книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf452 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
формулу (ш). Отметим, что на величину у влияют главным образом члены, являющиеся функциями перерезывающей силы. Если прене бречь *) только ими, то получим погрешности противоположного знака, и конечный результат вычисления распора будет менее то чен, чем результат, полученный при применении приближенной формулы (т). Найдя распор для случая действия на арку одной вер тикальной сосредоточенной силы, можно по принципу независимо сти действия сил получить распор и от нескольких вертикальных сил или от распределенной вертикальной нагрузки.
Рассмотрим случай, когда вертикальная нагрузка равномерно распределена по пролету арки. В этом случае веревочная кривая мо жет быть приведена к совмещению с продольной осью арки, и тогда для определения распора будет допустимо применение формулы (27). Ее знаменатель нам уже известен. Он равен
|
|
— |
E J 0 |
(1-1-В) |
|
|
|
|
|
15 |
|
О -Г -РЛ |
|
|
|
где р имеет значение согласно формуле (32). |
|
случае имеет зна- |
|||||
Числитель формулы |
(27) в рассматриваемом |
||||||
чение: |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
S |
.'//2 |
1/2 |
|
|
||
f H o d s |
ГH o ( f - y ) d s |
H ° l Г |
|
|
|
||
J EF |
J EFp cos ф ~ |
E F 0\ |
|
J |
) |
р2+** |
|
0 |
0 |
\ |
|
0 |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
EF„ т |
- ( т |
+ £ ) агс1б 1 У • |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Н' = Н0 |
15/» |
[т ~ ( т + |-)агс1®-^1 |
||||
|
|
4 /* |
|
|
(1 + Р ) |
|
|
Так как Н„ означает распор трехшарнирной арки, подобной рас сматриваемой, не снабженной промежуточным шарниром в ключе, то его величина равна H0=t7/78/, где q есть интенсивность равномерно распределенной нагрузки; Н' представляет величину, на которую нужно уменьшить Н0 для того, чтобы получить распор двух шарнирной арки. В таблице III приведены численные значения от ношения
£ - т £ [т -(т + £ Н в 1 Й = < 1 + 1 > > |
(36) |
в зависимости от стрелы / и толщины Л арки.
*) Подобные расчеты приведены, напрныер, в книге W e y r a u c h J . J . Elastische Bogentrager einschliesslich der Gewolbe, Eisenbetonbogen und Bogenfachwerke. 3 Auflage, Stuttgart, K- Wittwer, 1911,540 S. CM . S. 313. См. также H o w e M.A. A treatise on arches. New York, J. Wiley and Sons; London, Chapman and Hall, Limited. 1897, 351 p. CM. Appendix C (pp. 272—283).
|
§8. СИММЕТРИЧНАЯ КРУГОВАЯ АРКА |
|
453 |
|||
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а III |
|
f/l |
|
1/12 |
|
|
1/8 |
|
h/l |
1/10 |
1/20 |
1/30 |
1/10 |
1/20 |
1/30 |
H'/Ho |
0,1771 |
0,05132 |
0,02351 |
0,08372 |
0,02245 |
0,01012 |
6/h |
0,1793 |
0,09017 |
0,06018 |
0,1142 |
0,05742 |
0,03832 |
m |
|
1/4 |
|
|
1/2 |
|
ьп |
I/IO |
1/20 |
1/30 |
1/10 |
1/20 |
1/30 |
H'/Hg |
0,01746 |
0,00444 |
0,00193 |
0,00072 |
0,00018 |
0,00008 |
6/h |
0,04442 |
0,2230 |
0,01489 |
0,00362 |
0,00181 |
0,00121 |
Мы видим, что существенное уменьшение распора двухшарнир ной арки Н по сравнению с распором трехшарнирной Я 0 имеет место лишь для очень пологих арок значительной толщины. Уменьшению распора соответствует перемещение кривой давления над продоль ной осью арки. Пусть б будет расстоянием между ними по вертика ли, проходящей через ключевое сечение. Составив сумму моментов всех сил, приложенных к половине арки, относительно точки пере сечения вертикали, проходящей через ключевое сечение, с кривой давления, получим равенство
X — (Но— Н') (6 + f) = 0,
откуда
Н' |
(37) |
н„~н |
Подставляя в найденное для б выражение полученные ранее зна чения Я 0 и Я ', получим величину смещения кривой давления над продольной осью арки. В последней строке таблицы III помещены отношения этого смещения к толщине арки h. Мы видим, что кривая давления может выйти из средней трети толщины арки, следователь но, под действием равномерно распределенной нагрузки могут по явиться растягивающие напряжения только в очень пологих ар ках значительной толщины.
§ 8. Симметричная круговая арка
Пусть АСВ — круговая ось симметричной арки радиуса р с центральным углом 2а (рис. 12), тогда
у=>р (1—созф), f = P ( l —cos a), I = 2psina.
454 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
Предположив, что сечение арки остается постоянным, имеем
F=Fо ESpmEJoх).
При помощи общей формулы (26) определим распор, вызванный повышением температуры и изменением расстояния между опор
ными шарнирами. Основной член знаменателя этой формулы |
|
|
1 if~ESpdS = |
(cos<р cosсс)а d<p = |
|
о |
о |
|
|
рЗ |
(а) |
|
~ 2 £У^(а —3 s in a c o s a -f 2acos*a), |
|
учитывает влияние изгибающего момента на кривизну продольной
оси |
арки. |
Влияние |
продольной силы |
учитывается |
членом |
||
|
j |
— j j?- s- = J L |
| cos8 ф d(p = ^ |
(a + sin a cos a); |
(b) |
||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
влияние кривизны оси арки учитывается членом |
|
|
|||||
—2 J |
cos |
dS — —-pjr J (cos Ф—cos a ) cos ф dq> = |
|
|
|||
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
-= —’£p-(a — sinacosa). |
(c) |
|||
*) |
М о ж н о бы ло бы без |
особы х трудностей |
п р и м ен ять точн ую |
ф о р м у л у (6) |
|||
и п о л о ж и ть |
ESp = EJ0 ^1 |
) ] > °Дн а к о * |
к ак видн о и з |
дальн ей ш его |
|||
расч ета, вводим а я т ак и м образом п о п р ав к а сли ш ком м а л а , чтобы им еть п р а к ти ческое зн ач ен и е *
$8. СИММЕТРИЧНАЯ КРУГОВАЯ АРКА |
455 |
Наконец, влияние поперечной силы учитывается членом
№
Подставив значения интегралов в формулу (26), определяющую распор, мы получим для него следующее выражение:
Н = |
( Ы — 6) EJ„___________ 1 |
(38) |
||
( а — 3 sin a |
c o s a + 2 а c o s 3 а ) 1 + Р ’ |
|||
р 3 |
|
|||
где |
|
|
|
|
Р = ^ "-T s ln a cos а + & |
cos3 tt ^ |
[« + з1п и C0S а ~ |
|
|
|
—2 (а —sin a cos a) -f-k (а— sin a cos а)] (39) |
|||
учитывает суммарную поправку на влияние продольной силы, кри визны оси и поперечной силы.
Теперь рассмотрим действие вертикальной сосредоточенной си лы по формуле (29). Ее знаменатель, согласно приведенным выше
подсчетам, равен: 2и'а = — £7- (а— 3 sin a cos а + 2а cos2а) (1 -fP).
Чтобы определить значение числителя vh, обратимся к формуле
(а) § 6. Учитывая исключительно главные члены
р $ |
W |
( т |
- |
■*)ds~ р 1 |
(*•— *>d s = |
|
о |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
= ~EJ~ J (cos ‘Р— cosa) (sina— sin q>) d(p = |
|||
|
|
PpS |
г 1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= -gj- |
I Y (s'n!!a —sin2фо)—cosa (a sin a —ф0sin ф0)— |
||||
|
|
|
|
|
|
—cos a (cos a —cos ф„)j , (e) |
получаем для |
распора выражение: |
|||||
IJ _ |
р |
Уа (3 in 2 a — s in 3 ф 0) — cos к(сс s i n a — фр sin tp„) — co s a (cos a — co s <p0) |
||||
|
|
|
|
|
a — 3 sin a cos a + 2a cos2 a |
|
X T + jP
Чтобы получить более точное выражение для распора, надо, кро ме того, учесть дополнительные члены уравнения (а) § 6. Член, учи тывающий влияние продольной силы, равен:
- Р J с о ^ п ф Л + р J |
= _|£_(sin, ф0— sin3a). (!) |
|
о |
о |
|
§8. СИММЕТРИЧНАЯ КРУГОВАЯ АРКА |
457 |
равномерная, т. е. <7=const, получаем, согласно формуле (41),
4 - sin3 сс+ -i- cos а (а — sin а cos а —2а sin3 а) |
|
||
Н = 2р<7 3 |
Л _________ b . ^ . , , w , T7n----- + 34 |
|
|
|
( а — 3 sin а cos а + 2 а cos2 а) (1 + Р) |
|
|
|
J"— y s i n 3a + - |- s i n а + у |
(cos3 a sin a —a cos a) j |
(43) |
|
( а —3 sin a cos а + 2 а |
cos3 а) (1 + Р) |
|
|
|
||
Подсчеты показывают, что дополнительные члены незначительно влияют на величину числителя. Например, при а=28° для распора Н получим значения
# = 2?Р |
°*9328Р^ = 0’993V . |
(к) |
или |
|
|
|
0,003312 + 0,00266 — |
|
Н — 2<7р |
jjr\ > |
0) |
|
0,007101 ( 1 + 10,11 J r ) |
|
смотря по тому, пренебрегают ли всеми дополнительными членами или же учитывают их. Как видно, поправки имеют второстепенное значение для числителя.
Чтобы определить распор в случае загружения парой сил, до статочно дифференцировать формулу, полученную для случая за
гружения одной сосредоточенной силой. Действительно, —
представляет собой распор, вызванный системой сил, согласно рис. 12, Ь. Эта система представляет собой пару сил с моментом
Рр cos ф dq>.
Распор, вызванный парой сил с моментом, равным единице, представится так:
Н' = |
1 |
dff 1 |
(44) |
|
Р |
4ф р cos q> |
|||
|
|
|||
Полагая k=3, на основании формулы (42) получаем: |
|
|||
. sin<p— <pcosa-|— j-(2sin<p— c o s a t g 9) |
(44') |
|||
_ J______________ P______________ __ |
||||
p (a —3 sin a cos a + 2 a cos3 a) (1 + P) |
|
|||
Приравняв угол ф углу а, получаем распор, вызванный момен том, приложенным к арке у левого шарнира.
В заключение рассмотрим случай круговой арки под действием распределенной нагрузки, интенсивность которой изменяется сог ласно закону <7=<7o/cos* ф.
|
|
$ 9 . С И М М Е Т РИ Ч Н А Я А Р К А П Р О И ЗВ О Л Ь Н О Г О О Ч Е Р Т А Н И Я |
459 |
|
знаменатель может быть выражен следующим образом: |
|
|||
1 |
s |
S |
S |
|
^ (/—У)2ds + *’2^ cos*q>ds— |
(/— i/)cos<pds + |
|
||
EJо |
|
|||
|
о |
о |
о |
|
|
|
|
+ £i2 J sin2cpdsj . |
(а) |
Начнем наши расчеты с вычисления первого интеграла, так как он является основным членом знаменателя. Для этой цели разобьем полуарку на восемь равных частей. Соответствующие значения по дынтегральных функций приведены в третьем столбце таблицы IV.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а IV |
|
<р° |
(1/Р)<!-*)= |
U - У)*/Р* |
COS* ф |
Ш—if) COS ф/р]= |
(sln*a—з!п*ф)х |
з1п*фС08ф |
= (созф—cosa) |
=созф(созф—cosa) |
Х(созф—cosa) |
||||
0 |
0,1171 |
0,01371 |
1,0000 |
0,1171 |
0,02581 |
0 |
3,5 |
0,1152 |
0,01327 |
0,9851 |
0,1088 |
0,02496 |
0,01474 |
7,0 |
0,1096 |
0,01201 |
0,02252 |
|||
10,5 |
0,1004 |
0,01008 |
0,9415 |
0,0848 |
0,01879 |
0,05679 |
14 |
0,0874 |
0,00764 |
0,01415 |
|||
17,5 |
0,0708 |
0,00501 |
0,8716 |
0,0473 |
0,00920 |
0,1199 |
21 |
0,0507 |
0,00257 |
0,00466 |
|||
24,5 |
0,0271 |
0,00073 |
0,7796 |
0,0000 |
0,00131 |
0,1946 |
28 |
0,0000 |
0,00000 |
0,00000 |
|||
Так как длина дуги арки, соответствующая одному клину с центральным углом в 3,5°, равна 0,06109 р, то для рассматриваемого интеграла по формуле Симпсона получим следующую величину:
(/—у)2ds = р— ’3--109 [0,01371 + 4 (0,01327 + 0,01008 +
1
+ 0,00501 + 0,00073) + 2 (0,01201 + 0,00764 + 0,00257) + 0] =
= р3 0,1745 = 0,003553р3.
Если бы полуарку разбить на четыре клина вместо восьми, то результат оказался бы равным
S
S (/—y)*dssB
о
= р3-°’1222 [0,01371 + 4 (0,01201 + 0,00257) + 2 -0,00764 + 0] =
_ рз 0Л222 0,0873! = 0,003556р3.
з