книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Приблизительно в таком же виде выражаются остальные компоненты тензора Rik . С целью их упрощения наложим на метрический тензор gik так называемые ус­ ловия изотермичности:

что дает 4 соотношения между компонентами тензора hjk . Вновь учитывая, что

Условия изотермичности могут выполняться только в одной системе отсчета, на­ зываемой гармонической. В гармонических координатах тензор Риччи приобретает весьма простой вид:

где □ = А — 1=--8j‘ - — оператор Д’Аламбера,

Сdt

акомпоненты тензора hjk выражены через гармонические координаты.

Вследствие малости hjk скалярная кривизна R равна:

Запишем уравнение для метрики Эйнштейна — Гильберта в дважды

тензор tik (537) для несжимаемой жидкости (при L = const согласно (546), мы же примем здесь 1 = 0 ) без учета других видов энергии:

где р 0— плотность покоящегося вещества, Р0— изотропное давление, с — скорость света,

Uj — ковариантная 4-скорость.

В нашем приближении можно считать, что в (574) gik = rjjk,

здесь р, q — 1, 2 , 3.

Мы видим, что компоненты добавочного метрического тензора hjk удовлетворя­ ют волновым уравнениям, признаком которых является даламбертиан. Тем самым проявляются колебания метрики пространства-времени как отклонения от стацио­ нарного значения, фиксируемого тензором rjjk.

Рассмотрим уравнения (575) — (578) в статическом случае, когда произведениями

444 §48.4. Метрика внутри однородного шара. Квазигалилеев подход

Из (581) находим hpp :

Произведем дальнейшие упрощения. Из решения для hpp видно, что эти величи­ ны совпадают с точностью до константы, поэтому в симметричном случае можно по­ ложить: hpp = Л„ = Л22 = Л33,

Си = ^22 = С33 = Срр = Т ^ р р р '

1

Используем далее решение Шварцильда (566) для метрики вокруг гравитирую­ щей массы в сферических координатах:

dsl{r) = gw(r)c2dt2 + gu{r)dr2 + g22(r)(dQ2 + sin2f?dp2),

SooW = 1 - 7 ^ ' *uW = ---------= - г2-

причем в статическом случае при нулевых скоростях движения вещества основной вклад в интервал согласно (575) — (578) должны вносить только диагональные члены метрического тензора. Свяжем компоненты метрического тензора gik(r) решения Шварцильда в сферических координатах с диагональными компонентами метрического тензора в (583) в гармонических координатах с помощью преобразования пространственных координат:

х = rsinQcosp, у = rsinQsinp, z = rcosQ.

Подставляя в (583) дифференциалы dx, dy, dz, выраженные в сферических коор­ динатах, и считая, что#п = g22 =gn = gpp , находим равенство интервала Шварцильда

С учетом (568) компоненты йм и hpp внутри тела оказываются функциями давления и скалярного гравитационного потенциала у>в:

то (576) будет эквивалентно уравнению (508) для векторного гравитационного потенциала D и плотности тока массы / с учетом вклада массы-энергии от давле­ ния PQ. Поэтому величины hQp следует считать соответствующими функциями ком­ понент векторного потенциала Dp. Из вышеизложенного вытекает, что метрику непосредственно нельзя отождествлять с 1равитационным полем — метрика есть сложная функция от состояния движения масс (либо функция соответствующих гра­ витационных потенциалов с учетом состояния вещества). Из (584) находим в центре сферического однородного тела при г = 0 :

*о,(0) = ~ 4* yR2(P» /

Если масса тела М и его радиус R или плотность вещества р 0 и давление Р0 стремятся одновременно к нулю, то hw и Ирр также стремятся к нулю и метрика становится галилеевой, а пространство-время плоским.

§ 48 .5 . Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику однородного шара

Поскольку гравитационное поле обладает плотностью энергии (511) и описыва­

ется тензором плотности энергии-импульса Uik (533), то это необходимо учитывать в уравнении (573) в тензоре материи Т[к. Как будет показано далее, это приведет к поправкам в следующем порядке малости по отношению к решению Шварцильда. Ре­ шение задачи начнем аналогично [117J. Используя сферические координаты JC° = ct, х1 = г , х2= Q , JC3 = <р, будем искать неизвестные метрические коэффициенты gik в статическом интервале риманова пространства-времени для тела, обладающего сферической симметрией:

446 §48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара

= gwc2dt2 + g tldr2 + gndQ2 + gnd<p2.

Обозначим gm = В , gH= — К , ga = — E , g}i = — E sin2 Q и будем считать, что величины By Ку £ зависят только от радиуса г. Метрический тензор и его детерминант выглядят так:

гдеR k = Rin gnk — тензор Риччи со смешанными индексами, его можно найти, зная Rin из (571) и метрический тензор gnk,

6k — символ Кронекера, то есть тензор, у которого главные диагональные

компоненты равны 1, а остальные компоненты равны нулю.

По формулам (570), (571) и (572) находим ненулевые коэффициенты Кристоффеля, компоненты тензора Риччи и скалярную кривизну 2?, учитывая

здесь один штрих означает первую производную по координате г, а два штриха - вторую производную.

Тензор 7}k в (586) состоит из двух частей: T-k = U k + к,

§48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара 447

где Uiк —тензор плотности энергии-импульса гравитационного поля,

t k — аналогичный тензор вещества.

Используя определение тензора Ulk из (533), запишем его в смешанных коорди­ натах:

и -: = &ти пк = 4л у (~Ф1тФтк + ^ Ф 1тФш \

здесь Фш = ds Dm - дт Ds — тензор гравитационного поля (529),

Dm — ковариантный 4-векгор потенциала.

В сферических координатах скалярный потенциал поля f зависит только от радиуса, а для статических масс векторный потенциал D равен нулю. В результате за пределами тела имеем:

СГ С

где у — гравитационная постоянная,

М— гравитационная масса шара,

г— текущий радиус,

с — скорость света.

Внутри шара надо использовать потенциал грв из (568):

где р 0 — однородная внутри шара плотность вещества, R — радиус шара.

Компоненты тензора гравитационного поля примут вид:

3сВК '

Гравитационный тензор плотности энергии-импульса внутри тела внешне похож на этот же тензор вне тела с той разницей, что нужно учитывать только массу вещества М{г) внутри текущего радиуса г :

где р 0 и Р0 — соответственно плотность и давление в элементе покоящегося вещества,

448 §48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара

Если рассматривать область вне гравитирующего тела, где плотность вещества р„ = 0 и давление Р0= 0, то получится:

2

In ВКЕ = const, ВК = С, (Е')г

Постоянную С, можно найти из условия для В, К, Е на бесконечности, где метрика должна быть псевдоевклидовой:

В(оо) = 1, К(*>) = 1, Е(оо) = г\ отсюда С,= 1.

Если положить В К - 1 и г2 = Е только для правой части уравнений (587), (588), 589), то можно быть уверенным, что вносимая тем самым ошибка будет незначитель­ на, и уравнения (587), (588) можно переписать так:

450 §48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара

и при J E = -JE(R), причем в (595) в знаменателе второго члена справа вместо

•JE(R) подставлено R}что не вносит большой ошибки.

При движении внутрь однородной по плотности сферической массы по направ­ лению к ее центру гравитационный потенциал, как известно, стремится к константе и согласно (568) зависит только от текущего радиуса г :

здесь M,R — гравитационная масса и радиус всего тела.

Воспользуемся результатами предыдущего раздела о метрике в центре сфериче­

h№(0) =

'С"

Так какв данном случае £,,(г) = gpp или - К - — 1 +Ирр , то имеем:

4яуЯ2\р0 - Р0/(Зс2)1

здесь £п(г) — компонента метрического тензора в сферических координатах, gpp — компонента метрического тензора в гармонических координатах.

В конце этого раздела будет показано, что 4 е = г + const,

Тогда из (594) следует, что в пренебрежении степенями малой величины ~JE(0)

величина К(Е) при г = 0 равна:

С учетом значения -/Е(О) постоянная С4 оказывается величиной второго поряд-

1алости по отношению к квадрату скорости света. Интегрируем (591) внутри вещества с учетом (594):

Преобразуем неопределенный интеграл от Е(Е):

§48.5. Определение вклада энергии гравитационного поля в метрику шара 451

Под знаком экспоненты стоит выражение, пропорциональное отношению гравитационной энергии к энергии покоя вещества внутри текущего радиуса ^E (r).

Из (593) и (599) с учетом (595) следует, что на границе тела при г = R произведение экспоненты на постоянную С5 должно равняться единице. Постоянную С5 можно оценить с помощью данных предыдущего раздела, где компонента gw(r) метрического тензора в сферических координатах связывалась с компонентой метрического тензора в гармонических координатах:

£ооМ = £оо или в обозначениях данного раздела ^ (г ) = В: В = 1 + hw , где hmсогласно (585). Тогда при г = 0 находим:

При г = 0 экспонента в (599) обращается в единицу и приблизительно получаем:

В(г = 0) = С54 т +с< J m

Сравнивая данное выражение с (600) с учетом (598), находим, что С5 < 1:

_ 4я у Р г(р0 + Рр/с2)

^С*

Уравнение (589) внутри вещества сводится к релятивистскому уравнению гидро­ статики, связывающему текущую массу М(Е), давление и плотность вещества в зави­ симости от координаты 4 Ё . Если бы зависимость давления и плотности вещества от радиуса г была известной, то можно было бы найти величину Е как функцию от г внутри вещества. За пределами гравитирующего тела давление и плотность вещества равны нулю, а зависимость Е от г оказывается точно не определенной в связи со сложностью совместного решения уравнений (587), (588), (589). Обычно