3.Система случайных величин

Задача 1. Задана двумерная функция распределения двумерной случайной величины

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми,,,.

Решение. Определим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми,,,по формуле

= ( − ) − (−) =

.

Задача 2. Двумерная дискретная случайная величина описывается законом распределения вероятностей, заданного таблицей

Y
	0,10	0,15
	0,15	0,25
	0,20	0,15

Определить закон распределения случайных величин и, условный закон распределенияпри условии, чтои условный закон распределенияпри условии, что.

Решение. Для определения безусловных законов распределения случайных величин ивоспользуемся формулой, тогда

,

,

.

Для величины аналогично получим

,

.

Условный закон распределения при условии, что, определяется совокупностью условных вероятностей

,

,

.

Условный закон распределения при условии, что.определяется совокупностью условных вероятностей

,

,

Нетрудно видеть, что как безусловные, так и условные распределения вероятностей удовлетворяют условию нормировки, т.е. вероятности в сумме равны единице.

Задачи к части

3. Система случайных величин

1-5. Система двух дискретных случайных величин (X,Y) задана двумерной таблицей распределения:

Y X	x1	x2	x3
y1	p11	p21	p31
y2	p12	p22	p32

Определить законы распределения дискретных случайных величин X,Y системы (X,Y). Найти математическое ожидание, дисперсию случайных величин X,Y и корреляционный момент системы (X,Y).

Исходные данные к задачам:

№№ задачи	p11	p21	p31	p12	p22	p32
1	0,1	0,2	0,3	0,15	0,2	0,05
2	0,25	0,1	0,2	0,25	0,15	0,05
3	0,1	0,3	0,05	0,2	0,05	0,3
4	0,3	0,005	0,3	0,15	0,1	0,1
5	0,1	0,2	0,25	0,05	0,25	0,15

6-10. Система двух дискретных случайных величин (Х,Y) задана двумерной таблицей распределения:

X Y	x1	x2
y1	p11	p21
y2	p12	p22
y3	p13	p23

Определить законы распределения дискретных случайных величин Х,Y системы (Х,Y). Найти математическое ожидание, дисперсию случайных величин Х,Y и корреляционный момент системы (Х,Y).

Исходные данные к задачам:

№№задачи	p11	p21	p12	p22	p13	p23
6	0.1	0.15	0.2	0.25	0.25	0.05
7	0.25	0.25	0.1	0.15	0.2	0.05
8	0.1	0.2	0.3	0.05	0.05	0.3
9	0.3	0.05	0.3	0.15	0.1	0.1
10	0.2	0.1	0.05	0.25	0.25	0.15

11-15. Система двух дискретных случайных величин (Х,Y) задана двумерной таблицей распределения:

X Y	x1	x2	x3
y1	p11	p21	p31
y2	p12	p22	p32

Определить условный закон распределения дискретной случайной величины Х при условии, что дискретная случайная величина Y приняла значения y₁. Наити условные математическое ожидание M[Х/Y=y₁] и дисперсию D[Х/Y=y₁].

Исходные данные к задачам:

№№задачи	p11	p21	p31	p12	p22	p32
11	0.1	0.2	0.3	0.15	0.2	0.05
12	0.25	0.1	0.2	0.25	0.15	0.05
13	0.1	0.3	0.05	0.2	0.05	0.3
14	0.3	0.05	0.3	0.15	0.1	0.1
15	0.1	0.2	0.25	0.05	0.25	0.15

16-20. Система двух дискретных случайных величин задана двумерной таблицей распределения

Y X

Определить условный закон распределения дискретной случайной величины при условии, что дискретная случайная величинаприняла значение. Найти условные математическое ожиданиеи дисперсию.

Исходные данные к задачам:

№№ задачи
16	0,1	0,15	0,2	0,25	0,25	0,05
17	0,25	0,25	0,1	0,2	0,2	0,05
18	0,1	0,2	0,3	0,05	0,05	0,3
19	0,3	0,05	0,3	0,15	0,1	0,1
20	0,2	0,1	0,05	0,25	0,25	0,15

21-25. Вычислить вероятность попадания двумерной непрерывной случайной величины с нормальным распределением в прямоугольник, ограниченный прямыми:,. Случайные величинынезависимы и имеют математические ожиданияи средние квадратичные отклонения,:

№№ задачи
21	1	2	2	3	1,5	2,5	0,5	1
22	2	3	1	2	0,9	1,5	0,6	2
23	1,5	2	2	3	1	2	0,8	1
24	2	4	0	3	1	2	0,5	0,8
25	3	5	3	5	0,5	4	0,8	0,5

26-30. Найти вероятность попадания двумерной непрерывной случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми:, Плотность вероятностисистемывнутри прямоугольника постоянная.

Исходные данные к задачам:

№ задачи
26	0,5	2	1	5
27	0,2	2,5	1	4
28	-1	1,5	0	3
29	-0,5	2	1	5
30	-1	1,5	0,5	2,5

31-35. Известны математические ожидания средние квадратичные отклоненияи матрица К корреляционных моментов системы. Записи выражение плотности вероятности внутрисистемы.

Исходные данные к задачам:

№ задачи	31	32	33	34	35
	26	20	30	45	25
	12	8	10	14	15
К	256 -90 -90 169	120 10 10 90	100 20 20 50	150 -20 -20 60	75 15 15 60

36-40. Система непрерывных случайных величин имеет постоянную плотность вероятностейв заданной области. Являются ли случайные величинынезависимыми? Если нет, то определить условные математические ожидания случайных величин.

Исходные данные к задачам:

№ задачи	Вид области
36	Внутренность треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0), (0,1)
37	Внутренность квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
38	Внутренность прямоугольника с вершинами в точках (0,0),(2,0),(0,1),(2,1)
39	Внутренность четверти единичного круга с центром в точке (0,0)
40	Внутренность половины единичного круга с центром в точке (0,0)

41 – 45 . Для двух дискретных независимых случайных величин X, Y заданы законы распределения:

X	x1	x2
P	p1	P2

Найти двумерный закон распределения системы (X, Y), определить корреляционный момент системы (X, Y).

Исходные данные к задачам 41 – 45:

№ задачи	x1	x2	p1	p2	y1	y2	q1	q2
41	1	2	0,1	0,9	-1	1	0,3	0,7
42	3	4	0,2	0,8	0	2	0,2	0,8
43	5	6	0,3	0,7	1	2	0,1	0,9
44	0	2	0,4	0,6	3	4	0,4	0,6
45	-1	1	0,25	0,75	2	3	0,5	0,5