книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

452 §48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара

принимают, что Е равна своему асимптотическому значению на бесконечности, то

есть Е = Л В этом случае с учетом (592), (593), (595), (598) и при *jE(0) ~

с

М ~ М0, получим метрику Шварцильда с добавкой от массы-энергии гравитацион­ ного поля:

В [117] выводится условие для метрического тензора, с помощью которого можно уточнить значение Е:

здесь g = - B K E 2sm2Q—детерминант метрического тензора,

гптк — символы Кристоффеля в криволинейных сферических координатах.

Впространстве Минковского метрический тензор в сферических координатах имеет вид:

для г имеет вид:

§ 48. б. Гравитоны

Математически идея о всеобщем тяготении, восходящая еще к античности, была оформлена только в 1687 г. Ньютоном. Одна из официально известных попыток объ­ яснить тяготение действием гравитонов была сделана в 1784 г. швейцарским физи­ ком и математиком Жоржем Лесажем (1724 — 1803). То, что любое действие на расстоянии должно иметь своего переносчика, кажется вполне естественным, неяс­ ным остается лишь вопрос о природе такого переносчика. Вероятнее всего, это дол­ жны быть очень мелкие многочисленные частицы, движущиеся с большими скоростями и постоянно взаимодействующие с окружающими телами. Тогда цель­ ность всех материальных объектов является следствием баланса сил гравитации и внутренних сил от давления (движения) частиц, составляющих эти объекты. Из про­ порциональности сил тяготения массе тел следует, что гравитационная масса отра­ жает способность тела задерживать часть гравитонов и соответственно получать от них импульс силы. Согласно общей теории относительности, масса определяется не только количеством частиц в теле, но и характером их взаимодействия или общей (суммарной) энергией. Если гравитоны более или менее равномерно распределены в пространстве и являются характерным свойством материи, то это позволяет связать глобальное и локальное, инертные и гравитационные массы в несколько переделан­ ном принципе Маха: Ускорения тел при взаимодействиях определяются не только самими телами (их массами), но и свойствами окружающей их среды.

Рассмотрим модель поля тяготения как потока гравитонов. На рисунке 87 пока­ заны два элемента массы Af, и М2толщиной х, и х2соответственно в виде шаровых сегментов, находящихся на расстоянии R друг от друга. Сегменты имеют одинако­ вую площадь и опираются на один и тот же телесный угол а. Часть гравитонов, влета­ ющих справа и слева внутрь телесного угла а, передает свой импульс сегментам и тем самым прижимает их друг к другу. Массы сегментов равны:

гдер ,,р 2 — плотности вещества сегментов.

Обозначим число гравитонов, влетающих снаружи в единицу времени в единич­ ный телесный угол da и тем самым имеющих компоненту импульса внутрь этого уг­ ла, через AQ:

dNQ ^о dtda

Будем считать, что количество поглощенных гравитонов в единицу времени в слое вещества толщиной х и плотностью р пропорционально числу влетающих гравитонов:

где dA — число поглощенных гравитонов,

R— коэффициент поглощения,

А— число гравитонов, проходящих

с — скорость движения гравитона (предположительно равная скорости света). Поток гравитонов слева последовательно воздействует на элементы массы Мх и

М2, создавая силы Fx и F2 соответственно:

Fx = атсЬЛх = атс(А0 - Ах) = атсА0(1 - ехр(- Х р хх х)) ~ атсА0Х р 1х 1,

F{ = атсАА'2 = атс(Ах - А[) ~ amcAl Np2x2 =

= а/ясЛ 0К р2лс2ехр(- Кр,х,).

Здесь мы раскладывали экспоненту для случая малого аргумента:

ехр(- у) ~ 1 - у.

Для потока гравитонов справа аналогично имеем:

F2 = атс(А0 - А2) = а тс А0 tfp 2x2,

F[ = атсА0Х р хх хехр(- Х р2х2).

Сила тяготения равна: F - F{ - /)' = F2 - F2. Для вычисления F можно взять любую разность сил, в частности, для первой имеем:

F = /j - FI = а / я с Д Л р ^ О - ехр(- К р2х2)) ~ a / w c ^ t f ^ X j P ^ .

Видно, что при прочих равных условиях сила пропорциональна плотностям вещества р, и р 2. С учетом (605) сила F примет вид:

р __ 4 тсА0Ы2 М ХМ2 ~ а (Я /2)2 А2

Благодаря симметрии между массами Af, и М2выражение для силы можно запи­ сать так: F - M xg2 = M 2gv где g2(или gx) — гравитационное ускорение от массы М2 (Мх) в точке расположения массы Мх(М2). Поскольку все силы можно свести к гравитационным или электромагнитным, являющимся компонентами элекгрогравитационной силы, то из выражения для гравитационной силы F вытекает справед­ ливость второго и третьего законов Ньютона: любая сила есть скорость изменения импульса, а сила действия равна силе противодействия с учетом запаздывания из-за ограниченной скорости передачи воздействий.

Если раскладывать экспоненту в (606) до членов второго порядка, то массы сег­ ментов в выражении для гравитационной силы F умножаются на некоторый коэф­ фициент, так что гравитационная масса МГРбудет меньше массы М, вычисляемой через плотность и обьем:

Мгр = Щ1 - №■),

где S — коэффициент поглощения гравитонов,

р— плотность вещества,

х— толщина вещества для потоков гравитонов.

Сростом плотности вещества отношение гравитационной массы МГР к массе М уменьшается, что напоминает обычно принимаемый постулат об уменьшении гравитационной массы за счет вклада отрицательной массы-энергии потенциального гравитационного поля или энергии связи вещества.

Приведенный выше анализ гравитационных сил, действующих на шаровые сег­ менты, позволяет при некоторых предположениях объяснить и закон инерции, то есть независимость гравитационного ускорения от скорости перемещения тел в по­ токе гравитонов и отсутствие торможения гравитонами движущихся тел. Пусть мас­ сы Мхи М2на рисунке 87 движутся влево с одной и той же скоростью v. Перейдем в систему координат, в которой массы Мхи М2покоятся, причем потоки гравитонов

становятся неравноценными: с левой стороны в единицу времени прибудет больше гравитонов, чем с правой, при этом энергия каждого «левого» гравитона может быть больше, чем у «правого». Поскольку источник гравитонов слева эффективно при­ ближается к неподвижным массам Мх и М2 со скоростью v, то частота прихода гравитонов согласно эффекта Допплера увеличивается:

случае. Предположим, что гравитоны совмещают свойства и частиц и волн, так что энергия каждого «левого» гравитона также растет в соответствии с эффектом Допплера, то есть:

Е = Еп

1 - v /c

dN

С ростом энергии Е и частоты прихода гравитонов — растет импульс, который dt

может передаваться в единицу времени массам Мхи Мг. Вели импульс гравитона р пропорционален его энергии Е, то для каждой действующей силы на массы М хи Мг должно быть:

Предположим теперь, что гравитоны взаимодействуют с веществом также, как в квантовой теории упругого рассеяния, и полное сечение взаимодействия пропорци­ онально квадрату длины волны де Бройля гравитонов ХГ:

а ~ Х2Г.

Учитывая, что коэффициент поглощения К в (606) пропорционален а, Хг ~ \ / Е как для фотонов или быстрых частиц, можно записать: N ~ 1 / Е 2 Тогда для сил имеем:

F Ео>

то есть зависимость от скорости движения v для сил F исчезает, силы F равны своим статическим значениям , а эффект действия гравитонов и гравитация относительно независимы от состояния движения тел.

Как правило, сила гравитации представляется так:

уМ хМ2

Frp —

R2 ’

где у — гравитационная постоянная,

R — расстояние между тяготеющими массами Мхи М2.

Сравнивая выражение для силы Frp с силой F для шаровых сегментов, находим:

_ 4 тсАуК2

(607)

7 ~ а(Д /2 )2 '

В (607) телесный угол а зависит от расстояния R межлу сегментами, так что мы можем при любом R считать например, что произведение a(R/2)2 = 1м2 и является единичной площадью одного сегмента.

Используя соотношение Сх= Wxr, получим окончательно:

(611)

то есть характерная угловая частота вращения Wx гравитационно-связанного тела, близкая к предельно возможной величине, определяется только плотностью тела р и гравитационной постоянной у (сравни с похожей формулой (272) для вращения малых планет). При р = 2-1017 кг/м3 для нейтронной звезды согласно Таблицы 65 можно оценить частоту вращения из (611): Wx = 4,6* 103 с-1 что практически совпадает с предельной частотой вращения пульсаров.

Найдем коэффициент поглощения гравитонов в нейтронной звезде из (608) и (610):

(612)

здесь r=Rs = 14,9 км — радиус нейтронной звезды в Таблице 65,

М - 2,8 • Ю30 кг — масса нейтронной звезды, К - 0,6 — коэффициент для однородной по плотности звезды.

Наша Земля гораздо менее плотная, чем нейтронная звезда, и гравитоны будут задерживаться очень слабо. С помощью (609) можно расчитать длину свободного пробега гравитонов в земном веществе:

метров,

где К — коэффициент поглощения (612), р 3 = 5,5-103 кг/м3 — плотность Земли.

Зная длину свободного пробега, нетрудно оценить эффективное сечение взаимо­ действия гравитонов с веществом. В нейтронной звезде вещество почти однородно и состоит из нуклонов, длина свободного пробега приблизительно равна радиусу звез­ ды: I ~ г, и сечение с учетом (609) равно:

(613)

здесь п —концентрация нуклонов в нейтронной звезде, р — плотность вещества, Ми—атомная единица массы.

Сечение взаимодействия гравитонов (613) очень мало и сравнимо с сечением то­ лько таких частиц, как нейтрино. Известно, что полное сечение взаимодействия нейтрино с обычным веществом линейно растет от 10"47 м2 для нейтрино с энергией в десятки кэВ до величины КГ40 м2 для нейтрино с энергией порядка 100 ГэВ [149]. Из (613) следует, что проникающая способность гравитонов такая же большая, как у нейтрино с энергией около 1 кэВ.

Если бы плотность нейтронной звезды была постоянной на любой глубине (приближение однородной по плотности звезды), то давление вещества почти линейно росло бы с глубиной, а число гравитонов и соответственно плотность их

энергии давления сжатого вещества, £г — плотность энергии гравитонов. В центре звезды £г ~ 0 и £0 ~ € в, на поверхности звезды, наоборот, £в ~ 0 и £0 ~ £г . Полагая, что £0 равна средней плотности энергии £ гравитационного поля нейтронной звезды, найдем с помощью (610) пространственную плотность энергии гравитонов £г:

здесь К = 0,6 — коэффициент, зависящий от распределения плотности вещества звезды,

у — гравитационная постоянная, М, г — масса и радиус нейтронной звезды по данным Таблицы 65.

Если гравитоны перемещаются со скоростью света, то поток их энергии через единичную площадку в единицу времени равен:

В равновесии поток энергии гравитонов (615) внутрь поверхности любого тела должен компенсироваться обратным потоком энергии, при этом часть энергии гра­ витонов может быть преобразована в другие формы, например в поток тепла из тела наружу и электромагнитное излучение. При нарушении равновесия в звезде возни­ кает коллапс, когда энергия потока гравитонов частично переходит в кинетическую энергию движения сжимающегося вещества. Вспышка сверхновой звезды начинает­ ся в тот момент, когда падающее на кор нейтронной звезды вещество останавливает­ ся ядерными силами, а кинетическая энергия вещества через излучение и магнитное поле переходит к оболочке звезды и разбрасывает ее.

Из изложенного вытекает, что в равновесии потоков энергии от вещества ней­ тронной звезды и потока гравитонов обобщенная температура вещества нейтронной звезды не может опуститься ниже определенного значения. Под обобщенной темпе­ ратурой здесь понимается следующее. Для температуры обычного идеального газа имеем:

частицу тела приходится потенциальная энергия с модулем |Ux\. Тогда для температуры Т2можно записать такое же выражение, как для Тх:

Т ш Ш

2 Зк ‘

В обычных телах можно определять прямо или косвенно и Г, и Т2. Введем обобщенную температуру Т как среднее температур Тхи Т2:

Tl + T2 _ Е„ + М

2 Зк

Если потенциальная энергия C/j < 0, то получим Lx= Еп — £/,, где £, - функция Лагранжа в расчете на 1 частицу атомного размера, а также:

В случае выполнения теоремы вириала (что характерно для звездных обьектов) имеем:

Оценим обобщенную температуру Т нейтронной звезды с помощью выражения

где U— потенциальная энергия звезды (610),

Ф' = 1,68*1057 — количество нуклонов в звезде и одновременно коэффициент подобия по массе из Таблицы 65 (§ 46.1),

Кх= 0,6 — коэффициент для однородной по плотности звезды.

Зная плотность энергии гравитонов (614), можно найти температуру потока

здесь а = 7,565 • 10"16 Дж/(м3 • К4) — постоянная плотности излучения. Обобщенная температура вещества нейтронной звезды (616) и температура пото­

ка гравитонов (617) имеют один порядок величины, что и должно быть, если считать, что 1равитоны полностью задерживаются на протяжении радиуса звезды.

Сдавливание вещества гравитонами приводит к уменьшению объема V и увели­ чению давления Р, и если считать вещество звезды идеальным газом, то справедлива формула:

PV = N4kTxy где N4 —число частиц в звезде.

В то же время с учетом теоремы вириала Ек - V / 2 ~ ^ N 4 kTx,

где Ек, U— кинетическая и потенциальная энергии звезды. Отсюда следует, что PV ~ U / 3, то есть сжимаемое гравитонами вещество должно иметь не только потенциальную энергию U, но и некоторую температуру Г ,, возникающую от постоянного взаимодействия потока гравитонов с веществом.

В центре звезды, где из-за большой плотности вещества поглощение гравитонов велико, температура Тхдолжна быть максимальна, а ближе к поверхности плотность вещества и температура Тхсоответственно уменьшаются, так что формируется тем­ пературный 1радиент с потоком тепла наружу. Тепловая модель Земли, построенная с учетом 1радиента температуры в земной коре, общего теплового потока через по­ верхность, геофизических и химических данных предсказывает температуру в центре Земли порядка 5 — 6 тысяч градусов [12]. Из (616) для Земли находим среднюю тем­ пературу недр в кельвинах:

здесь M3iR3fN4 — масса, радиус и количество частиц Земли,

у— гравитационная постоянная,

к— постоянная Больцмана,

М0— атомная единица массы.