книги / Общая термодинамика
..pdf=const; тогда |
|
const, т. е. уравнение политропы |
||
станет уравнением адиабаты и, таким |
образом, политропиче- |
|||
ский процесс |
оказывается адиабатическим. |
|||
Когда |
cv= f |
(t), то теплоемкость с также функция темпе |
||
ратуры; |
следовательно, |
с может обратиться в нуль только |
||
при одной какой-нибудь |
температуре и только при этой тем |
|||
пературе |
X—cp :c v—k. |
Но при переменной теплоемкости cv |
||
(см. вывод уравнения адиабаты, § 10-5) |
уравнение pV k—const |
|||
не является уравнением |
адиабаты. |
|
Отсюда ясно, что обратимый адиабатический процесс яв ляется частным случаем (Я=:£) политропического процесса только тогда, если теплоемкость cv постоянна.
3°. Уравнения (10-61) политропы переводятся одно в другое посредством тех же преобразований, что и уравнения обрати мой адиабаты.
10-10. н ек о то ры е: сво й ства политропических п ро ц ессо в
1°. Политропа, смотря по значению показателя Я, может оказаться адиабатой, изотермой, изохорой, изобарой. Поэтому взамен раздельного изучения свойств обратимых адиабатиче ских, изотермических, изохорных и изобарных процессов целе сообразно изучить общие свойства политропических процессов. По (10-64) и (10-65) имеем:
D W = ^ - i d t= n (c v - c ) d t , |
(10-68) |
где cv — c=const независимо от того, постоянна cv |
или нет. |
Поэтому в любом политропическом процессе, в котором на чальная и конечная температуры идеального газа равны t\ и t2, внешняя работа
^ 12= Й «а ~ * .)= « К ~ с) (t2 - f ,). |
(Ю-69) |
По (10-64) D Q =ncdt; если при этом c=const, то
Qi2= n c (t2— 1\). |
(10-70) |
Если же с — функция температуры, то
ч
Ql2= $ncdt (10-70') /1
— функция t\, t2 и числа граммолей п. Та^им^образом,при cv~
— const (и, следовательно, c=const)
Если же |
cv= f( t ) |
(следовательно, с ~ с у — а, где a=const), то |
|||
|
|
DWa |
с — с |
|
(10-71') |
|
|
D Q |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, например, при Я=0 из (10-65) и (10-69) |
|
D |
|||
имеем: c = c v — |
|||||
—cv-\-R =cp\ Wel2= — nR (t2 — ti); |
; следовательно, U^12 |
||||
и Qi2 противоположны по |
знаку. Все это |
так |
и должно быть, |
||
так как |
при Я=0 |
политропический процесс в |
идеальном газе |
становится изобарным и t и V возрастают одновременно, так
что если Ql2> 0 , |
т о W^I2<C0- |
|
|
|
|||||
Выведенные |
здесь |
зависимости |
|
|
|||||
(10-68) — (10-70) неприменимы к изо |
|
|
|||||||
термическому |
процессу |
в идеаль |
|
|
|||||
ных газах, |
так |
как |
при |
|
этом £ = |
|
|
||
=const, а |
DWe и |
DQ отличны |
от |
|
|
||||
нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако |
мы |
знаем, |
что |
в этом |
|
|
|||
иг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае - т г - = — 1; тот же результат |
|
|
|||||||
W\2 |
|
|
|
|
как в изо |
|
|
||
получается из (10-71), так |
|
|
|||||||
термическом процессе c=zizoo, |
и |
|
|
||||||
поэтому в (10-71) |
Ср~ с—__1 , |
|
|
|
|||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
2°. Рассмотрим одно из уравне |
|
|
|||||||
ний политропы, |
например, |
pV k = £ . |
|
|
|||||
Две политропы могут отличаться друг от друга показателем |
|||||||||
А или постоянной Е. Совокупность политроп, |
имеющих |
один и |
|||||||
тот же показатель А, |
называется семейством |
политроп. |
Поли |
тропы одного семейства отличаются одна от другой константой Е
и не |
пересекаются. Так, |
например, все изобары (р = р х=Е\— |
=:const; р = р 2—Е2= const |
и т. д.) образуют семейство поли |
|
троп, |
показатель которых |
Я=0. |
На диаграмме р — V ни две изобары, ни две изотермы не пересекаются.
Политропы двух различных семейств пересекаются. Так, всякая изобара пересекается со всякой изотермой и т. д.
Пусть (фиг. 10-7) |
линии |
b u . b 2, . . , Ьп образуют семейство |
|||||
политроп с |
показателем |
Хь, |
а линии а', а" относятся к другому |
||||
семейству |
политроп, |
показатель |
которых Яа; а' и а" пересе |
||||
каются с Ьх в точках |
V |
и |
с |
политропой Ь2 линии а' и а" |
|||
пересекаются |
в точках |
2' |
и 2". |
|
|||
Величины, |
относящиеся |
к каждой точке пересечения, имеют |
|||||
индексы этой |
точки. |
|
|
|
|
|
что и |
требовалось |
доказать. |
Таким же |
способом |
получается |
и (10-74). |
|
|
|
|
|
4°. Обозначим через WeX и We2 внешние работы |
политропи- |
||||
ческих |
обратимых |
процессов |
/'/" и 2'2" |
(фиг. 10-7): |
|
|
(С .-С ») |
|
- т[у. |
Поэтому
К г К 2= (Т ['-Т [):(Т '’- Т ' 2).
Правую часть этого равенства можно преобразовать.
Действительно, по уравнению (10-72')
т"-т"—т ’-т'
1 1•19 --1 I * 19»
поэтому
(77 - Т[):(Т2 - Т2)= Т " :Т 2 = Т [:Т 2. |
(10-77) |
Наконец, обозначим через Т\ и Т2 абсолютные температуры точек пересечения политроп Ь\ и Ь2 (фиг. 10-7) какой-либо по литропой семейства а. Тогда по доказанному
Т';:Т2 = Т [:Тг . 2’-=.Т, х.-.Т2.. |
|
(10-78) |
|
Таким образом, имея в виду |
(10-77), можем написать: |
||
= |
Т[:Т'2 = Т х:Т2, |
(10-79) |
|
или |
|
|
|
W :Т ‘ . |
|
(10-80) |
|
е\ * Г w е2*12 * |
|
|
|
[10-Л]. В обратимых процессах /'/" и 2'2", |
совершаю |
||
щихся по двум политропам |
(Ь\ и Ь2) семейства |
b , заклю |
|
ченным между двумя политропами семейства а, отношение |
|||
внешних работ равно отношению абсолютных температур |
|||
в точках пересечения политроп Ь{ и Ь2 |
какой-либо поли |
||
тропой семейства а. |
|
|
|
Иначе: |
|
Ьл заключенных |
|
На обратимых политропах семейства |
между политропами семейства а, внешняя работа про порциональна абсолютной температуре начального со стояния.
Из (10-78) видно, что вместо начальной можно взять конеч ную температуру или же температуру точки пересечения рас сматриваемой политропы с одной из политроп семейства а.
|
10-3. В идеальном газе, |
начальные температура, давление и объем ко |
|||||||||||||||
торого tt, рх и |
Vb повышение давления на |
Др производится |
тремя различ |
||||||||||||||
ными способами: изотермически, обратимо-адиабатно и изохорно. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Считая теплоемкость Cv постоянной, |
выразить |
приращения |
внутренней |
|||||||||||||
энергии в |
этих |
процессах |
посредством начального |
и |
конечного |
давлений |
|||||||||||
(Pi |
и p = P t - r Др). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10-4. Определить приращение внутренней |
энергии |
ненасыщенного |
водя |
|||||||||||||
ного пара при изобарном повышении температуры от |
100 до 600° С, приняв |
||||||||||||||||
для теплоемкости ср формулу ср = |
а 4 - ^ |
+ |
Т*2» гДе а = |
8,62; |
6 = |
0,002; 7= |
|||||||||||
= 7 |
, 2 |
кал\град'МОЛЪ, |
и |
рассматривая |
ненасыщенный водяной |
пар |
как |
||||||||||
идеальный газ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10-5. Для азота |
|
|
|
|
|
и |
t = |
0° С, |
а |
средний |
ко- |
|||||
эффициент объемного расширения |
между 0 и 100° С «0 100 = 36,604 • 10” 7 - f |
||||||||||||||||
-J- 167» 10“ 7р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По этим данным определить приближенное значение производной |
|
|
||||||||||||||
и отклонение разности ср — cv от |
газовой константы R. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
10-6. Показать, что в случае идеального газа, теплоемкость Cv которого |
||||||||||||||||
постоянна, при изохорном изменении давления |
приращение внутренней энер |
||||||||||||||||
гии пропорционально объему и приращению давления. |
(Сопоставить с зада |
||||||||||||||||
чей 10- 1.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-7. В цилиндре, емкость которого 2К0 постоянна, содержится некото |
||||||||||||||||
рое |
количество |
идеального |
газа. Диафрагма, |
могущая |
скользить |
без трения |
|||||||||||
внутри цилиндра, делит |
газ |
на части 1 и 2, |
массы которых одинаковы. Одно |
||||||||||||||
основание цилиндра диатермично, а диафрагма, боковая |
поверхность |
и вто |
|||||||||||||||
рое основание — адиабатны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В начальном состоянии |
объем, |
давление |
и температура |
каждой |
части |
|||||||||||
VQ, Ро>*о- |
|
|
|
|
основание) |
теплоту |
к |
части |
1, изменяют |
||||||||
|
Подводя (через диатермичное |
состояния обеих частей газа, причем в конце процесса давление части 2
достигает значения р2 = |
ар0, |
где а — некоторый |
положительный |
коэффи |
|||
циент. |
|
|
|
(V2 и tz) части 2 в конце |
|
||
Определить объем и |
температуру |
процесса, |
|||||
работу W2 давления газа |
в этой части, |
давление рх в части 1 и подведенное |
|||||
к этой части количество тепла. |
|
|
|
|
|
||
Указание. В части 2 происходит |
адиабатический процесс, |
поэтому, счи |
|||||
тая Cv постоянной, зная |
р2 и |
k = |
Cp :Cv, можно |
определить |
V2, |
t2, и W2, |
|
Ввиду отсутствия трения между диафрагмой и стенками цилиндра давления |
в обеих частях одинаковы; общий объем |
(2V0) обеих частей постоянен. |
По |
||||||
этим данным можно определить tv Наконец, пользуясь |
первым |
началом |
и |
|||||
применив (10-15) к каждой части, можно определить |
количество |
тепла, под |
||||||
веденное к части 1. |
|
|
|
|
12 — процесс |
|||
10-8. В идеальном газе совершается цикл 1231, |
в котором |
|||||||
„расширения в пустоту", |
23— обратимое |
изобарное |
сжатие, |
а 3/ — изохор- |
||||
ное повышение давления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Считая Cv функцией |
температуры, вычислить (pDQ,(f)DWe ii показать, |
|||||||
что Q + We = 0 . |
|
|
J |
|
J |
|
|
|
10-9. Сосуд В , стенки которого адиабатны, разбит адиабатными диаф |
||||||||
рагмами на части |
Вь В2, . . . , Бд, объемы |
которых |
Vb |
V2, . . . t Vk. Во всех |
||||
частях содержится |
один |
и тот же идеальный газ, |
температура |
и давление |
||||
которого tv P\ — eBx\ t2,p2 — eB2 и т. д. |
|
|
|
|
|
|
||
Определить температуру и давление, |
которые |
установятся |
в сосуде |
по |
||||
дуалении всех диафрагм. |
|
|
|
|
|
|
|
10-10. Пользуясь тем, что изменение, вызванное изохорным процессом, можно осуществить посредством последовательности изобарного и изотер мического процессов, и опираясь на первое начало, доказать, что в случае идеальных газов
Lp = Lv + RTbn.
Здесь Lv — скрытая теплота реакции в смеси идеальных газов при V^const;
Lp — скрытая теплота той же |
реакции при р = const; Дя— изменение общего |
|||||
числа |
граммолей, |
вызванное |
реакцией. |
|
|
|
В |
задачах 10-11 — 10-17 |
„источник |
т“ означает источник тепла, |
темпера- |
||
ратура |
которого |
равна г. Если |
в источниках т' и т" температура т' |
больше |
||
температуры |
то мы ради краткости |
будем называть источник т' |
горячим, |
а т " — холодным. Тепло, полученное источником х' от системы или другого
источника, |
обозначим )/. |
При тепловом |
общении источников х |
и т" |
имеет |
|||
место равенство |
+ V ' |
= 0, причем |
если т ' > т " , то V < 0 ; У' > 0. |
При |
||||
тепловом |
общении |
источника х |
с |
системой, совершающей |
процесс, а, |
|||
Ха + 0а = |
°- |
|
двумя источниками: горячим х и холодным х" |
(т. е. |
||||
10-11. |
Располагая |
•т'>т"), мы можем установить между ними тепловое общение; при этом тепло будет переходить от горячего источника, к холодному, т. е.
* ; + * а = ° : * а < ° ; ^ ' > 0 -
Устанавливая тепловое общение сначала между г' и системой, являющейся идеальным газом, а затем между т" и этой системой, осуществить в системе обратимый цикл Карно 12341, в котором температуры верхней и нижней
изотерм 7\ и Г3 соответственно равны 7’1 = т'; Т3= т" (следовательно, 7'1> 7 3), а скрытые теплоты Q12 и Qu удовлетворяют условиям Qi2+^a = 0» Q34 +■ Xа = 0 , причем
Q i2 > 0 ; Х ; < 0 ; Оз4 < 0; ^ > 0 .
За этот цикл внешняя работа Wea будет отрицательной.
Считая, что в процессе а и цикле а источник т' отдает одинаковые ко
личества тепла, |
т. е. \'а =X^<0, |
определить |
разность теплот X’J |
и |
l'a' |
и |
ту |
|
(отрицательную) |
внешнюю работу, которую |
мы теряем в процессе |
а непо |
|||||
средственного перехода тепла от х к т". |
|
б , в. .. источ |
||||||
10-12. Пусть |
в течение последовательности процессов а, |
|||||||
ник т получает (положительные |
или отрицательные) количества |
тепла |
1а, |
|||||
••• |
\а -|- |
-[- \в + |
. . . = 0 , то |
будем источник считать |
„неис |
|||
Если сумма |
||||||||
пользованным". |
Если эта |
сумма |
отлична от нуля, — источник |
использован. |
Помня, что теплота сама собой переходит от горячего тела к холодному, доказать, что:
всегда возможна такая последовательность процессов, в результате которой используется только один источник, внешняя работа положительна, система возвращается к начальному состоянию, а использованный источник получает положительное количество тепла.
10-13. Доказать, что:
если бы был возможен непосредственный переход тепла от холодного
тела к горячему, |
то |
была бы возможна и такая |
последовательность про |
|
цессов, в результате |
которой используется только |
один источник, внешняя |
||
работа отрицательна, |
система возвращается к своему начальному |
состоянию, |
||
а использованный |
источник получает отрицательное |
количество |
тепла (рав |
ное внешней работе).
10-14. Рассмотреть следующие циклы, осуществляемые идеальным газом: а) 1а2— процесс расширения в пустоту; роцесс 2Ы — обратимое изо
термическое сжатие;
6 ) 1 2 — обратимо-адиабатическое расширение; 23— изохорное увеличе
ние давления |
(и температуры); |
31— обратимое изотермическое |
сжатие. |
|||
Показать, |
что: в цикле |
яа“ |
используется |
один |
источник, |
получающий |
от системы положительное |
тепло, а внешняя |
работа |
положительна (и равна |
теплу, получаемому источником); в цикле „6“ тоже может быть использован
только один источник, причем тепло, |
получаемое |
им от системы, положи |
||||
тельно и внешняя работа тоже положительна |
(и |
равна теплу, |
получаемому |
|||
источником). |
|
|
|
|
|
|
10-15. В предыдущей задаче даны примеры |
циклов, в которых внешняя |
|||||
работа положительна, а использованный |
источник |
получает положительное |
||||
тепло. |
|
|
|
|
|
|
Показать, что после всякого цикла |
а, в котором UP,a > 0 |
и |
использо |
|||
ван один источник х' (причем Х д> 0), |
можно осуществить такой |
обратимый |
||||
цикл Карно в идеальном газе, чтобы в результате циклов а и |
Карно внеш |
|||||
няя работа оказалась равной нулю и холодный |
источник г" получил столько |
тепла, сколько потерял горячий источник (т. е. последовательность этих циклов сводится к переходу тепла от горячего источника к холодному, имеющему место при тепловом общении этих источников).
10-16. Опираясь на результаты двух предыдущих задач, показать, что' после процесса расширения в пустоту а можно осуществить ряд таких об ратимых процессов б , чтобы в результате а и б внешняя работа оказалась равной нулю, система вернулась к своему начальному состоянию, а из двух использованных источников холодный получил столько тепла, сколько по терял горячий.
10-17. В эксперименте Джоуля по определению механического эквива лента теплоты при опускании груза нужно отводить тепло от жидкости, для того чтобы состояние последней оставалось неизменным. Пусть отводи
мое тепло |
получает источник х'. (Назвав |
процесс |
опускания груза |
процес |
|||||||
сом а, имеем: |
Wea = Ph\ |
= Wea.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, что после процесса а можно осуществить такой обратимый |
|||||||||||
цикл а Карно в идеальном газе, чтобы в |
результате а |
и а |
внешняя |
работа |
|||||||
оказалась |
равной нулю, |
системы (жидкость |
и |
идеальный |
газ) оказались |
||||||
в своих начальных состояниях, а из |
двух |
использ.ованных |
источников х и |
||||||||
х" холодный полечил столько тепла, сколько потерял |
горячий. (В |
экспери |
|||||||||
менте Джоуля |
при опускании груза в жидкости |
вращается |
валик |
с |
лопат |
||||||
ками, а это вызывает трение жидкости о лопатки |
и частиц |
жидкости |
друг |
||||||||
о друга. Таким образом, полученный |
результат можно |
формулировать так: |
|||||||||
трение .сводится к переходу тепла от |
горячего |
тела к |
холодному.) |
|
|
ГЛ А В А О Д И Н Н А Д Ц А Т А Я
НАИБОЛЕЕ О БЩ Е Е ВЫ РАЖ ЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА.
ТЕО РИ Я ТЕЧЕН И Я
11-1. НАИБОЛЕЕ ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА
1°. Частицы, образующие систему, находятся в непрестан ном движении: сталкиваются, отскакивают с резко изменив шимися скоростями, ударяются о стенки сосуда...
При наличии беспорядочного движения частиц система как целое может быть в состоянии движения ш!и оказаться в со стоянии покоя.
Движение частиц системы, находящейся в покое, будем на зывать тепловым (термическим).