Часть 3. Система случайных величин Система случайных величин, её законы распределения и числовые характеристики

Вентцель Е.С.Гл. 8,§ 1-6,гл. 9,§ 1,3.

Гнурман В.Е.Гл. 14,§ 1-9, 11-19.

При изучении сложных явлений рассматриваются совместно две, три и большее число случайных величин, образующих комплекс, систему случайных величин. Здесь важно обратить внимание на то, что при исследовании характеристик системы случайных величин недостаточно изучить по отдельности характеристики каждой случайной величины, входящей в систему. Полными, исчерпывающими характеристиками системы случайных величин являются многомерные законы распределения. В случае системы дискретных величин - это многомерные таблицы распределения, а в случае непрерывных случайных величин – многомерная функция распределения или плотность вероятностей, которые являются обобщением соответствующих одномерных законов распределения случайной величины. Поскольку для систем с более, чем двумя случайными величинами отсутствуют простые геометрические представления законов распределения, то в основном при их изучении ограничиваются случаем систем с двумя случайными величинами.

При рассмотрении системы случайных величин важное значение имеют понятия зависимости и независимости случайных величин, входящих в систему. Эти понятия обобщают понятия зависимых и независимых событий. Изучающему данный раздел следует четко уяснить принципиальное отличие зависимости случайных величин, называемой вероятностной, от зависимости величин, рассматриваемой в математическом анализе, которая имеет характер жесткой зависимости между величинами. Вероятностная зависимость является общим видом зависимости величин.

При исследовании взаимосвязи двух случайных величин используются понятия условных законов распределения.

Для оценки степени зависимости случайных величин используется числовая характеристика – корелляционный момент, который при отсутствии связи между случайными величинами равен нулю, а с увеличением степени связи его значение возрастает.

Следует усвоить характерные для системы двух величин такие числовые характеристики, как условные математические ожидания и дисперсии, а так же связанные с этими характеристиками понятия линий регрессии.

Далее необходимо рассмотреть нормально распределенную систему двух непрерывных случайных величин, как частный, но имеющий большое практическое применение, случай систем случайных величин. Обратить внимание на выражение плотности вероятности системы, условия независимости двух случайных величин, на выражение условных плотностей вероятностей, условных математических ожиданий и дисперсий.

Между прочим, с использованием новой числовой характеристики – корреляционного момента – удается получить формулы для дисперсии суммы зависимых случайных величин, являющихся обобщением ранее рассмотренной формулы.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется системой случайных величин? Привести примеры системы случайных величин.

2. Дать определение функции распределения системы двух случайных величин и указать её свойства.

3. Дать определение плотности вероятностей системы двух случайных величин и перечислить свойства этой функции.

4. Как находится вероятность попадания системы случайных величин в заданную область?

5. Как выражается плотность вероятностей каждой случайной величины, входящей в систему через плотность вероятностей системы?

6. Дать определение условных плотностей вероятностей системы случайных величин и указать, как они связаны с плотностями распределения системы и каждой случайной величины, входящей в систему.

7. Какие две величины называются независимыми? зависимыми?

8. Запишите необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин.

9. Что называется корреляционным моментом? коэффициентом корреляции двух случайных величин? Указать область изменения значений коэффициентов корреляции.

10. Определить понятия условных математических ожиданий и дисперсии системы двух случайных величин.

11. Что такое линии регрессии системы двух случайных величин?

12. Чему равен коэффициент корреляции системы двух случайных величин?

13. Какие случайные величины называются некоррелированными?

14. Следует ли в общем случае из некоррелированности независимость случайных величин?

15. Какие числовые характеристики могут охарактеризовать систему нескольких случайных величин.

16. Что называют корреляционной и нормированной корреляционной матрицей системы нескольких случайных величин?

17. Записать выражение плотности вероятностей нормально распределенной системы двух непрерывных случайных величин..

18. Какое простое условие независимости двух случайных величин будет у нормально распределенной системы?

19. Привести формулу для вероятности попадания в заданный прямоугольник со сторонами, параллельным осям координат, для нормально распределенной системы.

20. Записать для условных плотностей вероятности, математических ожиданий и дисперсий, для нормально распределенной системы.

21. Рассмотреть линии регрессии нормально распределенной системы и проанализировать их характер расположения в зависимости от величины коэффициента корреляции.

22. Что такое эллипсы рассеивания для нормально распределенной системы?

23. Привести формулу для дисперсии суммы зависимых случайных величин.

Примеры решения задач к части