книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Суммарная энтропия внутри и вне шара будет равна:

Учитывая определение средней температуры (616), для однородного шара находим:

0,6 уМгШ f = _Щ _ ш 0,3 уМгШ

2 kN v к Ny Rtu

где U— потенциальная гравитационная энергия шара, N4— число частиц шара,

к— постоянная Больцмана,

Т— средняя температура вещества шара, так что энтропия (655) нашего шара,

находящегося в разреженной среде с температурой Тш, равна S = - 13N4 k Т 1,8 Тш

_ В предельном случае при равенстве средней и поверхностной температур, когда Т ~ Тш, энтропия одной частицы гравитационно-связанного вещества в рамках

нашего расчета стремится к величине S /N 4 -----7,2 к (здесь величина к — постоянная Больцмана, характеризующая атомный уровень материи и тесно связанная со свойствами нуклона. Очевидно, что для вещества, составленного из мельчайших преонов или, в противоположность этому, из нейтронных звезд, подобные постоянные должны быть совершенно другими).

Отрицательный знак энтропии S не противоречит тому, что по мере уменьшения радиуса и обьема приращение энтропии гравитационно-связанного газового тела отрицательно (смотри (640) и далее), поскольку при этом растет отношение Т /Т ш и

дЕ

энтропия S соответственно уменьшается. Кроме того, из (636) следует, что Т = — , dS

и так как полная энергия шара Е для его устойчивости должна быть все более отрицательной при уменьшении радиуса шара, то при отрицательном приращении энтропии температура Т получается положительной, как этого и следует ожидать.

Анализ формулы (651) показывает, что она имеет структуру следующего вида: s _ KlU - K 2PV

где Kl f K2 — некоторые коэффициенты порядка нескольких единиц, U— потенциальная энергия,

Р —давление,

V— обьем элемента вещества, Т — температура.

Учитывая, что для идеального газа PV = N4 кТ, а его внутренняя кинетическая энергия ЕК = 1,5N4 kT, для энтропии приблизительно находим:

здесь мы положили Къ = 2 ЛГ2 / 3 и предположили, что Кх ~ Къ ~ К.

Разность внутренней кинетической и собственной потенциальной энергий газа Ек - U мы обозначили через L по аналогии с обычно используемой функцией

Лагранжа La, которая для отдельной частицы равна разности кинетической энергии ее движения как целого и потенциальной энергии во внешнем поле. Как известно, функция Лагранжа входит в математическое выражение принципа наименьшего действия по Гамильтону:

t

«Если действие Dr = jL a d t, то движение системы из одной конфигурации в h

другую за время от /0 до t происходит таким образом, что изохронная вариация 6Dr = 0 (время не варьируется), при этом равенство нулю вариации действия приводит к уравнениям движения, выражающимся через частные производные от функции Лагранжа.»

Из соотношения (656) следует, что энтропия элемента вещества в системе отсчета, связанной сним самим, приблизительно пропорциональна его внутренней

В числителе данного выражения находится внутренняя функция Лагранжа в расчете на одну частицу вещества Lx = L /N 4, а в знаменателе — энтропия одной

Лагранжа в расчете на одну частицу, к — постоянная Больцмана. Очевидно, что введенная таким образом обобщенная температура достаточно близка к температуре (657) по своему физическому содержанию.

Заметим, что обычно температура определяется как частная производная от

ЬЕ

полной энергии по энтропии, согласно (636) Т = — , причем передаваемое телу

3S

количество теплоты связано с температурой и изменением энтропии соотношением 6Q = TdS. Введенная так температура Т совпадает с температурой тела только в квазистатическом обратимом процессе. Если же тепло вводится в тело с помощью

излучения извне, то температура Т = — = — будет уже температурой излучения, dS дБ

а не самого тела. В этом случае соотношение (657) следует считать более точным определением температуры тела.

В заключение поясним на простом примере, почему оказалось возможным иметь четыре определения энтропии. Предположим, что у нас имеется пустой сосуд, объем которого неизвестен. Обьем, как и энтропия, является аддитивной величиной, и для его измерения тоже можно предложить не менее четырех способов. Нальем, напри­ мер, в сосуд воду до краев и измерим разницу в массах пустого и полного сосудов — это будет масса воды m, откуда обьем сосуда V = т /р, где р — плотность воды. Если же в сосуде находится известное количество молей газа, то можно измерить давление и температуру этого газа и также оценить обьем из газового закона. Данные подходы напоминают обычное термодинамическое определение энтропии. По дру­ гому способу нужно запускать в сосуд отдельные молекулы и сосчитать их число N, тогда V = N v, где у — обьем, приходящийся на одну молекулу в данных условиях. Этот подход условно соответствует статистическому определению энтропии, когда учитывается число частиц и их возможные состояния. В третьем способе можно

486 §49.3. Открытые системы

облучить газ или жидкость в сосуде и по мощности обратного релаксационного излу­ чения оценить число молекул и их суммарный обьем. Получение информации как следствие некоторой причины или процесса характерно и для определения информационной энтропии. Наконец, внутренний обьем сосуда без использования

вещества сосуда. Четвертое определение энтропии, представленное в данном параг­ рафе, как раз и вытекает из прямого теоретического расчета.

§49.3. Открытые системы

Вотличие от изолированных систем открытые и тем самым неравновесные системы в соответствии с (633), (634), (636) обмениваются с окружающей средой теплотой и излучением (член 6Q ), веществом (член pdN), выполняют работу над

внешними телами при изменении своего объема (член (и + L - PQ)dV). Кроме этого может выполняться внутренняя работа за счет сил поля и давления и соответственно изменяться потенциальная энергия (член Vdrgrad(u + L — Р0)).

Как было показано в § 49. 2 ., в изолированных системах в ходе релаксации при переходе к равновесию энтропия растет за счет выделения внутреннего тепла в дис­ сипативных процессах. Мы назвали такую энтропию внутренней и обозначили как SB в отличие от наружной энтропии SH, возникающей за счет обмена энергией с внешней средой. Суммарное изменение энтропии системы будет равно:

dS = dSB + dSUi

dt$divSr dV dt$d\vSPdV

где согласно (633) dSH = •H_ _ _ v___________Y_

Sr ,SP—векторы плотности потока гравитационной и электромагнитной энергии

соответственно,

Тг —температура гравитационного излучения,

ТР— температура электромагнитного излучения.

Стационарная система через характерный период или законченный цикл возвра­ щается к исходному состоянию, поэтому за это время полное изменение энтропии равно нулю:

и положительное приращение внутренней энтропии dSBдолжно компенсирова­ ться отрицательным приращением энтропии, поступающей снаружи, то есть dSH < 0.

Предположим, что в стационарную систему поступает количество теплоты 6Q{ с температурой Г, и уходит количество теплоты 6Q2 с температурой Т2. Условие ста­ ционарности (659) для законченного цикла дает:

где ЗА — выполненная за цикл работа над внешними телами, и мы принимаем, что здесь 3QX > О, 3Q2 > 0, но перед 6Q2 стоит знак минус как у уходящей из системы теплоты.

В цикле Карно идеальной тепловой машины dSB = 0 и

Т: Т2

Тх— температура нагревателя, Т2 — температура охлажденного газа, при которой остатки теплоты 6Q2 уходят в холодильник. Работа такой машины над окружающей средой возможна только при Тх> Т2 и равна ЗА = 3Q{ - 3Q2.

В любой реальной системе присутствуют диссипативные процессы, dSB * О

и тогда по (660) 3QX/7 1, < 3Q2/ Т2. В стационарной системе обычно реализуется слу­

чай, когда 3QX> 6Q2 , тогда и Тх > Т2 . В частном случае полуоткрытой системы, когда 3QX = 0, 6Q2 > 0 и из системы уходит количество теплоты SQ2, уносящее с со­ бой энтропию dSH = - 3Q2/T 2 , причем dSH = - dSB , общее изменение энтропии равно нулю и система стационарна относительно энтропии до тех пор, пока не придет в равновесие. После этого рост внутренней энтропии прекратится и поток теплоты (энергии) наружу исчезнет.

Еще одним примером стационарной открытой системы может служить стержень, на одном конце которого поддерживается температура Тх, а на другом —температу­ ра Т2, причем Тх> Т2. Благодаря градиенту температуры через стержень проходит стационарный тепловой поток, так что 6QX= 6Q2 = 3Q и работа над внешними те­ лами ЬА равна нулю. Приращение внутренней энтропии по (660) равно:

В данном случае внутренняя энтропия растет благодаря диссипации поступаю­ щей теплоты (энергии) 6Q в процессе теплопроводности. Для упрощения расчетов положим Тх~ Т2 ~ Т\ dSB = 6QB/ Т, где 3QB — внутренняя теплота от процесса диссипации проходящей через стержень теплоты 3Q. Тогда баланс энтропии дает:

Последнее равенство напоминает формулу для коэффициента полезного действия тепловой машины в цикле Карно, поэтому внутреннее тепло 6QB мы при­ равняли внутреней работе ЗАВ. Эта работа, совершаемая тепловым потоком в стерж­ не, вполне эквивалентна работе сил трения и полностью переходит обратно во внутреннее тепло 6QB , а затем и в общий тепловой поток 6Q.

В целом принцип действия открытой системы, длительное время функциониру­ ющей в стационарном режиме, заключается в следующем: энергия 3QX, поступаю­ щая в систему при температуре Т{, расходуется на совершение внешней работы ЗА и

нуля, в системе выполняется внутренняя работа ЗАВ и происходят какие-то движе­ ния, не вносящие однако вклада в общий баланс энергии из-за их внутреннего ха­ рактера. Соотношения энергий и температур таковы:

где Д Т — разность температур входящего и выходящего потоков энергии,

Г — некоторая усредненная температура энергии 3Q, проходящей через систему.

488 §49.3. Открытые системы

Происходящие внутри системы процессы приводят к тому, что пришедшие в систему при температуре Тх кванты энергии дробятся, меняется их количество и качество, поэтому уходящая из системы энергия характеризуется другой температурой Т2. Сравнение выражения dSB = dQB/ Т = 6АВ/Т с (641) показывает, что внутренняя работа дАв может заключаться в изменении объема некоторых подсистем системы, в обмене частицами между подсистемами и в создании градиентов потенциальной энергии и давления.

Практически все объекты во Вселенной являются открытыми системами, разви­ вающимися и выполняющими внешнюю и внутреннюю работу благодаря потокам массы-энергии, протекающим через них. Принцип действия открытой стационар­ ной системы абсолютно универсален — он одинаково пригоден для описания объек­ тов как в неживой природе, так и для живых существ. Возьмем для примера коллапсирующую звезду, на которую падает поток высокоэнергичных гравитонов с большой температурой и которая испускает обратно поток несколько охладившихся гравитонов и электромагнитное излучение. Такая звезда может менять свой обьем с выполнением работы против сил внешнего давления от гравитонов или против сил внутреннего давления, кроме этого в ней происходят всевозможные ядерные и хими­ ческие реакции и превращения, так что звезда постепенно эволюционирует. Анало­ гично для Земли весьма важным является различие температур между приходящим солнечным излучением (Г, ~ 5780 К ) и оттоком инфракрасной радиации при темпе­ ратуре Т2 ~ 254 К (согласно спутниковых измерений). Приток и отток массы-энергии для Земли в стационарном режиме можно считать одинаковыми (тогда внешняя работа не совершается), однако вследствие большой разности температур Г, и Т2 почти вся отрицательная внешняя энтропия dSHпо (660) должна быть скомпенсиро­ вана положительной внутренней энтропией dSB. В результате согласно (662) на пла­ нете совершается большая внутренняя работа дАв , а именно: поддерживается парниковый эффект (температура земной поверхности выше температуры атмосферы на высоте нескольких километров), происходит круговорот воды и других веществ (испарение океанов и затем выпадение осадков), осуществляется горизонтальный пе­ ренос массы-энергии с помощью ветров и т. д. Энергия для всех указанных процессов черпается из солнечной энергии и в конце концов трансформируется в радиацию, из­ лучаемую самой Землей (то есть ее поверхностью и атмосферой).

На поверхности Луны нет ни атмосферы, ни воды и потому многие типично земные процессы отсутствуют. В этом случае внутренняя работа ЬАВ по (662) заключается, по видимому, в температурных изменениях объема вещества и возникающих при этом деформаций и напряжений при солнечном облучении.

Заметим, что если температура потока излучения от Солнца фиксирована и опре­ деляется его фотосферой (то есть Тх~ 5780 К ), то температура планетной радиации Т2 зависит от расстояния между Солнцем и планетой согласно баланса потоков при­

где Р — светимость Солнца (мощность излучения), г —радиус планеты,

R — расстояние между Солнцем и планетой,

В — альбедо или отношение отраженной энергии к падающей при той же самой температуре Тх,

о — постоянная Стефана-Больцмана.

Вэтом равенстве энергия, падающая на сечение планеты я г 2 в секунду, равна светимости модели планеты в виде черного сферического тела с поверхностью 4 я г2

итемпературой Т2. По данным из [80], Земля получает от Солнца негэнтропию $ (отрицательную внешнюю энтропию) в количестве $ = - SH = 2,НО22 Дж/К за один год.

Втермодинамике стационарных открытых систем можно сформулировать соответствующие постулаты также, как это было сделано в § 49.1., а именно:

1.При фиксированных внешних условиях каждая система приходит к состоянию некоторого динамического равновесия с определенным уровнем флуктуаций и от­ клонений от равновесия. В стационарном режиме усредненные по времени интен­ сивные (неаддитивные) параметры зависят только от пространственных координат,

асуммарная внешняя и внутренняя энтропии системы не изменяются.

2.Дифференциальный баланс энергии в общем случае имеет вид (658). Для изолированных систем при dE = 0 согласно (641) изменение внутренней энтропии равно:

Поскольку изменение кинетической и потенциальной энергий системы не может быть безграничным, то и прирост внутренней энтропии dSB является ограничен­ ным. По (661) 6QB = дАв, и в изолированной системе бесконечная внутренняя ра­ бота Ав невозможна (сравни с принципом невозможности вечного двигателя первого рода в § 49. 1.). В открытой же системе постоянная внутренняя работа вы­ полняется, пока существует система и потоки массы-энергии сквозь нее.

3. Невозможно существование системы, полностью преобразующей внешнюю энтропию во внутреннюю, или полностью преобразующей внешнюю энергию во внутреннюю работу. Это следует из соотношений (661), (662) для коэффициента пре­ образования теплоты 6Q в работу ЬАВ и обуславливается обязательным оттоком энергии из системы (сравни с принципом запрета вечного двигателя второго рода). Поскольку по (661):

Т — Т

SQs ~ 6Q

то мы приходим к тому, что невозможно превратить полностью внешнюю теплоту 6Q во внутреннюю теплоту системы dQB. Непосредственно обобщая данный вывод, можно утверждать, что невозможно преобразовать без потерь энергию одного вида в энергию другого вида, сохранить энергию во времени или передать энергию любого вида в другое место без рассеяния части энергии в окружающей среде.

Фактически мы уже пользовались этим принципом в § 38 для аргументации того, что космологическое покраснение фотонов при движении их в пространстве обязано существовать и вполне может объяснить красное смещение спектров галактик без привлечения концепции разбегания галактик и эффекта Допплера.

Если учесть связь массы с энергией, а энергии с информацией, то можно сформу­ лировать еще более общее утверждение:

«Реальное превращение в пространстве-времени одной величины А в другую величину В (или в ту же величину в том же или в другом месте) без изменения начального качества и количества невозможно.»

В частности, коэффициент полезного действия тепловой (и вообще любой) ма­ шины меньше 100 %, поскольку не вся теплота превращается в работу; при передаче информации конечный результат отличается от исходного за счет появления шумов,

эффективно уменьшающих количество полезной информации; отражение как спо­ соб копирования (тиражирования) информации не совсем точно; при передаче энер­ гии на расстояние часть ее теряется; в любом процессе есть источники диссипации энергии, тормозящие процесс и останавливающие его в том случае, когда нет доста­ точного притока энергии извне; по закону перехода количества в качество для полу­ чения нового качества системы (переход из состояния А в состояние В) нужно изменить начальное количество некоторых ее слагаемых (компонент); время жизни любой открытой системы ограничено — под воздействием потоков массы-энергии система изменяется качественно и количественно, изнашивается или стареет; всякое измерение в принципе должно иметь ошибку, характеризующую не учтенные влия­ ния, действующие в момент измерения; невозможно гарантировать полное и окон­ чательное описание материального мира, поскольку для этого приходится строить и постоянно дополнять второй, идеальный мир понятий, образов и величин, абстраги­ рованных из природы и взаимодействующих между собой по математически строгим правилам.

Таким образом, если второе начало термодинамики для закрытых систем можно сформулировать как рост внутренней энтропии при релаксации, то для открытых систем появляется другой закон: системы живут и развиваются, пока приток негэнтропии d$ извне полностью компенсирует выработку внутренней энтропии dSB:

здесь dS — изменение полной энтропии открытой системы, dSH— изменение внешней энтропии.

Если же dS > 0, то открытая система умирает, движения в ней затухают до уровня флуктуаций. Именно закон уменьшения энтропии открытых систем в виде (663) описывает все природные процессы, в которых происходят нетривиальные измене­ ния в качестве или количестве, и является необходимым дополнением к закону роста внутренней энтропии dSB > 0 в закрытых системах. Движение, эволюция и жизнь осуществляются в непрерывной борьбе двух противоположных тенденций — роста внутренней энтропии SBи ее уменьшения за счет притока негэнтропии $ извне. Не­ понимание этого факта и сущности энтропии приводило к тому, что зачастую закон уменьшения энтропии в виде (663) четко и ясно не формулируется как закон роста порядка, появления новых структур, углубления иерархии внутри систем — то есть как закон прогрессивной эволюции (соответственно увеличение энтропии в системе при dS > 0 отражает регрессивную затухающую эволюцию).

Благодаря потокам массы-энергии извне открытая система эволюционирует, по­ скольку, прежде чем покинуть систему в несколько преобразованном виде, пришед­ шая энергия производит внешнюю и внутреннюю работы. Выполнение работы означает, что система может двигаться относительно окружающих тел или изменять конфигурацию, при этом внутри системы может углубляться дифференциация под­ систем, возрастать сложность, меняться структура и возникать новые типы самоор­ ганизации. Источником движения и развития является, как всегда, диссимметрия потоков энергии, вещества, информации и так далее, когда есть какие-либо градиен­ ты этих величин. Все это относится как к живым, так и к неживым системам, и ино­ гда их даже трудно отличить друг от друга. По нашему мнению, живыми системами (живыми существами) следует называть такие системы, которые в целом (то есть в масштабе своей системы) уже способны «сознательно» контролировать потоки массы-энергии, проходящие через них, и тем самым активно влиять на развитие мира внутри и вокруг себя. Слово «сознательно» мы взяли в кавычки, потому что большей

частью этот контроль происходит незаметно, на уровне подсознания, за счет встроен­ ных рефлексов. Это значит, что в живой системе существуют механизмы, под дейст­ вием которых нежелательные потоки массы-энергии по возможности отсекаются во избежание разрушения системы или выхода из режима нормального функционирова­ ния. В то же время при недостатке энергии (а также вещества и информации) живые системы либо активно ищут их источники либо переходят в энергосберегающий ре­ жим. Чем ярче проявляются эти свойства живых систем, тем сильнее отличаюся они от неживых.

Изучением основных закономерностей образования, поддержания и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в открытых системах зани­ мается синергетика. Существенное влияние на образование структур оказывают симметрии системы и коллективные эффекты в поведении подсистем, слагающих систему. В результате удается классифицировать типы структур и описывать многие из них едиными уравнениями и моделями. Возникновение порядка из беспорядка как правило происходит весьма быстро, с экспоненциальным ростом флуктуаций и начальных колебаний при переходе через некоторое граничное значение величины внешнего воздействия. Таковы например шестиугольные ячейки Бенара в плоском горизонтальном слое вязкой жидкости, подогреваемой снизу; тороидальные вихри Тейлора между вращающимися цилиндрами; гидродинамические неустойчивости Марангони; мазерный и лазерный эффекты генерации излучения; автоволны в ак­ тивных средах; движущиеся волновые структуры в периодических реакциях Белоусова-Жаботинского; образование кристаллической решетки; упорядочивание магнитных моментов в ферромагнетиках; фазовые переходы в целом. При нарастании внешего воздействия в системе могут несколько раз возникать и разрушаться структу­ ры разного вида с переходом от хаоса к порядку и наоборот. Согласно теореме И. Р. Пригожина (1947 г .), при данных внешних условиях, препятствующихдостиже­ нию системой равновесного состояния, стационарному состоянию системы соответ­ ствует минимальное производство энтропии. Поэтому возникновение упорядоченных структур и самоорганизацию в системе можно считать способом, с помощью которого системе удается при некоторых условиях снизить производство внутренней энтропии SBв единицувремени. С другой стороны упорядочение при рос­ те кристаллов, коагуляции, гравитационном коллапсе дает отрицательную энтропию согласно (651) с ростом энтропии по абсолютной величине. Отрицательность энтро­ пии с точки зрения полузакрытой системы в статическом внешнем поле означает, что из системы излучается энергия связи (энергия упорядочения). Если же считать поле потоком частиц типа фотонов или гравитонов, то любая система становится откры­ той, а ее упорядочение осуществляется за счет энергии частиц поля или изменения их качества (например, температуры приходящего и уходящего излучений разные), при этом энтропия может становиться все более отрицательной благодаря вносимой час­ тицами поля негэнтропии или отрицательной энтропии.

Рассмотрим давно дискутирующийся вопрос о тепловой смерти Вселенной и ее энтропии, впервые сформулированный Р. Клаузиусом в 1865 г. на основании толко­ вания второго начала термодинамики для закрытых систем. По Клаузиусу все виды энергии во Вселенной в конце концов должны перейти в равномерно распределен­ ную по пространству тепловую энергию, после чего макроскопические движения должны прекратиться. Как известно, в закрытой системе в равновесии температура выравнивается по объему, частицы системы приобретают разброс скоростей в соот­ ветствии с распределением Максвелла, кроме этого, возможны флуктуации различ­ ных величин — концентрации, давления, температуры, объема и так далее — возле средних значений. Вселенная в целом является сложно устроенным иерархическим объектом — она состоит из вложенных друг в друга систем частиц, начиная от самых