книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Учитывая, что z = R cos Q, а элемент площади в поверхностном интеграле равен R2sinQdQdip, вычисляем мощность гравитационного излучения:

Оценим время жизни Юпитера на орбите вокруг Солнца, разделив кинетическую энергию его движения на потери энергии от дипольного излучения (560):

Благодаря излучению гравитационной энергии планеты теряют свою энергию, что эквивалентно возникновению эффективной силы торможения. Аналогичное яв­ ление в электродинамике называется радиационным торможением и приписывается силам самодействия одних частей ускоряемого заряда на другие его части. Если же вспомнить, что мощность есть произведение силы на скорость, то мощность потерь энергии от излучения можно выразить через эффективную силу торможения FmPM и скорость движения планеты по орбите К0, то есть:

Вновь используя соотношение V0 = o)Ra, а также формулу для силы гравитационного притяжения между звездой и вращающейся вокруг нее планетой:

р yM M s

гГР = ~ - 2 , где M s — масса звезды, До

для радиационной силы торможения получим:

Выражение для силы торможения ВЮРМ с точностью до численного коэффици­ ента порядка единицы можно получить и другим путем. Для этого нужно рассмот­ реть совместное движение звезды и планеты вокруг общего центра масс и найти вначале потенциалы хр и D от звезды в месте расположения планеты с учетом огра­ ниченной скорости движения гравитонов, то есть используя запаздывающие потен­ циалы. После этого с помощью (506) и (505) можно вычислить гравитационное ускорение G, кручение Q и суммарную силу F, действующую на планету. Главным

членом в силе F является обычная ньютоновская сила тяготения между звездой и планетой, но появляется и сила торможения FWPM, так что радиус орбиты и полная энергия планеты должны уменьшаться, а скорость ее движения по орбите увеличива­ ться.

Если рассматривать не движение планеты вокруг неподвижной звезды, а враще­ ние двух одинаковых обьектов вокруг их общего центра масс, то в каждый момент времени их скорости будут направлены противоположно, что приведет к частичному погашению гравитационного излучения от системы. В этом случае необходимо опре­ делять поток энергии в более точном приближении, и формула для дипольного излу­ чения (559) должна быть заменена соответствующей формулой для квадрупольного гравитационного излучения. Известно, что по порядку величины квадрупольное из­ лучение можно найти, умножив (559) на отношение (V0 /с)г. Для Юпитера мощность квадрупольного излучения очень мала и измеряется единицами киловатт. Почти та­ кой же результат получается и из общей теории относительности для квадрупольного излучения.

Применим формулу (559) для гравитационного излучения от протонов, на кото­ рые действует ядерная гравитация (§ 45) с гравитационной постоянной Г согласно (422), подставляя значение Г, находим:

здесь Мр— масса протона, о)— частота периодического движения,

г0 — радиус круговой орбиты или амплитуда колебаний,

с— скорость света,

е— электрический заряд протона, е0 — электрическая постоянная, МЕ— масса электрона.

С другой стороны, при том же самом движении средняя мощность от электромаг­

нитного дипольного излучения от протона по стандартной формуле равна:

Таким образом, мощность излучения от ядерной гравитации от протона в МР/МЕ раз превышает мощность от его электромагнитного излучения. К этому можно доба­ вить, что в нейтронных звездах и в нуклонах как в их микроаналогах отношение пол­ ной энергии к электромагнитной энергии по порядку величины также равно Мр /МЕ (смотри (455) и далее, а также (477) и (478)). Обобщая эти данные, можно предполо­ жить, что в среднем в нашем мире выполняется следующее соотношение между энергиями гравитационного и электромагнитного полей:

Ег р а в и т а ц и и ^ Масса протона _

Езлекгошгн. Масса электрона

Связывая энергию покоя вещества Метагалактики с ее гравитационной энергией, а фоновое излучение — с электромагнитной энергией, для отношения плотностей энергий находим:

здесь было принято р = 1 0"27 кг/м3 — плотность вещества Метагалактики, е = 4,2-10" 14 Дж/м3 — плотность энергии фонового излучения по (350), с — скорость

Согласно (563) в системе отсчета К регистрируется лоренцевское сокращение элемента длины dx\ а время / с точки зрения наблюдателя в системе К' отстает из-за соответствующего движения системы К относительно К\ Используя принцип относительности, с точки зрения наблюдателя в системе К интервалу времени dt' должно соответствовать время dt:

В выражениях (563), (564) скорость движения тела неявно выражается через гравитационный потенциал гр-.

г

В пределе слабого поля, когда гр мало, из (563) и (564) получаем:

(1 + у>/с2)

Данные выражения по смыслу совпадают с (361), однако в (361) предполагается, что временной интервал Т (сейчас у нас Т= d t') меняется для удаленного наблюда­ теля не из-за движения часов со скоростью V, а вследствие влияния гравитационного поля с потенциалом гр. Дело оказывается в том, что электромагнитные кванты, пере­ носящие информацию о ходе времени и пространственных координатах от системы отсчета К' в удаленную систему К, теряют часть своей энергии при таком переходе при движении против градиента гравитационного поля. В результате удаленному на­ блюдателю кажется, что процессы в гравитационном поле замедлены, а размеры тел вдоль градиента поля сокращаются. Если бы электромагнитные кванты не чувство­ вали влияния гравитационного поля, то можно было бы зафиксировать расстояние R между пробным телом и гравитирующей массой М и одновременно их скорость со­ вместного удаления К Тогда издалека мы наблюдали бы обычные эффекты относи­ тельности для системы отсчета К’, движущейся со скоростью V, и неподвижные относительно нее пробное тело и гравитирующую массу. Для удаленного наблюдате­ ля ничего не изменится, если в какой-то момент времени полностью затормозить та­ кую систему отсчета К \ пробное тело и гравитирующую массу М, но «включить» покраснение электромагнитных квантов при их выходе из гравитационного поля. При этом энергия квантов Е изменится на величину АЕ, пропорциональную потен­ циалу гр, то есть кванты потеряют часть энергии АЕ. Из (564) и обратной зависимости периода колебаний от частоты следует:

Совместим «заторможенную» систему отсчета К' с неподвижной притягиваю­ щей массой М сферической формы, и пусть пробное тело произвольно движется от­ носительно К\ Тогда интервал для пробного тела в системе отсчета К' как квадрат четырехмерного вектора смещения имеет следующий вид:

Квадрат длины вектора dt' можно представить через сферические координаты: dia = dr'2 -f r,2dQ2 + r '2sm2Q'd<p’2,

где г '—радиальная координата, Q\ <р'— поперечные радиусу углы.

Для удаленного наблюдателя интервал ds' (565) приблизительно преобразуется в интервал ds, если заменить r\ Q\ р1 на г, Q, у? соответственно, а вместо dr' и dt' использовать их выражения из (563) и (564):

Выражение (566) описывает метрику пространства-времени вокруг гравитирую­ щей массы с точки зрения внешнего наблюдателя и является решением Шварцильда для черной дыры. Особенно важно использовать математические формы для интер­ вала типа (566) при больших скоростях движения тел или в сильных полях любого вида, которые могут воздействовать на процесс передачи информации от одной сис­ темы отсчета в другую (конкретная формула для интервала может зависеть от враще­ ния гравитирующеей массы, наличия электрического заряда и т. д .). Если в системе К1 распространяется свет, то V - с и ds' = 0 согласно (565). Для внешнего наблюдателя интервал (566) также равен нулю, и если dQ = d<p = 0, то скорость движения фотонов вдоль радиальной координаты меньше скорости света:

Дифференциальный характер интервала (566) показывает, что наблюдаемые издалека скорость течения времени и изменение элемента длины зависят по крайней мере от одной координаты (в данном случае от радиальной координаты). В каждой точке гравитационного поля наблюдается свое собственное время и своя единица длины, которая еще может зависеть от ориентации в поле. Мы видим, что пространство-время в поле как бы искажается — меняется пространственновременная метрика. Геометрически это означает, что плоское псевдоевклидовое пространство-время становится искривленным. Однако внутренний наблюдатель, произведя измерения времени и размеров в одной точке гравитационного поля радом с собой, не обнаружит различия в метрике — для этого нужны по крайней мере две разнесенные друг от друга точки. Изменения метрики возникают при любых изменениях в наблюдаемой системе тел — при перемещении этих тел, вращении, появлении заряда или магнитного момента и т. д. В общем случае метрика определяется коэффициентами перед дифференциалами квадратичной формы, образующей квадрат интервала. В (566) имеется 4 коэффициента перед квадратами дифференциалов, но возможны и перекрестные члены типа dt dr, dt dQ. Мы можем использовать любые 4 обобщенные координаты вместо времени и трех пространственных координат для того, чтобы записать квадрат интервала:

ds2 = gtkdx‘dxk,

здесь*' , x k — обобщенные координаты, одна из которых играет роль времени,

g ^ —коэффициенты перед произведениями дифференциалов; /, к меняются от О до 3; предполагается, что по дважды встречающимся индексам i, к производится суммирование.

Коэффициенты gik в совокупности образуют метрический тензор, имеющий 4x4=16 компонент. Однако 6 из них продублированы дважды вследствие симметрии тензора и остается 10 независимых компонент, каждая из которых может зависеть от

Знание тензора gik полностью задает метрику пространства-времени изучаемого объекта и позволяет находить скорость течения времени, траектории движущихся пробных частиц и другие характеристики. Для определения компонент тензора gjk в общей теории относительности обычно используют тензорное уравнение Эйнштейна (смотри соотношение (335) ), распадающееся на 10 независимых уравнений. Если не учитывать космологическую постоянную, то уравнение (335) для контравариантных компонент тензоров можно записать так:

Аналогично (541) ковариантная производная тензора материи Tlk в римановом пространстве равна нулю, а для тензора S tk это осуществляется автоматически в силу его определения. Уравнение движения материи находится из равенства нулю ковариантной производной (здесь она обозначается DK) от тензора плотности энергии-импульса материи и имеет вид:

DKTik =0.

Разделим тензор материи на его части — тензор плотности энергии-импульса вещества tlk и соответствующий тензор поля Uik и возьмем в качестве tlk тензор (537), а тензор Ulk со структурой типа (533) пусть описывает гравитационное и электромагнитное поля. Тогда с учетом (535) получим:

/ ' = — -j^=dk ^J^-gU lk^ — суммарная плотность гравитационной и

электромагнитной силы, действующей на вещество.

Первый член в приведенном выражении аналогичен силе инерции (подобно тому как во втором законе Ньютона М а - = 0 к силе инерции можно отнести

произведение массы на ускорение М а), третий член отражает реакции наложенных связей через функцию L по (546) и давление Р0, силы f являются активными

438 §48.3. Системы отсчета и гравитация

действующими силами, а члены с компонентами связности Гкп относятся к

дополнительным силам инерции, исчезающим при отсутствии искривления пространства-времени.

В плоском псевдоевклидовом пространстве glk = rjlk по (516), g = - 1, Г кп1 = 0 и выражение Dk Ttk = 0 сводится к уравнениям типа (542) и (543). В соответствии с

принципом Д’Аламбера сумма действующих активных сил /}, реакций наложенных связей Nj и всех сил инерции В; должна равняться нулю:

+ ^ ) = о .

i

Сравнивая уравнения движения материи в поле тяготения с принципом Д’Аламбера, можно предположить, что компоненты сил с коэффициентами связно­ сти Г1^ появляются вследствие влияния гравитации на процесс измерения координат

объектов в поле тяготеющих масс. Аналогично на вращающемся диске возникают до­ полнительные силы инерции, действующие на вещество. Таким образом, эффектив­ ное искривление пространства-времени гравитацией и неинерциальность системы отсчета учитывается введением дополнительных сил, а степень искривления опреде­ ляется тензором Эйнштейна S ,k и пропорциональна тензору плотности энергииимпульса материи Tlk в силу уравнения (335).

Большой заслугой Эйнштейна является то, что вначале в специальной теории от­ носительности (СТО) он выяснил, как выглядят события в инерциальных системах по отношению друг к другу, а затем сделал то же самое для неинерциальных систем в общей теории относительности (ОТО). В СТО все действующие поля предполагают­ ся не влияющими на процесс измерений, преобразования Лоренца являются интег­ ральными соотношениями между координатами, а уравнения электрогравитационного поля записываются в векторном виде. В ОТО возможны то­ лько дифференциальные соотношения между координатами, учет полей приводит к перемешиванию координат в выражениях для компонент метрического тензора, а уравнения поля имеют тензорный вид и используются для нахождения метрики.

В общем случае метрика определяется не видимым положением взаимодействую­ щих тел, а их состоянием в предыдущий момент времени с учетом запаздывания пе­ реноса возмущений. Движение тел приводит к тому, что метрика меняется, а видимое наблюдателем пространство-время как бы колеблется. В пределе слабых по­ лей уравнения для метрики должны переходить в волновые уравнения электрограви­ тационного поля типа (528), связывающие потенциалы поля и плотности импульса источников поля и учитывающие взаимное влияние источников друг на друга. По данным из [113] если gifc = rjik + hjk, где tjjk — метрический тензор (516) простран­ ства Минковского, a hjk отражает небольшие колебания метрики из-за движения материи, то длина волны Я гравитационных возмущений может быть связана с радиусом кривизны А пространства-времени соотношением:

где h — свертка тензора hik .

В стационарном случае, когда скорости движения источников поля постоянны или их действие компенсируется, можно найти систему отсчета, в которой потенциа­ лы не зависят от времени и колебаний метрики нет. В этом случае волновые уравне­ ния переходят в известное уравнение Пуассона:

где ip— искомый потенциал,

/ — функция источника поля, определяемая пространственной плотностью массы (заряда) или плотностью тока массы (заряда), Л - оператор Лапласа.

Общее решение уравнения Пуассона имеет вид: rf(2)dV2

4яЛ 1Л

где 1 —точка, в которой ищется потенциал <р,

Ru — расстояние между точкой 1 и областью 2, где находятся источники поля и где нужно брать интеграл по объему.

Для случая / = const и сферической симметрии получается решение:

В частности внутри однородного по плотности шара в статическом случае

где у — гравитационная постоянная, р = р 0 — плотность покоящегося вещества, R — радиус шара,

г —текущий радиус.

Решение (568) удовлетворяет принципу суперпозиции для потенциала и может быть получено из (507) при интегрировании по обьему по всем точкам шара. Соглас­ но (506) гравитационное ускорение внутри шара направлено к его центру:

Для потенциала поля и ускорения GH за пределами шара массы М при г > R находим:

Энергия гравитационного поля шара в отсутствие движения вещества состоит из энергии поля внутри и снаружи шара, используя (511) получим:

Оценим работу гравитационных сил по переносу вещества из бесконечности внутрь обьема шара. Если шар наслаивается тонкими сферическими слоями, то для работы по переносу каждого слоя имеем:

440 §48.4. Метрика внутри однородного шара. Квазигалилеев подход

Таким образом, энергия гравитационного поля тела с точностью до знака равна работе гравитационных сил по сжатию вещества в объем этого тела. Поскольку над веществом совершается работа, его кинетическая энергия должна возрасти на вели­ чину Ек , причем в силу теоремы вириала оказывается, что ЕК= А/2, а другая полови­ на энергии уносится из сжимающегося вещества потоками быстрых частиц и излучением. Для оценки энергии тела кроме Ек используется также потенциальная энергия U= Е „ = - А . Потенциальная энергия вещества, находящегося на беско­ нечности, считается равной нулю: Um = 0, а для однородного шара она равна:

и _ _ 0 ,6 у М 2

R

Полная энергия вещества шара соответственно такова: Е = U + Ек < 0, причем выполнение неравенства Е < 0 необходимо для устойчивости любого объекта и сохранения его цельности. Величина Е фактически выполняет роль энергии связи вещества в гравитационном поле, поскольку для распыления вещества на бесконечность с нулевой конечной скоростью (когда полная энергия вещества станет равна нулю) к телу с полной энергией Е нужно добавить энергию

- Е : Е - Е = 0.

§ 48.4. Метрика внутри однородного шара. Квазигалилеев подход

Целью данного параграфа является иллюстрация того, как из уравнений Эйнштейна вытекают волновые уравнения для метрики, причем компоненты метрического тензора оказываются функциями скалярного гр и векторного D гравитационных потенциалов. В приближении слабого гравитационного поля для метрического тензора риманова пространства можно записать:

%ik ~ *1ik + hik>

где rjik — метрический тензор (516) пространства Минковского,

hik ~~Добавочный тензор, компоненты которого являются функциями координат и малы по величине.