального значения. Однако переменный ток, как и постоянный, измеряется в амперах. Какой же смысл мы вкладываем в термин «переменный ток»? Можно было бы характеризовать переменный ток его амплитудой. Принципиально это вполне возможно, но практически очень неудобно, потому что трудно построить приборы, непосредственно измеряющие амплитуду переменного тока. Удобнее использовать для характеристики переменного тока какое-нибудь его свойство, не зависящее от направления тока. Таким свойством является, например, способность тока нагревать проводник, по которому он проходит. Представим переменный ток, проходящий по некоторому проводнику сопротивлением R . В течение периода ток выделяет в проводнике определенное количество тепловой энергии

Пропустим через тот же проводник постоянный ток, подобрав его таким, чтобы он выделил за то же время такое же количество тепловой энергии

По своему действию оба тока равны, поэтому постоянный ток, выделяющий в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток, называют действующим значением переменного тока.

Приравняв (2.3) и (2.4), найдем действующее значение синусоидального тока

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяют, как правило, по их действующим значениям. Приборы электромагнитной, электродинамической и других систем показывают именно действующие значения токов и напряжений.

2.4. Резистор, индуктивность и конденсатор в цепи синусоидального тока

Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор. Для упрощения исследования процессов в реальной электрической цепи переменного тока эту цепь, как и цепь постоянного тока, представляют схемой замещения, составленной из этих элементов. Элементы цепи переменного тока, в которых энергия выделяется в виде теплоты, называются активными. Элементы цепи, в которых периодически запасается энергия в электрическом или магнитном поле, называются реактивными, а сопротивления, оказываемые ими переменному току – реактивными сопротивлениями. Реактивные сопротивления имеют катушки и конденсаторы.

2.4.1. Резистор в цепи синусоидального тока

Если синусоидальное напряжение u Um sin( t ) (рис. 2.6 а) подключить к резистору с сопротивлением R , то через него будет протекать синусоидальный ток

Следовательно, напряжение на зажимах и ток, проходящий через резистор, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе – они одновременно достигают своих амплитудных значений и соответственно одновременно проходят через нуль

(рис. 2.6 б, в).

Разность начальных фаз двух синусоид называют углом сдвига фаз. В данном случае угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю

Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома

Рис. 2.6

Протекание тока через резистор сопровождается потреблением энергии от источников. Мгновенная мощность, потребляемая резистором

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока.

по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак, то их произведение всегда положительно, следовательно, p > 0.

Среднее значение мгновенной мощности за период

называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В данном случае активная мощность

Известно, что сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному, вследствие явления поверхностного эффекта.

2.4.2. Индуктивность в цепи синусоидального тока

Индуктивная катушка как элемент схемы замещения реальной цепи синусоидального тока дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в ее магнитном поле. Пусть в цепь переменного тока (рис 2.7 а) включена катушка с бесконечно малым сопротивлением провода R = 0. Непрерывное во времени изменение тока вызывает появление в витках катушки ЭДС самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца эта ЭДС противодействует изменению тока.

Допустим, ток через катушку изменяется по закону

u i 90o / 2 .

Параметр цепи X L L – индуктивное сопротивление, имеющее размерность Ом.

Оно зависит от частоты и представляет собой величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Из анализа (2.14) видно, что амплитуды напряжения и тока связаны законом Ома:

Um LIm X L Im .

Аналогично для действующих значений

U LI X L I .

Мгновенная мощность цепи с катушкой

p ui Um Im sin( t) sin( t 90o ) 2UI sin t cos t UI sin 2 t . (2.16)

Из графика (рис 2.7 г), построенного по уравнению (2.16), видно, что за первую четверть периода, когда u > 0 и i > 0, площадь, ограниченная кривой p и осью абсцисс, про-

порциональна энергии, потребляемой катушкой на создание магнитного поля. Во вторую четверть периода (ток убывает от максимума до нуля) энергия магнитного поля катушки пе-

редается источнику питания. При этом мгновенная мощность отрицательна, а процесс повторяется. Таким образом, происходит колебание энергии между источником и катушкой, причем активная мощность, поступающая в катушку, равна нулю. Амплитуду колебания мгновенной мощности в цепи с катушкой называют реактивной мощностью

QL UI I 2 X L .

Реактивную мощность в отличие от активной мощности измеряют в вар (вольт-ампер реактивный).

2.4.3. Конденсатор в цепи синусоидального тока

Включение конденсатора в цепь переменного тока не вызывает разрыва цепи, так как ток в цепи все время поддерживается за счет заряда и разряда конденсатора. Пусть напряжение (рис. 2.8 а)

u Um sin t .

C

Формула (2.17) показывает, что ток опережает приложенное напряжение на угол 2 (рис. 2.8

б, в). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные значения напряжения. Физически это объясняется тем, что при достижении электрическим зарядом и соответственно напряжением максимального значения ток становится равным нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

u i / 2 .

Таким образом, в отличие от цепи с катушкой, где / 2 , угол сдвига фаз в цепи с

конденсатором отрицателен.

Из (2.17) видно, что амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома

где X C – емкостное сопротивление, имеющее размерность Ом.

Мгновенная мощность, поступающая в конденсатор

p ui Um Im sin t sin( t / 2) UI sin2 t ,

колеблется синусоидально с угловой частотой 2 , имея амплитуду, равную UI (рис. 2.8 г). Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле конденсатора, затем возвращается источнику при исчезновении электрического поля. Таким образом, здесь, как и в цепи с катушкой, происходит колебание энергии между источником и конденсатором, причем активная мощность P = 0. Амплитуду колебания мощности в цепи с конденсатором называют реактивной (емкостной) мощностью

QC UI XC I 2 .

2.5. Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора

При протекании синусоидального тока i Im sin t по цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C (рис. 2.11 а), на ее зажимах создается синусои-

дальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

u uR uL uC .

Для действующих значений это уравнение имеет вид

U U R U C U L .

Построим векторную диаграмму с учетом известных фазовых соотношений (рис. 2.11 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, на конденсаторе он отстает от вектора тока на 90°, а на катушке опережает вектор тока на 90°. Сумма этих векторов напряжения на элементах цепи, даст вектор напряжения источника.

а) б) в)

Рис. 2.11

Из векторной диаграммы определяем входное напряжение

U U R2 (U L U C )2 I 2 R2 ( IX L IX C )2 ,

откуда ток и полное сопротивление

где X X L XC – разность индуктивного и емкостного сопротивлений, называемая реактивным сопротивлением.

Сдвиг фаз определим из треугольника напряжений или сопротивлений:

Эти условия показывает, что резонанс напряжений в цепи можно получить изменением частоты напряжения источника, или индуктивности катушки или емкости конденсатора.

Угловая частота, при которой в цепи наступает резонанс напряжений, называется ре-

Полное сопротивление цепи минимальное и равно активному

z R2 X L XC 2 R.

Ток в цепи, очевидно, будет максимальным

I Uz UR .

Напряжение на резисторе равно напряжению источника: U R IR U .

При резонансе сила тока в цепи и напряжения на емкости и индуктивности резко возрастают. Причем UL и UC могут во много раз превышать напряжение на входе цепи. Такое превышение будет иметь место, если R L , а следовательно и R 1 / C .

Физическая причина возникновения повышенных частичных напряжений - это колебания значительных количеств энергии между электрическим полем емкости и магнитным полем индуктивности.

На рис. изображены векторная диаграмма при резонансе и резонансные кривые. Резонанс напряжений, как правило, нежелателен в электроэнергетике, но широко

применяется в радиотехнических устройствах, автоматике, телемеханике, связи, измерительной технике и др.

2.6. Параллельное включение приемников энергии

При параллельном соединении R, L, C элементов в цепи возможен резонанс токов. Для показанной на рисунке цепи можно запи-

сать следующее уравнение

При резонансе сила тока в емкости и индуктивности резко возрастают. Причем IL и IC могут во много раз превышать общий ток цепи. Такое превышение будет иметь место, если g bL , а следовательно и g bC .

На рис.7.а-в изображены векторная диаграмма при резонансе, резонансные кривые и частотные характеристики соответственно.

2.7. Мощности цепи синусоидального тока. Треугольник мощностей

Ввиду того, что потребляемая мощность зависит от угла , формула активной мощности приобретает следующий вид: P UIcos (Вт), где cos - коэффициент мощности. При

проведении расчетов в электротехнике применяются так же полная мощность S P2 Q2 с единицей измерения вольт-ампер (ВА) и реактивная мощность Q UIsin с единицей изме-

рения вольт-ампер реактивная (Вар).

Здесь необходимо отметить, что обмотки и сердечники в электротехнических устройствах рассчитывают на полную мощность, а работа выполняемая ими характеризуется активной мощностью.

На рис. изображен треугольник мощностей, из которого можно вывести следующие соотношения

P Scos ,

Q Ssin ,

Q tg ,

где S UI.

Формулы активной мощности

P UI cos UIa Ua I I 2R gU 2 , Вт.

Полной мощности

S UI , ВА

Реактивной мощности

Q UI sin , вар.

Q U p I I 2 X U 2b I pU .

Реактивная мощность цепи может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака угла . При индуктивном характере входного сопротивления ( 0 ) реактив-

ная мощность положительна, при емкостном характере ( 0 ) – отрицательна.

Сравнив формулы (2.34)...(2.36), нетрудно установить связь между активной, реактивной и полной мощностями

Соотношение (2.37) удобно представить в виде прямоугольного треугольника мощностей (рис. 2.16 б), который можно получить из треугольника напряжений умножением сторон на ток. Из треугольника мощностей имеем соотношения, широко используемые при расчетах