2.5. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока.

Формулировки законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависят от способа изображения синусоидальных величин. При аналитическом их описании и при изображении в декартовых координатах формулировки законов Кирхгофа для мгновенных значений ЭДС, напряжений и токов совпадают с формулировками, приведенными в разделе 1.6 для цепей постоянного тока.

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в узле равна нулю.

Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме мгновенных значений напряжений в том же контуре.

При изображении синусоидальных величин вращающимися векторами на векторной диаграмме производится сложение векторов, поэтому в формулировках законов Кирхгофа слово “алгебраическая“ заменяется на “геометрическая”.

Геометрическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.

Геометрическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна геометрической сумме падений напряжений в том же контуре.

При комплексной записи синусоидальных величин геометрическое сложение векторов заменяется алгебраическими действиями над комплексными числами этих векторов, поэтому в формулировках законов Кирхгофа появляется термин “алгебраическая сумма комплексов”.

Алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узле равна нулю.

Алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений напряжений в том же контуре.

2.6. Резистивный элемент в цепи синусоидального тока.

Пусть в цепи рис. 2.7 действует синусоидальное напряжение

(2.17)

или в комплексной форме

. (2.18)

Тогда, в соответствии с законом Ома, мгновенное значение тока в цепи

или

(2.19)

или в комплексной форме

.

(2.20)

Сравнивая 2.17 и 2.19 видно, что ток в идеальной резистивной цепи, так же как и напряжение, изменяется по синусоидальному закону и совпадает с напряжением по фазе. Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением

.

(2.21)

Поделив обе части уравнения 2.20 на получим

,

(2.22)

а поделив 2.18 на 2.20 получим

.

(2.23)

Выражения 2.21, 2.22 и 2.23 представляют собой закон Ома для цепи с идеальным резистивным элементом соответственно для амплитудных, действующих значений тока и напряжения и в комплексной форме.

Выражения 2.18 и 2.20 позволяют построить векторную диаграмму тока и напряжения рис. 2.8.

Мгновенное значение мощности этой цепи равно произведению мгновенных значений тока и напряжения

(2.24)

т.е. мгновенная мощность в идеальной резистивной цепи - есть величина синусоидальная и всегда остается положительной. Это означает, что при любом направлении тока в цепи энергия поступает от источника в приемник, где необратимо преобразуется в другой вид.

Среднее за период значение мощности

.

После интегрирования получим

(2.25)

т.е. среднее за период значение мощности равно произведению действующих значений тока и напряжения.