книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

462 §48.6. Гравитоны

При умеренных температурах в выражение для плотности энергии € основной вклад вносит член £0 , причем значение £0 при условии Н(оп = МР с2 практически совпадает с плотностью энергии ядерной гравитации £я из (618). Следовательно, из долговременной устойчивости вещества черной полости необходимо вытекает, что должно быть

тации к плотности электромагнитного поля в черной полости равно отношению масс протона и электрона:

j^ Мр , то для предельной частоты равновесного электромагнитного излуче­

MF

ния в полости следует условие: ha)n ~ -М р с2, и энергия отдельного фотона не дол-

6

жна превышать 1/6 энергии покоя протона. Очевидно, подобное условие должно быть справедливым и для звезд. И в самом деле, наибольшие наблюдаемые кванты энергии в эволюции звезд связаны со взрывами сверхновых и с нейтронными звездами, когда может выделяться энергия порядка десятых долей от массы-энергии звезды (например, часто принимается, что энергия нейтринного импульса при образовании нейтронной звезды составляет 1/10 от ее массы-энергии). Если бы черное тело состо­ яло из нейтронных звезд, то в нем вполне были бы вероятны кванты с энергиями в де­ сятые доли массы-энергии звезд (например, и от «естественных» столкновений нейтронных звезд) и почти невероятны более мощные кванты энергии, рожденные внутри черного тела. Таким образом, и для отношения «нулевых» равновесных энер­ гий гравитационного и электромагнитного полей следует принять то же, что и для от­ ношения этих полей внутри нуклонов и нейтронных звезд, в Метагалактике, а также для излучения этих полей (смотри § 48.2)—то есть это величина порядка М Р/М Е , где масса протона Мр олицетворяет энергию гравитационного поля, а масса электрона МЕ

— энергию электромагнитного поля.

Попытаемся представить возникновение гравитационных волн в концепции гра­ витонов. Пусть наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета, что выра­ жается в отсутствии действующего на него ускорения. Если какая-то гравитационная масса неподвижна относительно наблюдателя, то получается неизменный во време­ ни поток гравитонов и соответственно статическое гравитационное поле. Если же масса будет перемещаться относительно наблюдателя, то возникнут отклонения по­ тока гравитонов от стационарного значения, перемещающиеся со скоростью движе­ ния самих гравитонов. Подобные колебания плотности потока гравитонов, фиксируемые наблюдателем, естественно считать гравитационными всплесками — волнами.

В § 46 было предположено, что нуклоны, как аналоги нейтронных звезд, были об­ разованы под действием ядерной гравитации. Оценим плотность энергии ядерных гравитонов по формуле (614), заменив постоянную тяготения у на постоянную ядерной гравитации Г из (422) и подставив массу МР и радиус протона Rp :

Плотность энергии ядерных гравитонов в 200 раз превышает плотность энергии обычных гравитонов (614), что по-видимому и обеспечивает целостность нуклонов даже внутри нейтронной звезды. Можно предположить, что гравитоны представляют собой целый спектр частиц с различной пространственной концентрацией в

зависимости от энергии (и размеров) частиц и соответственно разной длиной свободного пробега в веществе.

Используем теперь теорию подобия и концепцию гравитонов для такого обьекга, как Метагалактика. Поскольку ни масса, ни размеры нашей Метагалактики точно не известны, в качестве модели для характеристики возможных свойств в § 36 была вы­ брана метагалактика с массой Мм= 2,49 • 1023 Мс (где Мс— масса Солнца) и радиусом RM= 1,19-101 пк (где 1 пк = 3,086* 1016 метра) такая, что ввиду своих свойств она представлялась экстремальной черной дырой Керра-Ньюмана. Согласно (334) и да­ лее, полная энергия £ такой черной дыры пропорциональна ее гравитационной энергии U и энергии покоя:

Е = ~ М и сг - U

к м

где с — скорость света, у — гравитационная постоянная.

Эквивалентное или возможное число нейтронных звезд в такой Метагалактике и отношение радиуса метагалактики к радиусу нейтронной звезды соответственно рав­ ны:

здесь ЛГ5 , Rs — масса и радиус нейтронной звезды из Таблицы 65.

Совершив переход к ядерным системам, рассмотрим «ядерную» метагалактику, в которой также находятся N нуклонов по (619), а размер ее равен Ля = RP д = 1,7* 107 метров (здесь Rp — радиус протона, а величина <5 из (619)). Мы должны считать, что такая «ядерная» метагалактика представляет собой гигантскую «ядерную» черную дыру, поскольку в ней должна действовать мощная ядерная гравитация с постоянной Г из (422). Однако сделав обратный переход к макроскопическим системам, мы об­ наруживаем обьект с массой порядка N Мр= 3• КГ4 кг и радиусом RR= 1,7 • 107 метра, который теперь кажется нам весьма разреженным водородным газом с плотностью 1(Г26 кг/м3, не имеющим никакого отношения к черным дырам. Поэтому мы должны считать гигантские «ядерные» черные дыры не существующими из-за того например, что ядерная гравитация просто перестает работать на расстояниях, существенно пре­ вышающих размеры нуклонов. Аналогично и нашу Метагалактику нельзя представ­ лять гигантской черной дырой только лишь вследствие ее большой массы — уравнения гравитации могут оказаться недостаточными или даже непригодными для описания эволюции такого большого обьекга.

Наблюдаемой плотности вещества в Метагалактике р = 10~27 кг/м3 соответствует плотность энергии £м = р с2~ 10~10 Дж/м\ Если считать, что энергия гравитонов рав­ номерно распределена в пространстве Метагалактики, то плотность энергии потока гравитонов (614) существенно превышает плотность энергии вещества. В то же вре­ мя уравнения гравитации фактически учитывают только плотность энергии вещест­ ва, а постоянная гравитации предполагается неизменной на любых расстояниях и одинаковой для всех объектов независимо от их размеров. В отсутствие гравитонов вполне можно было считать, что причиной тяготения является масса-энергия, и это позволяло Метагалактике либо сжиматься до очень малых размеров, либо наоборот, расширяться из одной точки (модель Большого взрыва). Наличие же гравитонов из­ меняет ситуацию так, что ни один обьект не может иметь плотность массы-энергии большую, чем плотность энергии потока самих гравитонов, и становится существен­ ным эффект близкодействия гравитонов, В случае же коллапса Метагалактики обра­ зующиеся в ней в ходе эволюции нейтронные звезды остановят ее сжатие на

464 §49.1. Аксиомы термодинамики и определения энтропии

некоторой стадии также, как в газовом облаке давление газа нуклонов всегда оста­ навливает сжатие облака.

Связь между гравитационным полем и материальными телами тогда можно выра­ зить так: гравитационное взаимодействие тел друг с другом есть следствие взаимо­ действия гравитонов с частицами этих тел, в то же время материальные тела сами образуются в ходе подобных процессов. В результате поле порождается частицами материальных тел и частицами-гравитонами и само состоит из них, а частицы всех видов возникают под действием поля.

Исходя из наблюдаемых космических явлений можно предположить следующую схему взаимодействия электромагнитного и гравитационного полей как компонен­ тов электрогравитационного поля: электромагнитные процессы ответственны за ус­ корение заряженных частиц (космических лучей) и рождение фотонов различных энергий, распространяющихся в пространстве на большие расстояния. Массы и раз­ меры этих частиц и энергии фотонов зависят от вида материи, их излучающей — это MOiyr быть преоны, нуклоны, атомы, звезды, галактики и т. д. Все множество подоб­ ных частиц и квантов электромагнитной энергии образует гравитоны, которые воз­ действуют на вещество различных видов материи, сжимают его и увеличивают тем самым его электромагнитные свойства. Так электромагнетизм порождает гравита­ цию, а та в свою очередь создает разнообразные частицы — источники электромаг­ нитного поля. Здесь также надо учесть, что построенная в § 48. 1. теория гравитационного поля подобна теории электромагнитного поля, так что гравитоны как и фотоны должны быть векторными частицами с единичным спином (в единицах постоянных действия соответствующих уровней материи, например, Lx/(2 л) для уровня преонов — смотри § 38. 2, постоянной Планка й для уровня нуклонов, звездной спиновой постоянной й s (441) для уровня звезд).

В заключение опишем тривиальный рецепт создания антигравитационного дви­ гателя. Допустим, что нами создан двухслойный материал, обладающий следующи­ ми свойствами. Верхний слой должен взаимодействовать с гравитонами таким образом, чтобы частично их пропускать, а частично отражать, как зеркало отражает излучение. Тогда изменение импульса от каждого отраженного гравитона будет равно 2 dp. Внутренний же слой должен отражать как можно меньше гравитонов, тог­ да изменение импульса на каждый поглощенный гравитон будет стремиться к величи­ не dp. Если поместить такой материал в пространстве, то из-за разных сил давления от гравитонов он начнет двигаться в направлении, противоположном зеркальной сторо­ не материала, создавая силу тяги.

§49. Энтропия

§49.1. Аксиомы термодинамики и определения энтропии

Термодинамика, являющаяся в целом макроскопической теорией и исследующая усредненные свойства больших количеств вещества или ансамблей частиц, опериру­ ет с физическими величинами двух типов: аддитивными (экстенсивными) типа объе­ ма, энергии, массы, количества частиц, и неаддитивными (интенсивными) типа давления, температуры, концентрации частиц. Аддитивный параметр системы всегда равен сумме соответствующих аддитивных параметров подсистем данной системы, в то время как для неаддитивных величин это несправедливо. Например, для идеального газа можно записать:

здесь Р — давление, V— обьем,

т — масса газа в обьеме К, Af— масса одного моля газа, R — газовая постоянная,

Т — температура, Ек — энергия движения частиц, N4— число частиц,

к — постоянная Больцмана, Мч— масса одной частицы газа,

NA — число Авогадро (число частиц в одном моле газа).

Если в последнем равенстве увеличить энергию ЕК и обьем газа Кв одно и тоже число раз за счет увеличения количества частиц N4, то давление (интенсивный параметр) в расширенной системе не изменится. Аналогично останутся неизменными и другие интенсивные величины:

здесь п — концентрация частиц,

р— плотность вещества,

е— плотность энергии движения частиц.

Общим правилом в (620) и (621) является то, что отношение двух аддитивных ве­ личин уже не является аддитивной величиной. Кроме того, уравнение равновесного состояния идеального газа должно быть справедливо для любого его объема и не дол­ жно вообще зависеть от аддитивных величин. В частности, из (620) и (621) получаем:

где давление Р, концентрация частиц п и температура Т являются неаддитивны­ ми переменными.

Энтропия системы относится к аддитивным величинам и по праву считается одной из самых загадочных функций состояния системы. Этому способствует и то, что ее прямое измерение затруднено. Для полноты картины перечислим основные постулаты термодинамики, которые почти все так или иначе связаны с энтропией (более подробно смотри, например, [88]):

1. Нулевое начало термодинамики: для каждой термодинамической системы су­ ществует состояние равновесия, которого она при фиксированных внешних условиях по истечении достаточно большого времени релаксации самопроизвольно достигает. При этом у изолированных систем в отсутствие потоков энергии и вещества извне ин­ тенсивные термодинамические параметры перестают зависеть от времени и выравни­ ваются во всех точках. В состояниях устойчивого равновесия энтропия достигает локального экстремума.

2. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) записывается обыч­ но так:

то есть приращение энергии системы dE складывается из поступившего в систему количества тепла 6Q за вычетом работы ЗА, выполненной системой над окружающей средой при изменении объема, а также из энергии, переносимой

количеством вещества dN (величина TV измеряется в молях, — химический потен­ циал) и работы дА\ совершенной над системой внешними силами или полями. При отсутствии работы над системой и потоков энергии-вещества, когда 6А = 0 , 6Q = 0, dN —0, выполнение системой работы <5А приводит к тому, что dE< 0, и энергия сис­ темы £ должна убывать. Из ограниченности энергии Е следует, что вечный двигатель первого рода невозможен — бесконечное совершение работы над окружающей средой только лишь за счет изменения внутренней энергии системы запрещено.

Величина совершаемой работы дА не является полным дифференциалом, так как зависит не только от начального 1 и конечного 2 состояний системы, но и от пути перехода между ними, так что в общем случае 6А * А{2) - А(1). Аналогично коли­ чество полученной (переданной) теплоты SQ не является полным дифференциалом и зависит от условий процесса теплопередачи, 6Q * Q(2) - Q(1), и следовательно ни работал, ни теплота Q не являются функциями состояния и потому сами по себе в термодинамической системе не сохраняются.

3. Второе начало термодинамики имеет несколько эквивалентных формулировок, самые известные из которых таковы:

а) Теплота не может сама по себе, без дополнительных затрат энергии, перехо­ дить от тел более холодных к более нагретым (Р. Клаузиус, 1850). Это утверждение явилось обобщением вывода С. Карно (1824) о неизбежном существовании в тепло­ вой машине не только нагревателя с температурой Г, и рабочего тела, но и так назы­ ваемого холодильника с температурой Т2 < Тх>поглощающего остатки теплоты и уменьшающего тем самым коэффициент полезного действия машины т\. В цикле Карно в тепловой машине с рабочим телом в виде идеального газа получается следу­ ющее:

* * , - № 1 - Т , - т г

а д ,

где SQl — теплота, полученная от нагревателя, 6QX> 0,

6Q2 —теплота, переданная холодильнику, 6Q2 <0.

Из данной формулы для коэффициента полезного действия в обратимом цикле Карно следует, что:

Поскольку в конце замкнутого цикла тепло 5Q2 уходит из рабочего тела, то йС2 < 0, \6Q2\ = - 6Q2 и при 6Q, >0 имеем:

а д ^ а д ,

dS. + dS2 = d S = 0,

Тх Т2

то есть изменения энтропии S рабочего тела за каждый полный цикл не проис­ ходит.

б) Существует такая функция состояния системы (энтропия S ), изменение dS которой связано с количеством теплоты 6Q и температурой Т соотношением: dS = dQ/T, (Р. Клаузиус, 1865). В процессах релаксации в изолированной системе dS >0.

в) Невозможен процесс, единственным результатом которого было бы соверше­ ние механической работы, произведенной в результате охлаждения теплового резер­ вуара (Вильям Томсон (лорд Кельвин), 1851).

г) Невозможно построить вечный двигатель второго рода, то есть двигатель, пол­ ностью преобразующий полученную им теплоту в работу. Для тепловой машины это

ти в которые с помощью адиабатического квазистатического процесса невозможно (К. Каратеодори, 1909).

4. Третье начало термодинамики (принцип В. Нернста, 1906): В любом изотерми­ ческом процессе, проведенном при абсолютном нуле температуры, изменение энтро­ пии равно нулю, то есть dS(T=0) = 0. Отсюда находим, что S( Т= 0) = constи энтропия при нуле температуры не изменяется при малых приращениях каких либо термодина­ мических параметров (кроме самой температуры). В 1910г. М. Планк, основываясь на статистическом определении энтропии, сформулировал следующий принцип: энтропия термодинамической системы при нуле абсолютной температуры равна нулю, 5 (Г = 0 ) = 0.

5. В качестве еще одного предельного принципа термодинамики целесообразно выделить следующее утверждение: абсолютный нуль температуры недостижим. Вса­ мом деле, из квантовой механики следует существование так называемых нулевых ко­ лебаний, имеющихся в системе даже при самых низких температурах. Эти квантовые колебания выражаются в движениии основных наблюдаемых частиц — фотонов — квантов поля, электронов и нуклонов — частиц вещества, а также и в движении всех составляющих их более мелких частиц. Для достижения абсолютного нуля температу­ ры необходимо остановить все возможные движения в системе, что представляется совершенно невозможным в предположении бесконечной делимости материи, отно­ сительной независимости уровней материи друг от друга и невозможности полной изоляции системы от окружающей среды.

Сочетание первого и второго начал термодинамики позволяет составить дифференциальный баланс энергии системы со значком <5, символизирующим неполный дифференциал, относящимся только к работе внешних сил дА. Записывая работу самой системы в виде дА = pdV, количество тепла 6Q = Т dS, находим:

В 1872 г. Л. Больцман выяснил статистическую природу энтропии, получив для

число микросостояний системы, возможных для данного макросостояния с определенным набором термодинамических параметров, или часть объема фазового пространства, доступного системе в данном макросостоянии.

Для дискретного статистического распределения вероятностей частиц системы

где N4 — число частиц,

Wj — функция распределения вероятностей или вероятность пребывания систе­ мы в состоянии с данными / параметрами (например, JV;- частиц имеет энергию Е{).

Согласно (625) возрастание энтропии при релаксации в изолированной системе обусловлено переходом системы из менее вероятного термодинамического состоя­ ния в более вероятное с соответствующим перераспределением энергии по подсисте­ мам. В равновесии энтропия системы достигает максимума, величина W в (625)

следует связывать с микроскопически действующими на каждую частицу силами, выражающимися через массы и заряды частиц и величины напряженностей действу­ ющих полей. Кроме энтропии самих частиц необходимо также учитывать энтропию поля внутри и вокруг частиц.

Составим полный дифференциальный баланс энергии системы типа (623) с тем, чтобы извлечь из него микроскопическое определение энтропии. Для этого возьмем суммарную плотность энергии £ идеальной сжимаемой жидкости (газа), которая со­ гласно (549) состоит из плотности энергии вещества /°° и плотностей гравитацион­

здесь dE — приращение полной энергии в объеме V, в том числе и за счет увеличения объема системы на dVy

р 0 — плотность вещества в покоящейся относительно него системе отсчета, Р0—давление в покоящейся системе отсчета, с — скорость света,

v — скорость движения элемента вещества, L — функция согласно (546),

Г0 — обьем в покоящейся относительно вещества системе отсчета, и — плотность энергии поля.

Преобразуем второй член в правой части (629), применяя оператор (540) к вели-

з / г — Р )

чине (L - РХ подставляя вместо частной производной —--------— ее выражение из

где тя — масса вещества, а также выражение для дивергенции скорости из (545) и

dr

равенство v = — , где г — радиус-вектор элемента вещества: dt

К d Г - - - Г - 7 +< £ - PoW1 " vV ? _Vl - V 2/C2

так что химический потенциал идеального газа зависит от температуры и вещество стремится переходить из области с большим химическим потенциалом в область с меньшим потенциалом также, как тепло переходит от тела с высокой температурой к телу с более низкой температурой. Вспомним теперь, что для суммы гравитационных и электромагнитных полей справедливо соотношение типа (547):

d i v ^ + S p) = - djU00 + ЕУ°°) - J G - у Е э . dt

где Sr — вектор плотности потока гравитационной энергии (512),

Sp— вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга),

VI - У 1/с 1

jРэУ

=. г ' ■ — — вектор плотности электрического тока,

Vl - v 2/c 2

p Q, р э — плотности вещества и электрического заряда соответственно в системе покоя,

С другой стороны согласно (540) можно записать:

d(Um + IF00) _ а(<7м + WM) + vgrad (Uw + IF00). dt dt

Возьмем отсюда частную производную по времени от величины £/°° + И71X1 = и и подставим ее в написанное выше выражение для дивергенции div(Sr + Sf ):

выражая плотности токов / , / через плотности массы (заряда) и скорость v, с учетом т = p 0VQiq = р э У0 , vdt = d r , приходим к следующему:

mG-dr + qE ydr + Vdu = - К Л div(^r + SP) + Fdrgradw.

Подставим левую часть этого равенства в выражение для приращения полной энергии dE и учтем предыдущие преобразования:

До сих пор все выкладки производились для малого элемента вещества с инвариантным обьемом V. В общем же случае вместо умножения на обьем следует проводить интегрирование по объему. В частности, поток гравитационной и электромагнитной энергии в объем V за время dt следует отождествить с количеством теплоты 6Q :