книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Полное укорочение элемента оси ds представится в следующем виде:

(12)

Вторым членом выражения, находящегося в скобках, обыкно­ венно пренебрегают и пользуются упрощенной формулой

Как было отмечено, при определении напряжений сдвига мы бу­ дем пользоваться той же формулой, что и для прямых брусьев (8), поэтому происходящее от сдвига смещение центра тяжести сечения cd по отношению к бесконечно близкому сечению ab представится в следующем виде:

„k'Qds kQds

где А' — коэффициент, зависящий от формы сечения.

Для прямоугольника, т. е. для случая, в котором максимальные касательные напряжения в полтора раза превышают среднее их значение, мы имеем

А' = 1,5; А = 2А '(1+ц) = 3(1 + р),

где р — коэффициент Пуассона.

§ 4. Перемещения и углы поворота

Изучив деформации элемента кривого бруса, мы легко найдем перемещение любой точки оси бруса, так же как и угол, на который повернется любое сечение. При выводе формул лучше всего начать с исследования частных случаев. Положим, что требуется найти ли­ нейное перемещение и поворот точки С кривого бруса АВ относи­ тельно сечения В (рис. 4).

Располагая координатные оси, как показано на рисунке, мы бу­ дем искать, каково будет перемещение точки С, вызванное дефор­ мацией отдельного элемента кривого бруса между двумя беско­ нечно близкими сечениями в точках С и К. Нужно рассмотреть отдельно:

1)перемещение точки С, вызванное сжатием б ds осевого элемен­

та ds;

2)перемещение, вызванное изменением б ds угла между прове­ денными сечениями;

3)перемещение, вызванное сдвигом.

Вследствие сжатия часть бруса, расположенная выше точки К, получит перемещение, параллельное касательной к оси бруса в точ­ ке К. Соответственные перемещения б«, 8« т о ч к и С в проекциях на координатные оси выразятся так:

bux —bds cos ф,

(а)

bvx = b ds sin у

Вследствие уменьшения угла между рассматриваемыми сечения­

Подставляя вместо ССХего значение, найденное выше, и принимая во внима­ ние, что CD=y—уй, KD=x—JC0, мы най­ дем для составляющих перемещения CCi следующие значения:

Сдвиг элемента определит перемещение р всей верхней части бруса относительно нижней части; перемещение это произойдет по направлению радиуса КО.

Согласно принятым обозначениям (§ 1) положительной перере­ зывающей силе соответствует перемещение в направлении от К к О. Проектируя его на координатные оси, получаем

бы3= —р sin <р, 6t»s=p cos ф.

Таким образом, перемещения точки С относительно точки К по координатным осям, полученные из рассмотрения элемента свода, будут:

б« = б ds cos ф + б (у—г/0) —р sin ф, бо = б ds sin ф— б dq> (х—х0) + Рcos ф.

Чтобы получить полное перемещение точки С, следует взять сумму всех перемещений элементов свода в промежутке между В и С . Обозначив через s0длину дуги АС и через Si длину дуги А В

В случае изгиба, представленного на рис. 5, с, мы имеем

М = Н 0(у—с), Я = Я 0 cos ф, Q=—Hasin (р,

и формулы, определяющие перемещения, принимают вид

Если симметричная арка подвергается действию двух гори­ зонтальных прямо противоположных сил Я, приложенных к ее пятам (рис. 6), можно допустить, что сечение в ключе£> остается неподвижным.

Тогда перемещения точки С(х0, у„) будут определяться дефор­ мациями, претерпеваемыми частью CD кривого бруса. Так как в этом случае

М = —Я(/—у), N —H cos <р, Q=—Н sin ф,

что дает нам на основании равенств (23) и (24):

— Ив

Чтобы определить Я, достаточно в каждом частном случае про­ интегрировать указанные выражения.

В дальнейшем мы увидим, что при расчете перемещений возмож­ но применить упрощенные формулы, полученные при допущении, что поперечные размеры сечения малы по сравнению с радиусом кривизны р, т. е. формулы (с) (§ 4) заменяют формулы (9) и (12) § 3, Тогда мы определим распор Я по более простой формуле:

Иногда идут еще дальше и пренебрегают влиянием поперечной силы, отбрасывая у числителя и знаменателя формулы (25') послед­ ние члены.

В заключение выясним, какое влияние на распор Я оказывает изменение температуры и смещения опор. Для определения этих изменений Я применяют метод, указанный выше: предполагают неподвижность сечения в ключе С в горизонтальном направлении и свободу перемещения опор Л и В по линии АВ (рис. 7, Ь). Тогда горизонтальное перемещение точки А под действием заданных на­ грузок и возрастания температуры получается от прибавления к правой части уравнения (23) выражения 7* Ш (т. е. увеличения дли­ ны полупролета вследствие изменения температуры на Г), где в есть коэффициент линейного температурного расширения для мате­ риала арки. Затем определяют величину распора (рис. 7, с).

Если опорные шарниры совершенно неподвижны, то величину распора определяют из того условия, что перемещение, соответст­ вующее Ни'а, должно быть равно по величине и противоположно по

знаку перемещению ua+ 1/tlet, указанному выше. Наоборот, если опоры смещаются под влиянием действующих на них нагрузок и расстояние между ними увеличивается на длину б, то перемещение Ни'а, вызванное распором, будет отличаться от величины ы0+ + VsШ на 7„б, и для определения Н получим уравнение

Знаменатели полученных формул зависят только от очертания и размеров арки и от упругих свойств материалов, из которых арка выполнена.

Раз подсчитанные, они могут служить для расчета всех представ­ ляющихся нам частных задач при различных способах распределения нагрузок. Возможные упрощения и происходящие от этого по­ грешности мы изучим на разных примерах.

Укажем другой способ расчета упругой двухшарнирной арки. При первом способе расчета мы удаляли опоры, препятствующие изменению расстояния между ними. Таким образом, мы пришли к статически определимой системе, опорные реакции которой опреде­ ляются на основании уравнений статики, как для балки на двух опорах. К статически определимой системе можно прийти и иначе: можно сохранить неподвижность опорных шарниров и добавить про­ межуточный шарнир. Такое допущение приведет нас к случаю трех­ шарнирной арки, опорные реакции которой также легко опре­ делить. Найдя эти опорные реакции, определим, как они изменятся