Раздел 2. Синтез цифровых автоматов без памяти
Лекция 2. Этапы синтеза
Будем рассматривать синтез КС, реализующих одну ПФ. Процесс синтеза КС на элементах заданного базиса разбивается на следующие этапы:
Аналитическая запись ПФ в булевом базисе (запись в виде СДНФ или в СКНФ).
Минимизация ПФ в булевом базисе.
Представление полученного после минимизации выражения в заданном базисе (переход к заданному базису).
Построение КС, реализующей полученное выражение, с учетом коэффициентов объединения, разветвления и требуемого быстродействия.
Минимизация ПФ в булевом базисе.
СДНФ и СКНФ используются лишь для первоначального представления ПФ. Дело в том, что эти формы записи в ПФ не удобны для построения КС, поскольку при их реализации получаются схемы, содержащие элементы, которые можно исключить, если исходить из других форм ПФ. Поэтому при синтезе КС встает задача упрощения записи выражения для ПФ. Эта задача называется минимизацией ПФ.
В процессе минимизации СДНФ получается последовательно в начале сокращенная ДНФ, далее тупиковая и минимальная.
Существуют различные методы минимизации ПФ, из которых чаще всего используются методы Квайна, Мак-Класки, Блейка-Порецкого, диаграмм Вейча и карт Карно. В принципе все эти методы являются равновидностями метода Квайна.
Метод минимизации Блейка-Порецкого.
Недостатком метода Квайна является то, что для его применения необходимо представить функцию в СДНФ. Процесс такого представления для функции с большим числом аргументов зачастую является весьма громоздкой задачей, т.е. было бы желательно найти возможность построения сокращенной ДНФ, не по СДНФ, а по произвольной ДНФ данной функции. Идея построения сокращенной ДНФ по произвольных ДНФ была предложена в работах А. Блейка и П.С. Порецкого и основывается на следующей лемме.
Лемма:
Если
в ДНФ для данной функции f(x1,…,xn)
входят две конъюнкции вида Ахi
и B
,
то имеет место следующее равенство:
f=fvAB.
Доказательство леммы:
Запишем функцию f в следующем виде:
.
Из доказанной леммы вытекает метод построения сокращенной ДНФ. Этот метод заключается в том, что исходную функцию необходимо пополнить новыми членами вида АВ согласно лемме. После этого надо провести поглощения и вновь повторить пополнение ДНФ. Этот процесс необходимо производить до тех пор, пока будут возникать новые конъюнкции вида АВ. По окончании преобразований получаем сокращенную ДНФ. Процесс пополнения ДНФ осуществляется согласно лемме по формуле, которая называется операцией обобщенного склеивания:
Axi
v B
=
Axi v B
v AB.
В основе метода Квайна так же лежит операция склеивания, но другая, которая называется операцией неполного склеивания.
Операция неполного склеивания является частным случаем операцией обобщенного склеивания при А=В.
Axi
v A
= A v Axi v A
.
Рассмотрим примеры:
Найти сокращенную ДНФ для функции трех аргументов:
.
При использовании метода Блейка-Порецкого применяется операция поглощения, которую можно представить в виде х v xy=x.
Пусть дана функция трех аргументов:
.
Табличный метод минимизации ДНФ.
Метод диаграмм Вейча или карт Карно.
Методы Квайна и Блейка-Порецкого являются аналитическими. В этих методах наиболее трудоемким является процесс отыскания склеивающихся между собой конъюнкций. Существуют методы, которые позволяют упростить поиск склеивающихся членов. Один из наиболее удобных методов минимизации ПФ от небольшого числа переменных основан на использовании диаграмм Вейча или карт Карно. Диаграмма Вейча представляет собой фактически таблицу истинности ПФ, которая представляется не в виде столбцов, а в виде специальных карт. Каждой клетке диаграммы соответствует определенный набор значений аргументов. Поэтому диаграммы можно рассматривать как графическое представление совокупности всех конституэнт единицы. При этом диаграмма строится таким образом, что склеивающиеся между собой конституэнты оказываются расположенными в соседних клетках, т.к. отличаются значением только одной переменной. Приведем примеры построения диаграммы Вейча и карт Карно для ПФ от разного числа аргументов.
Переключательные функции двух аргументов.
Диаграмма Вейча:
Для представления функции с помощью диаграмм Вейча или карт Карно следует записать единицы в клетках таблицы, соответствующие наборам, на которых функция равна единице, а нули в остальные клетки. При склеивании соседние конституэнты будем обводить овалом.
Переключательные функции трех переменных.
В этой карте соседними клетками являются также крайние клетки каждой строки, т.к. расположенные в них конституэнты отличаются друг от друга значением только одной переменной. Такую диаграмму следует рассматривать как свернутую в цилиндр.
Минимизация ПФ с помощью диаграмм Вейча и карт Карно сводится к такому объединению соседних единиц в группы, при котором каждая группа содержит максимальное число единиц, а количество таких групп минимально. При этом все единицы диаграммы Вейча данной функции накрываются наименьшим числом наиболее коротких произведений (импликант).
Переключательные функции четырех переменных.
нарисуем схему в булевом базисе.
ДНФ:
КНФ:
Построим схему, реализующую функции f1 в базисе И-НЕ (штрих Шеффера). Для этого осуществим переход от булевого базиса к базису И-НЕ.
В диаграммах Вейча и картах Карно для четырех переменных соседними клетками являются крайние клетки каждого столбца и строки. Поэтому такую диаграмму следует рассматривать как свернутую в тор.
Лекция 3. Переключательная функция для пяти переменных.
В этой диаграмме, как и прежде, соседними являются крайние клетки каждого столбца и строки левой и правой половин. Кроме того, соседними являются клетки расположенные на одной строке и равноудаленные от центральной вертикальной линии, т.е. диаграмму следует представить ещё и сложную по центральной вертикальной линии как страница книги.
