книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Смысл равенства (547) заключается в том, что поток энергии в некоторый обьем через его поверхность приводит к увеличению гравитационной энергии в этом объе­ ме и совершению работы по ускорению вещества.

В тензоре tlk (537) содержится вектор плотности потока механической энергии

top — компоненты тензора (537).

Этот вектор несколько отличается от обычно упоминаемого вектора Умова.

вещества без учета давления, для дивергенции скорости находим уравнение неразрывности, эквивалентное (539):

Кроме этого, дивергенция суммарного потока механической и гравитационной энергии из элемента объема равняется скорости суммарных потерь энергии в этом элементе объема:

Если рассматривать еще и электромагнитное поле, то в левую часть (548) под знак дивергенции следует добавить вектор Пойнтинга Sp = [Е х Я], где Е%И — соответственно электрическая и магнитная напряженности поля, а в правую часть — плотность электромагнитной энергии или скалярную компоненту тензора плотности

энергии-импульса электромагнитного поля, равную fV00 = E D3 + В Н ), где

D9— электрическое смещение, В — магнитная индукция.

Учитывая (547) и аналогичное соотношение для электромагнитного поля, полу­

энергии-импульса гравитационного поля, электромагнитного поля и вещества. Из (548) следует, что в отсутствие потоков энергии полей в любом малом обьеме должно выполняться соотношение для плотностей энергии:

здесь В — полная плотность энергии вещества и поля, у — гравитационная постоянная,

G — гравитационное ускорение, с — скорость света,

Q — гравитационное кручение,

р 0 — плотность покоящегося вещества, PQ— изотропное давление,

L — величина согласно (546),

V—средняя скорость движения вещества в данном обьеме. Используя (548) и учитывая электромагнитное поле, можно записать:

-— = div(SV + S„ + Sr) = divS. dt

Используем теперь следующие выражения:

Предположим теперь, что рассматривается небольшой кусок вещества, изолиро­ ванный от окружающей среды. Тогда изменением внешних полей можно пренебречь

— они не проникают в такую систему благодаря изоляции. Полная внутренняя энер­ гия системы при ее неизменном объеме будет также постоянна и можно положить

To, что находится под знаком дивергенции, следует по-видимому отождествить с вектором типа Умова или вектором плотности потока энергии, возникающим вслед­ ствие колебаний плотности вещества р. В замкнутой системе колебания приводят к изменениям локальных плотности вещества, давления, плотности потенциальной энергии и излучения. При этом надо учесть, что в небольшом куске вещества можно пренебречь обычной гравитацией, но необходимо учитывать ядерную гравитацию между атомами вещества, то есть в U00 и Sr должна входить постоянная ядерной 1равитации Г из (422).

Для того, чтобы провести параллель между гравитационными и электромагнитными полями, сравним соответствующие четырехмерные векторы. Четыревекгор плотности электрического тока можно определить так:

где р оэ и р э — плотности покоящегося и движущегося заряда соответственно, с —скорость света,

j — плотность электрического тока, V— скорость движения зарядов.

1равитационного поля J 1 и /У, а волновое уравнение электромагнитного поля с точностью до знака и коэффициентов подобно (528):

□ V = J - f , с2е0

здесь г0 — электрическая постоянная.

Мы видим, что без всяких противоречий электромагнитное и гравитационное поля описываются одними и теми же формулами, следовательно, они образуют еди­ ный объект — электрогравитационное поле. Лишь одновременный учет всех компо­ нент такого поля позволяет правильно записывать законы сохранения энергии, импульса и момента импульса и находить силы, действующие между объектами.

§48.2. Три избранные задачи

1.Рассмотрим задачу о гравитацион­

ном взаимодействии малой пробной массы Л/, и большой массы М2 в двух

системах отсчета — в системе К \ в кото­ рой обе массы покоятся, а масса М2на­ ходится в начале координат, и в системе К, которая движется относительно К' влево вдоль оси X ' (рисунок 85) со ско­

здесь у — гравитационная постоянная,

х\ у \ z' — координаты точки, где находится масса Мх, R! —расстояние между массами М2иМ х.

Перейдем в систему отсчета К>в которой обе массы вместе с системой отсчета К' движутся вправо вдоль оси X со скоростью К0. Согласно (524) и (525) потенциалы от движущейся массы М2 в системе К будут таковы:

здесь предполагается, что при /= 0 масса М2находилась в начале координат сис­ темы отсчета К, а расстояние R до массы ЛГ, в системе отсчета К учитывает эффект сокращения длины вдоль оси X за счет движения массы Мх. Определим теперь ком­ поненты гравитационного ускорения G и кручения Q с помощью (506):

Поперечные к скорости К0 координаты массы М] в обеих системах отсчета совпадают: у' = у, т! = z, следовательно, R' = R. Раскрывая значения R' и R через координаты, получим:

что совпадает с преобразованиями Лоренца (386). Кроме этого, при R = R' сила Fj[ в (551) равняется силе Fx в (552), если координату х' выразить через х и вре­ мя t и учесть равенства у 1= у, т! = z. Следовательно, использование гравитацион­ ных потенциалов хр к D, гравитационного ускорения G и кручения Q в данной задаче находится в согласии с теорией относительности Эйнштейна.

При получении компонент силы Fy и Fz в системе отсчета К было видно, что вследствие движения параллельных масс Мх и М2 возникает сила поперечного от­ талкивания (в членах, содержащих кручение Qy и Qz). Данная сила отталкивания вполне эквивалентна силе отталкивания F{ в (503). Благодаря этой силе при боль­ ших скоростях движения параллельно движущиеся массы притягиваются слабее друг к другу — суммарная сила стремится к нулю по мере приближения скорости к скоро­ сти света. Как следствие этого, две быстровращающиеся в одну сторону вокруг одной оси нейтронные звезды должны притягиваться друг к другу слабее, чем если бы они не вращались. В § 45 обсуждалась связь нуклонов в дейтроне, для которой известно, что нуклоны вращаются в одну сторону. Полагая, что все вышесказанное справедли­ во и для ядерной гравитации (с заменой постоянной у на постоянную ядерной гра­ витации Г из (422) ), приходим к тому, что вращающиеся нуклоны в дейтроне притягиваются ядерной гравитацией слабее, чем если бы они были неподвижны.

2. В качестве одного из применений уравнений (508) рассмотрим стационарное решение для гравитационного скалярного потенциала хр галактики, имеющей массивное ядро и разреженное гало. Так как хр не зависит от времени, уравнение для потенциала примет вид:

где у — гравитационная постоянная, р — средняя пространственная плотность вещества звезд в галактике.

Предположим, что галактика имеет форму диска, тогда хр в основном зависит

основное распределение гравитационного потенциала и плотности звездной массы, а величины хр\г) и р\г) являются некоторыми небольшими стационарными отклонениями от основного распределения. Зная хр'(г), можно найти потенциальную энергию звезды с массой Ms , отсчитываемую от положения равновесия при потенциале xpQ(r): U - Ms хр\г). Звезды, движущиеся вокруг ядра галактики, образуют звездный газ, который можно охарактеризовать некоторой звездной температурой Т. С помощью величин U и Т можно, как это следует из статистической механики, найти распределение плотности р'(г) в пространстве:

(556)

здесь р '— амплитуда отклонения плотности вещества от среднего значения р 0(г), М5— средняя масса звезды в галактике,

Ks — звездная постоянная Больцмана (183),

Т — звездная температура кинетического движения звезд.

Ввиду линейности (555) можно разделить на два уравнения для основного потенциала тр0(г) и возмущения гр'(г):

Мы будем решать только второе уравнение, для которого известно распределение плотности в виде (556). Пользуясь малостью величины М г)> разложим экспоненту в (556) в ряд Тейлора и возьмем самые большие члены:

KS T

С учетом (557) уравнение для t//(r) примет ввд:

d2rl>\r) + 4n yp 'M s Ар'(г) = 4п у р \

где Аур —некоторые константы.

Подставляя М г) в (557), найдем добавку к основному распределению плотности звезд:

выглядит как кольца в диске вокруг ядра галактики. Учитывая периодичность

dr ~ Ю20 метра ~ 3 кпк.

Спиральная структура нашей Галактики действительно имеет характерный шаг порядка 3 кпк. Выбросы вещества и вращение галактических ядер превращает кольца в спирали, но в некоторых галактиках кольца плотности наблюдаются очень хорошо.

По-видимому, можно назвать по крайней мере еще два примера явлений, в которых кольца плотности должны играть существенную роль. В частности, хорошо

роль играло падение температуры веще­ ства диска по мере удаления от Солнца.

3.Решим задачу о гравитационном излучении от планеты, обращающейся вокруг

звезды по круговой орбите с радиусом (смотри рисунок 8 6 ). Звезда находится в начале координат в точке 0, планета в момент наблюдения — в точке L(xQ, у0 , z0), потенциалы гравитационного поля ищутся в произвольной удаленной точке Р(х, у , z). Для кругового движения планеты в плоскости XOY с угловой частотой о) можно записать:

Vx + Vy2 = VI

Расстояние от планеты до точки наблюдения Р(х, у, г) с учетом запаздывания передачи гравитационного возмущения равно:

сс

с— скорость распространения гравитационного возмущения,

R = -yjx2 + у 2 + z2 — среднее расстояние от планеты до точки Р.

Если скорость VQ невелика по сравнению со скоростью света и скоростью гравитонов, то соотношения для потенциалов отдельной движущейся массы (524) и (525) можно упростить: