книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Посмотрим, какое место в ряду симметрий занимают симметрии подобия по фи­ зическим переменным. В простейшем случае изменение всех размеров какого-либо объекта в одно и тоже количество раз дает новый объект, геометрически подобный исходному и являющийся масштабно-измененной копией по отношению к оригина­ лу. Данная масштабная симметрия не является простой симметрией формы (объекты не совмещаются друг с другом) или симметрией дополнительных объектов, но мож­ но предположить, что она относится к симметрии содержания, когда инвариантом становится «содержание формы», то есть закон относительного расположения эле­ ментов формы или конфигурации.

К симметриям содержания относятся также симметрия подобия по скорости те­ чения времени и симметрия подобия по скоростям движения частиц. Обе эти сим­ метрии связаны друг с другом, поскольку при увеличении скорости времени в системе процессы в ней происходят быстрее и соответственно растут видимые ско­ рости движения частиц. Инвариантом данных симметрий является процесс сам по себе и форма его математического описания в виде закона с учетом того, что в разных системах отсчета время свое.

Сравнивая между собой различные масштабно-измененные копии, можно заме­ тить, что у них отношение объема фигуры к ее поверхностной площади разное, по­ скольку объем пропорционален кубу характерного' размера, а площадь - только квадрату этого размера. Следовательно, физические свойства копий при симметрии подобия по размерам становятся разными и уменьшенные модели объектов не со­ всем равнозначны самим объектам. Существуют однако процессы, в которых комби­ нированная симметрия с одновременным изменением геометрических масштабов и скорости течения времени оставляет процессы физически более или менее эквива­ лентными. Например, в гидроаэродинамике одним из критериев подобия процесса является число РейнольдсаRe = £v / v, где £- характерный размер тела, v —скорость движения тела относительно обтекающего его потока жидкости или газа, v = р / р - кинематический коэффициент вязкости, зависящий от плотности р жидкости или газа и динамической вязкости р. Поскольку

v = ~ , где dr - перемещение тела относительно потока за время dt, at

то Re = - — и одновременное изменение масштаба £ и длительности времени dt

vdt

водно и то же число раз оставляет величину Re неизменной. Аналогичная комбинированная симметрия наблюдается в процессах глубоко неупругого лептон-адронного рассеяния (скейлинг Бьеркена) и в инклюзивных адронных процессах (скейлинг Фейнмана), когда приблизительно сохраняются безразмерные формфакторы (структурные функции) и инвариантные сечения процессов соответственно.

Выбирая среди физических систем такие, в которых имеется одинаковое число частиц, приходим к симметрии по количеству частиц, когда инвариантом становится само число частиц, невзирая на их свойства. Как известно, по мере роста числа час­ тиц любая система приобретает новые свойства (закон перехода количества в качест­ во). Так, только при достаточно большой массе космическое газовое облако может превратиться в звезду и излучать за счет термоядерных реакций в ее недрах, а любой город больше окружающих его сел и деревень. Что касается статических состояний объектов, то в силу иерархии и взаимопроникновения систем частиц во Вселенной каждый стабильный объект содержит в себе большое количество более мелких стаби­ льных частиц, причем число этих частиц не может быть меньше определенной вели­ чины (иначе объект потеряет часть своих свойств). По-видимому, закономерность

эволюции материального мира такова, что она в конце концов приводит к возникно­ вению максимально вырожденных и долгоживущих объектов типа нуклонов (или нейтронных звезд), комбинации которых в совокупности и составляют основу на­ блюдаемого вещества. Количество частиц в вырожденных обьектах и следовательно массы этих объектов остаются приблизительно одинаковыми и могут считаться ин­ вариантами (это приводит к симметрии относительно замены одинаковых частиц). Отношения же количества частиц или масс различных вырожденных объектов также являются безразмерными инвариантами и дают симметрии подобия по количеству частиц или по массам соответственно.

Зададимся теперь вопросом, что может быть общего в таких преобразованиях, после которых в системе вновь действительны те же самые уравнения движения? Ес­ ли не учитывать тривиальных операций преобразования системы самой в себя и пе­ рехода к другим способам и масштабам измерения физических единиц, известны следующие универсальные симметрии: преобразования систем отсчета, находящих­ ся в одинаковых условиях, друг в друга (это могут быть, например, инерциальные си­ стемы или системы в одинаковом поле тяготения); комбинированная СРТ-симметрия с заменой частиц на античастицы, пространственной инверсией и обращением времени. Очевидно, что после каждого из таких преобразований мы по­ лучаем системы, подобные друг другу. Кроме этого, можно видеть, что каждый раз преобразованию подвергаются три таких элемента движения, как геометрический параметр (конфигурация частиц), кинематический параметр (связанный с течением времени) и динамический параметр, зависящий от массы, заряда или другого свойст­ ва частиц. Считая, что одновременное использование геометрии, кинематики и ди­ намики в принципе является самодостаточным для описания любого физического явления, примем, что универсальная симметрия в общем случае должна быть комби­ нированной симметрией геометрии, кинематики и динамики. Обозначая теперь че­ рез Р симметрию подобия объектов по геметрическим размерам, симметрию кинематики через S —подобие по скоростям частиц внутри объектов, симметрию ди­ намики через Ф - подобие объектов по массам или количеству частиц, приходим к тому, что преобразование SP0 переводит один уровень объектов в другой уровень, на котором выполняются те же самые физические законы. В частности, это должно касаться преонов, партонов, нуклонов, нейтронных звезд и центральных ядер актив­ ных галактик (вырожденные обьекты) и других промежуточных обьектов (смотри §§ 29, 33, 38). Фактически исходя из 5 /)Ф-симметрии в § 45 сильное взаимодействие элементарных частиц было отождествлено с ядерной гравитацией, отличающейся от обычной гравитации только величиной гравитационной постоянной.

Итак, мы считаем, что после преобразования SP0, также как и после преобразо­ вания СРТ, физические законы выполняются одинаково и являются инвариантами преобразований комбинированной симметрии. Рассматривая подобие нуклонов и нейтронных звезд, можно определить безразмерные «вертикальные» коэффициенты подобия этих обьектов: S ' — отношение характерных скоростей частиц в обьектах; Р’- отношение размеров (радиусов); Ф' —отношение масс. Как показано в § 47, для данных коэффициентов справедливо соотношение (499):

P*S*

Это соотношение в свою очередь можно рассматривать как некоторый инвариант £/Ф -симметрии нуклонов и нейтронных звезд. В § 26 были введены «горизонталь­ ные» коэффициенты подобия для атома водорода:

а = v / с —отношение скорости электрона на первой боровской орбите

где А, В, С - некоторые физические переменные величины (векторы положения частиц, число частиц, скорости, массы, размеры, силы, температуры и т.д.), от кото­ рых зависит функция F.

В частности при симметрии изотропного пространства, когда его свойства одина­ ковы по всем направлениям, у вращающегося в таком пространстве одиночного тела сохраняется момент импульса / :

/ = J а) = const или J (о. = J2(o2 или ^-lC0] = 1, J 20i2

FX{A) = К х , F2(B) = К2 , / ’з(С) = К2 , и так далее, здесь КХУК2У Кг - некоторые константы.

Так, если \R\ = \-R\ = const, где R —радиус-векторы точек тела, то при R = const получаем либо R x = R2 и тело после преобразования симметрии переходит само в себя, либо Rt = —R2и тело подвергается преобразованию инверсии.

Для каждого из двух взаимодополняющих друг друга объектов (например,

где Fx, F2 — наборы инвариантов возможных симметрий каждого из объектов. Тогда симметрия взаимодополняющих объектов проявляется в преобразованиях от одного объекта к другому, когда Fx переходите F2 и наоборот, однако можно видеть, что инвариантом остается следующая сумма функций (понимаемая как взаимодополнительность сама по себе): Fx + F2 = const, что по форме совпадает с (667). Взаимо­ действие дополняющих друг друга объектов часто приводит к тому, что один объект порождает другой как причина и следствие - так увеличение количества отдельных частей придает целому новое качество и целое отличается от частей, а форма кристал­ ла зависит от типа элементарной кристаллической ячейки. В результате по принципу П. Кюри симметрия причины сохраняется в симметрии следствия, и если имеется (668), то существует такой набор инвариантов F3, который соответствует общей сим­ метрии взаимодополняющих и взаимодействующих объектов, причем F3 является частью и Fx и F2.

Симметрия между различными, но подобными процессами выражается в том, что вид функции F в (667) одинаков для сравниваемых процессов (функция F может задавать уравнение движения, одинаковое для разных систем). Если же рас­ сматривается симметрия процесса сама по себе, то F в (667) сводится к критериям по­ добия. Для универсальных симметрий при смене систем отсчета, а также при СРТ и БРФ-симметриях F в (667) представляет собой множество уравнений движения и за­ конов природы, остающихся неизменными для преобразованной физической систе­ мы.

Соотношение (667) означает, что у каждой симметрии имеется какой-то свой закон сохранения. Физическая система в общем случае может иметь несколько сим­ метрий и столько же законов сохранения. В математическом отношении совокуп­ ность преобразований (операций) симметрии системы образует группу, если отдельные симметрии или элементы 1руппы согласованы между собой. Для аддитив­ ной группы должны выполняться три правила: сумма двух элементов группы должна давать снова элемент группы, так что выполняется правило ассоциативности

(а + Ь) + с = а + (Ь + с), должен быть «нулевой» элемент, сложение с которым ос­ тавляет любой элемент неизменным; каждому элементу должен соответствовать та­ кой элемент, что их сумма равна нулевому элементу. В мультипликативной группе основные три правила те же самые, только суммирование заменяется произведением элементов, а вместо нулевого элемента используется «единичный» элемент. Беско­ нечный ряд целых положительных и отрицательных чисел образует аддитивную груп­ пу, нулевым элементом которой является число нуль, и мультипликативную группу с единичным элементом, равным единице.

Различные комбинации 9 элементов симметрии формы кристаллов дают 32 то­ чечные группы симметрии (слово «точечные» подчеркивает тот факт, что по крайней мере одна точка кристалла при любой операции остается на своем месте); 21 элемент симметрии пространственных кристаллических решеток приводят к 230 пространст­ венным группам, описывающим симметрию расположения атомов в кристалле.

Если пространство-время однородно и изотропно, то физические явления в сис­ теме и все относительные движения частиц системы будут протекать одинаково по­ сле следующих активных преобразований: после сдвигов в пространстве, после сдвигов во времени, после вращений в пространстве, после изменения скорости дви­ жения всей системы как целого. Требование изотропности и однородности про­ странства-времени означает, что физическая система при преобразованиях остается изолированной от внешних влияний. Четыре активных преобразования, указанные выше, соответствуют четырем симметриям, являющимся элементами группы Пуанкаре. Исключение из группы Пуанкаре симметрий сдвигов в пространстве и во времени приводит к группе Лоренца, состоящей из симметрий при вращении вокруг начала координат и преобразований систем координат Лоренца. Заметим, что при ма­ лых скоростях движения преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея-Ньютона классической механики. Следствием инвариантности законов природы при произвольных преобразованиях Пуанкаре оказывается инвариантность длин четырехмерных векторов и некоторых комбинаций компонент тензоров в раз­ ных инерциальных системах отсчета.

Универсальная симметрия С/Т, где С - зарядовое сопряжение, Р —пространст­ венная инверсия, Т —обращение времени, также образует группу в математическом смысле (В. Вайскопф, В. Паули, 1934 г.). Беря квадрат любого преобразования, по­ лучим единичный элемент группы. Для сильных и электромагнитных взаимодейст­ вий симметрия СРТ выполняется строго —как для отдельных симметрий, так и для их комбинаций, причем из условия принадлежности к группе сумма двух преобразо­ ваний эквивалентна третьему преобразованию, например, CP = Т. При слабых взаи­ модействиях, когда нарушается баланс сильных и электромагнитных сил, каждая из симметрий С, Р или Т становятся неточными, и только полная комбинированная симметрия СРТ остается устойчивой. Аналогичная ситуация складывается и для 5РФ-симметрии: отдельные преобразования подобия по скоростям 5, по размерам Р или по массам Ф не дают симметрии относительно всех физических законов. Но это становится возможным для полной комбинированной симметрии БРФ (при перехо­ де на другой подобный уровень материи физические явления протекают подобно).

Понятие группы охватывает либо одну симметрию (например, группа SU(2) вращений в изотопическом пространстве), либо несколько симметрий, как в группе SU(3) унитарной симметрии, где связаны изоспин и гиперзаряд. Сами же симметрии могут быть извлечены из уравнений, описывающих статику, кинематику, динамику или их совместные проявления в природных явлениях. Так, для рычажных весов усло­ вие равновесия имеет вид: /0 М0 = lxM v где /0, /, - длины рычагов, М0—масса гирь, Мх- взвешиваемая масса. Как видно, условие равновесия останется прежним, если длины рычагов изменить в одно и то же количество раз, так что все полученные таким

образом весы будут связаны между собой симметрией подобия по размерам. Анало­ гично возникнет и симметрия подобия по массам, если все массы, включая массы гирь, одновременно увеличить (уменьшить) в какое-то количество раз. Совместное преобразование перемещений тел dr и скорости времени (изменение интервала времени dt по отношению к исходному интервалу времени) может привести к тому,

dr

что в измененном мире скорости тел v = — останутся прежними, однако при этом dt

ускорения тел а = ^ станут другими, что неизбежно приводит и к изменению дина- dt

мики.

Из вышеизложенного следует, что для нахождения симметрии следует делать раз­ личные преобразования в физических переменных, входящих в уравнения, и затем находить инварианты симметрии - либо неизменность самого уравнения, либо не­ изменность физических величин или их комбинаций. Допустим, мы имеем тело, на которое действуют активные силы Fi и реакции идеальных связей N i , причем N i

всегда перпендикулярны возможным перемещениям точек приложения сил 3S- вдоль связей и N f = 0 в отрыве от связей. Тогда суммарная работа всех сил, действу­ ющих на покоящееся тело, равна:

Очевидно, что для равновесия тела необходимо, чтобы работа ЗА равнялась нулю -то гд а либо суммарная сила ^ ( / J + TV,)равна нулю, либо равны нулю переме­

щения 6Si точек приложения сил. Условие (669) равновесия тела относится к вариа­ ционному принципу возможных (виртуальных) перемещений и приводит к симметрии между всеми покоящимися телами - для них всегда ЗА = 0 при варьиро­ вании возможных перемещений тел или преобразованиях от одного возможного пе­ ремещения к другому.

Если тело движется, а не покоится, то среди прочих сил необходимо учитывать и силы инерции В • (все они пропорциональны массе тела и зависят либо от скорости, либо от ее производных по времени). В соответствии с принципом Д ’Аламбера в лю­ бом случае справедливо соотношение сил:

F.+ N. + Bj = 0.

Сучетом принципа возможных перемещений получается вариационный принцип Д ’Аламбера-Лагранжа:

где 6S; - возможные перемещения точек тела,

а { , /3; —соответствующие углы между силами и возможными перемещениями. Равенство ЗА = 0 в (670) является в данном случае инвариантом как для движу­

щихся, так и для покоящихся тел при вариации любых перемещений, что делает все тела симметричными относительно механического движения с идеальными связями.

Более изощренный принцип наименьшего принуждения Гаусса говорит о том, что для механических систем с идеальными связями при заданных начальных

508 §50.2. Математика симметрии

условиях истинным будет то движение, при котором «принуждение» z все время ос­ тается наименьшим. Величина z определяется так:

г д е - м а с с а /-й частицы системы,

Fj - активная сила, действующая на /-ю частицу,

Щ - ускорение /-й частицы под дествием активной силы Ff и реакции связи N f .

цию от z и приравнять ее нулю, дъ = 0, при этом нужно варьировать возможные ускорения частиц при неизменных силах. Очевидно, что вариация z будет равна:

так что при введении силы инерции Bi = - Wi условие дг = 0 эквивалентно (670), которое верно всегда.

Надо заметить, что в рассмотренных выше случаях не случайно варьируется либо работа по перемещению тел, либо ее производные по времени. Хорошо известно, что выполняемая работа всегда изменяет энергию тел, а для изменения состояния любо­ го движения необходимо совершить работу, при этом можно записать:

дА = dE = 6ЕК + dU,

где дА - совершенная над системой работа любого вида,

dE - изменение полной энергии системы, которое часто можно разбить на две части - изменение кинетической энергии ЬЕК и изменение потенциальной энергии

6U.

Величина работы дА сама по себе не является однозначной функцией состояния системы, поскольку целиком зависит от поведения окружающей систему среды и ви­ да взаимодействия с ней, но полную энергию Е системы в заданных полях следует считать функцией только от времени, координат и их производных по времени:

Е = E(r, г, г t\ где г - геометрические координаты точек системы, а точки

над г означают дифференцирование по времени. Соотношение между работой дА и изменением полной энергии системы приблизительно такое же, как между массой очередной порции воздуха dm при надувании воздушного шарика и изменением об­ щего количества воздуха в шарике dM: хотя dm = dM, но только величина М может считаться однозначной функцией состояния шарика и тем самым dM будет полным дифференциалом и равняться нулю в круговом процессе. Поскольку работу можно свести к изменению энергии, обычно являющейся функцией состояния системы, в современной физике принято использовать вариационные принципы, связанные не с работой, а с энергией, так что вариации энергии переходят в вариации по времени, координатам или их производным. Точнее, вычисляются вариации не самой энер­ гии, а энергетической функции, состоящей из отдельных видов энергии. Например, функция Лагранжа L для консервативной системы, в которой действуют только по­ тенциальные силы и полная энергия сохраняется, равна разности кинетической и потенциальной энергий: L = Ек - U. Широко распространенный вариационный принцип наименьшего действия по Гамильтону-Остроградскому устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной

конфигурации в другую (соседнюю с первой), совершаемых за один и тот же промежу­ ток времени t - tQдействительным является то, для которого действие s будет ми­

нимальным. Действие определяется как интеграл по времени от функции Лагранжа: t

fo

где ds означает неполную первую вариацию от действия s, поскольку время здесь не варьируется.

Переход от различного вида работ к единому понятию энергии в вариационном принципе позволяет использовать его не только для механического, но и для других видов движения. После выполнения варьирования функции Лагранжа в (671) из ус­ ловия ds = 0 следует равенство нулю подинтегрального выражения, состоящего из производных от функции L и являющегося уравнением движения системы. В целом каждому классу движений с определенным сочетанием сил и потенциалов поля соот­ ветствует своя функция действия 5, которая только в реальном движении достигает экстремума. В том случае, когда массы и заряды частиц системы не меняются, функ­ цию Лагранжа L можно считать зависящей только от координат частиц и их скоро­ стей, а также от величины напряженностей и потенциалов внешнего поля. При определенных преобразованиях физических переменных функция L может измени­ ться так, что уравнение движения системы, вытекающее из условия ds = 0, останет­ ся тем не менее неизменным. В этом случае появляется симметрия явлений относительно данных преобразований функции Лагранжа. Для примера рассмотрим движение пробной частицы вокруг массивного заряженного тела, собственным дви­ жением которого можно пренебречь. Для такой консервативной системы функция

останется прежним и тем самым проявляется С-симметрия зарядового сопряжения. Перейдем в (672) к сферическим координатам г, #, <р\

Инверсия положения точки относительно центра координат сводится к смене знаков у углов д и <р>но они входят в выражение для L в квадратах, поэтому при ^-симметрии функция Лагранжа не меняется, а отраженное движение подобно ис­ тинному. Смена направления течения времени - Г-симметрия - также не меняет функцию Лагранжа, так как все временные производные входят в нее в квадрате. В итоге С/Т-преобразование симметрично для функции Лагранжа (672).

Уравнение Лагранжа для консервативной системы, получаемое из условия экстремальности (671), имеет вид:

d , Ы ч BL

^ ( m r ^ s i n 2#) = 0.

Уравнения движения частицы (673), как и следовало ожидать, оказываются симметричными относительно СРГ-преобразования.

В § 50.1. было показано, что универсальная симметрия складывается из преобра­ зований статики, кинематики и динамики. В связи с этим следует проверить, как из­ менятся соотношения (672) и (673) при одновременных преобразованиях скоростей (операция 5), размеров (операция Р) и масс (операция Ф), когда от одного уровня ма­ терии мы переходим к другому уровню материи. Произведем обозначения:

v = v'S', у = у'Ку , М = М ’Ф\ т = т'Ф', г = r’P\ Q = Q'Kq , q = q’Kg , тогда из (672) имеем:

то видно, что функция V отличается от функции L в (672) только постоянным множителем, так что уравнения (673) не изменятся. Используем (674) при условии

Мы нашли выражение коэффициентов подобия по гравитационной постоянной Ку и по электрическому заряду Kq через коэффициенты подобия по скоростям S \ размерам Р' и массам Ф'. Учитывая, что размерность гравитационной постоянной у в системе физических единиц СИ равна: [у] —м3 • кг"1• с"2, согласно теории размерно­ стей величина Ку должна быть такой:

ptз

К у = Ш * '

где Я ' —коэффициент подобия по скорости течения времени. Сравнение с (675) дает: Я ' = Р '/S'.

Для подобия между нуклонами и нейтронными звездами с коэффициентами по­ добия из Таблицы 65, § 46, соотношение (675) для Кд совпадает с (447), а для Ку

где у - обычная гравитационная постоянная,

Г - постоянная ядерной гравитации из (422).

Итак, мы видим, что соответствующее преобразование ^РФ-симметрии оставляет законы движения тел неизменными.

Важный способ получения законов сохранения дает теорема Э.Нетер (1918 г.): если дифференциальные уравнения, описывающие движение физической системы, получаются из вариационного принципа наименьшего действия, то каждому непре­ рывному преобразованию, оставляющему инвариантным действие J , соответствует дифференциальный закон сохранения. В частности, если пространство однородно и в любой его точке на систему не действуют внешние силы, то перенос пространства сквозь систему (пассивное преобразование) не меняет полный импульс системы. Аналогично изотропность пространства эквивалентна отсутствию моментов вращаю­ щих сил, что приводит к сохранению момента импульса при произвольном повороте пространства (повороте системы отсчета). При отсутствии внешних сил и моментов сил система оказывается замкнутой, так что в ней сохраняется полная энергия. Кроме этого, в силу инвариантности действия относительно преобразований Лоренца, в лю­ бой инерциальной системе выполняется закон инерции - движение центра масс зам­ кнутой системы происходит по прямой с постоянной скоростью. Указанные 4 закона сохранения определяют наблюдаемую симметрию физического пространствавремени. Вообще метод вариации функций и физических переменных, осуществляя связь состояний рассматриваемой системы на основе принципа экстремума, эквива­ лентен преобразованиям, которые при определенных условиях дают законы сохране­ ния и соответствующие симметрии.

Обратимся теперь к вопросу о точности выполнения законов сохранения. В фи­ зике и философии для описания объективной реальности используются взаимодо­ полняющие категории различного типа, такие как пространство и время, целое и части, форма и содержание, количество и качество, сохраняемость и изменчивость, абсолютное и относительное, тождественное и различное, дискретное и непрерыв­ ное, энергия и импульс, частота и волновой вектор, скалярный и векторный потен­ циалы, мощность и сила, симметрия и хаотичность, энтропия и температура, и многие другие. Эти идеальные понятия были извлечены из многовекового опыта че­ ловечества и потому их можно принять в качестве аксиом, уже не требующих доказа­ тельства для своего права на жизнь. До тех пор, пока не будет доказана их излишнесть, они могут считаться абсолютными. Однако свойства этих идеальных понятий, как постулируется в § 41, в принципе не могут быть абсолютными. Тем са­ мым свойства протяженности и длительности, непрерывности и направленности, однородности и изотропности, трехмерности пространства и одномерности време­ ни, скорости и массы тел не могут считаться абсолютными, но лишь относительны­ ми. И в самом деле, специальная теория относительности показывает, что наблюдаемая протяженность тел, их масса, длительность событий зависят от скоро­ сти движения системы отсчета наблюдателя. Но если свойства пространствавремени в принципе относительны, то отсюда сразу же вытекает относительность за­ конов сохранения, например, того же закона сохранения энергии. В лучшем случае можно утверждать, что в реальной ситуации энергия может сохраняться лишь при­ близительно. С одной стороны, это связано с тем, что ввиду бесконечной делимости материи нельзя мгновенно учитывать все происходящие взаимодействия в выбран­ ной физической системе. С другой стороны, второе начало термодинамики открытых систем также запрещает сохранение энергии в определенном месте из-за невозмож­ ности реализации закрытой системы (смотри § 49.3.). Общим следствием