книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

где р 0 — плотность покоящегося вещества,

и1— четырехмерная скорость,

р— плотность движущегося со скоростью V вещества,

с— скорость света,

/ — плотность тока массы.

Поскольку кавитационное ускорение G, кручение Q, скалярный потенциал Навигационного поля гр и векторный потенциал D удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Максвелла, то потенциалы гр и D автоматически изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца и составляют вместе четырехмерный вектор потенциала:

С помощью обратных преобразований типа (389), (387) ненудно найти потенциалы в системе отсчета К, для чего в (520) следует изменить знаки перед К0 и переставить между собой штрихованные и нештрихованные компоненты векторов:

хуV%1/*- сЧ 1 - у?/с*

Заменяя координаты в г' в потенциале тр' через координаты системы отсчета К

Если учесть (507), то векторный потенциал отдельной движущейся частицы можно записать в более общем виде:

(525)

где V— скорость движения частицы с учетом запаздывания,

гр —гравитационный скалярный потенциал частицы с учетом запаздывания, с — скорость света.

Знание потенциалов в различных системах отсчета позволяет находить гравитационное ускорение G и кручение поля Q с помощью (506), а затем и действующую гравитационную силу по формуле (505). Применяя далее (518') к

сумме всевозможных действующих сил, включая силу самодействия от испускаемого частицей излучения, можно определить движение тел.

Для краткой записи волновых уравнений обычно используют четырехмерные производные по времени и пространственным координатам. Так, оператор градиента имеет вид ковариантного вектора:

где grad — обычный градиент по пространственным координатам. Четырехмерная дивергенция вектора определяется как скалярное произведение

оператора градиента на четырехмерный вектор. Например, дивергенция вектора положения равна:

diet) + дх + ду_ + дг = 4

grad,*' = djX*

Для дивергенции вектора плотности импульса J 1 из (522) получим:

Равенство нулю выражения (526) вытекает из закона сохранения массы согласно (510). Аналогично дивергенция вектора потенциала D1 из (523) равна нулю, что соответствует условию калибровки Лоренца в (508):

'Cdt

Следует заметить, что равенство нулю дивергенции 4-векгора или тензора часто бывает отражением непрерывности процесса во времени и пространстве либо свое­ образным калибровочным условием на компоненты вектора (тензора). Скалярное произведение оператора д,- самого на себя дает новый оператор — четырехмерный даламбертиан:

Видно, что четырехмерный даламбертиан (527) в галилеевых координатах только знаком отличается от обычного даламбертиана, использованного в (509).

В соответствии с волновыми уравнениями (509) действие четырехмерного даламбертиана на вектор потенциала D1 из (523) дает вектор, пропорциональный вектору плотности импульса J 1 из (522):

С

Одно четырехмерное уравнение (528) эквивалентно четырем уравнениям для потенциалов (508) или (509).

По аналогии с тензором электромагнитного поля в электродинамике введем антисимметричный тензор гравитационного поля:

Этот же тензор в контравариантном виде может быть найден двумя путями:

четырехмерным градиентом по ковариантным координатам, составляющим в свою

Поскольку компоненты трехмерных векторов G/c и Q оказываются компонен­ тами тензора Ф.к, то кавитационное ускорение G и кручение Q преобразуются при переходе в другую систему отсчета по тензорному закону. Применяя частные преоб­ разования Лоренца (520) к каждому контравариантному вектору в определении тен­ зора Ф.к в (530), считая при этом, что оператор grad1 = а1 также 4-вектор, можно

найти преобразования для значащих компонент тензора при переходе вдругую инер­ циальную систему отсчета:

Заменяя компоненты тензоров Ф"к и Ф,к на компоненты G к Q, находим преобразование G и Q от неподвижной системы отсчета К в систему отсчета К1, двигающуюся вдоль оси X системы К со скоростью V0 при параллельных осях Y и

Г , Z H Z ':

Учитывая, что в уравнения (504) входят производные от компонент тензора Ф.к

pk — ковариантный 4-вектор импульса,

F — гравитационная сила (505).

В соответствии с (517) уравнение движения частицы под действием гравитацион­ ной силы может быть записано в следующем виде:

_ ф *

где р1 и рк —контравариантный и ковариантный 4-импульсы соответственно,

dtQ= ds/c — инвариант времени (ds — интервал, с — скорость света).

Для системы частиц и гравитационного поля уравнения движения частиц и поля могут быть выведены путем варьирования функционала действия S от функции Лагранжа L:

нау-ю частицу, DJ -VJ —скалярное произведение трехмерных векторов, dx2 = dxdy dz

есть трехмерный элемент объема, dxA=сdtcbc3—элемент 4-обьема. Результатом варьи­ рования интеграла доказываются уравнения (531) при варьировании по тензору Ф1к и

при варьировании по 4-потенциалу Dk , входящему в скалярное произведение Dk dxk

во втором члене функции I и в тензор Ф.к в третьем члене согласно (529), а также уравнения типа (532) для множества частиц (при варьировании по 4-вектору dxk).

Более подробно вывод уравнений движения вещества и поля из принципа наименьшего действия смотри в Приложении в конце книги.

Рассмотрим симметричный тензор плотности энергии-импульса гравитационно­

где и — плотность энергии гравитационного поля (511),

Выше две скобки были приравнены нулю, так как они выражали закон сохране­ ния массы-энергии при движении вещества (уравнение непрерывности (510)):

^ U 1 - у 2/*2

Кроме этого было использовано операторное соотношение, справедливое для

Здесь V — скорость движения элемента вещества относительно системы отсчета или с точностью до знака относительная скорость движения системы отсчета через вещество.

Если есть только вещество и гравитационное поле, то для дивергенции суммы тензоров плотности энергии-импульса вещества и поля должно быть:

здесь Т'к — тензор плотности энергии-импульса вещества и поля в целом.

Это уравнение с учетом (535) и найденных выше компонент дивергенции тензора

здесь Р— скорость движения элемента вещества,

с— скорость света,

р0 — плотность массы-энергии покоящегося вещества,

Р0— изотропное давление частиц в веществе, G — гравитационное ускорение,

Q — кручение гравитационного поля.

Уравнение (543) является релятивистским гидродинамическим уравнением для сжимаемой жидкости без вязкости, переходящим для идеальной несжимаемой

жидкости при L = 0 в пределе малых скоростей и давлений в уравнение Эйлера. Полученные уравнения не являются независимыми, так что если умножить скалярно уравнение (543) на скорость V и вычесть из (542), то после деления оставшихся членов на давление Р0 получится следующее:

Из (539) при использовании (540) и после разложения дивергенции по правилу div(/4 В) = A div В + В ■grad А следует:

Ро й

Сравнивая выражения (544) и (545), можно найти функцию L через давление и плотность:

При стационарном давлении интеграл L = Р0 1п[р„/р0(Г=0)] + const. Для несжимаемой жидкости всегда р 0 = р 0(/ =0) = const и функция L = const.

В общем случае в (541) следует добавить тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля, при учете которого возможно некоторое изменение плот­ ности покоящегося вещества р 0 , в правой части (542) добавится член j-E, а в правой части (543) — выражение р э Е + [j х В] (здесь Е — напряженность электрического поля,у — плотность электрического тока, р э — плотность движущегося пространст­ венного заряда вещества, В —индукция магнитного поля).

Найдем теперь трехмерную тензорную дивергенцию тензора хрч (538), преобра­ зуя ее с помощью (540) и (545):

Считая, что в замкнутом объеме сумма дивергенций тензоров а94 и хрч в отсутствие других полей должна равняться нулю, с учетом (536), (543) находим:

здесь g p — компоненты плотности импульса гравитационного поля (513),

Vp — компоненты скорости движения вещества К то есть при р = 1,2,3 V х =VX9 V 2 = Vr , K3 =K Z.

Полученное выражение описывает закон сохранения суммарного импульса вещества и поля при отсутствии потока импульса за пределы объема.

Рассмотрим дивергенции таких частей тензоров Ulk и tik , как их векторы плот­ ности потока энергии. В тензоре Uik (533) находится вектор Sr из (512), по смыслу аналогичный вектору Пойнтинга для электромагнитного поля, и имеющий дивер­ генцию в виде: