35_36 / метод_1 / часть_5

5. Электрические цепи несинусоидального тока.

Периодическими несинусоидальными величинами называются любые электрические величины, которые изменяются во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Источников энергии с абсолютно постоянными или синусоидальными ЭДС, строго говоря, не существует. Но если отклонения от постоянства или синусоидальности малы, то они не учитываются. В тех случаях, когда эти отклонения значительны, рассмотренные в разделах 1 и 2 методы анализа цепей применять нельзя.

5.1. Причины возникновения несинусоидальных токов.

Причинами возникновения несинусоидальных токов являются:

1. Несовершенство источников постоянных или синусоидальных ЭДС;

2. Подключение к электрической цепи источников несинусоидальных напряжений специальной формы. В практике самыми распространенными источниками такого типа являются релаксационные генераторы пилообразного напряжения. В промышленной электронике используются и другие типы релаксационных генераторов – мультивибраторы, которые создают напряжения пилообразной формы;

3. Нелинейные элементы, включаемые в цепь синусоидального тока. Наиболее распространенными цепями такого рода являются цепи, содержащие полупроводниковые диоды.

5.2. Способы изображения периодических

несинусоидальных величин.

Существует два способа изображения:

1. Графический – наиболее наглядный способ, когда в прямоугольной системе координат строятся графики мгновенных значений величин в зависимости от времени;

2. Аналитический – заключается в разложении периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье, который состоит из постоянной, не зависящей от времени, составляющей и бесконечного числа гармонических составляющих, называемых гармониками.

В практических расчетах редко используют более пяти членов ряда Фурье. В общем случае периодическое несинусоидальное напряжение можно представить следующим рядом:

,

(5.1)

где U₀ – постоянная составляющая;

– первая или основная гармоника, которая имеет период и, который равен периоду несинусоидального напряжения;

– высшие гармоники;

U_1m U_Km – амплитуды гармоник;

φ₁ φ_К – начальные фазы гармоник.

Конкретный вид ряда Фурье для большинства периодических несинусоидальных напряжений используемых в электротехнике можно найти в соответствующих справочниках по математике.

Для характеристики содержания переменной составляющей в несинусоидальной величине служит коэффициент пульсаций:

.

(5.2)

Амплитуды и начальные фазы гармоник определяют спектральный состав несинусоидальной кривой, который задается в виде диаграмм амплитудно-частотного и фазо-частотного спектров (рис. 5.1 и 5.2).

На диаграмме амплитудно-частотного спектра откладывают относительные значения постоянной составляющей, а также относительные значения амплитуд гармоник.

5.3. Действующие значения несинусоидальных величин.

Действующее значение любого периодического напряжения, есть среднеквадратичное его значение за период, т.е.

.

(5.3)

Если несинусоидальное напряжение изменяется по закону

,

тогда после подставления в 5.3 и интегрирования получим

,

(5.4)

т.е. действующее значение несинусоидального напряжения равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник несинусоидального напряжения.

Действующее значение напряжения каждой гармоники

.

Аналогичные выражения могут быть получены и для токов

.

(5.5)

Действующие значения токов и напряжений могут быть измерены приборами электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

5.4. Средние значения несинусоидальных электрических величин.

Различают три средних значения несинусоидальных величин:

1. Среднее арифметическое;

2. Среднее по модулю;

3. Среднее максимальное за половину периода.

Среднее арифметическое за период значение несинусоидальной величины определяется как

,

(5.6)

т.е. равно ее постоянной составляющей.

Среднее значение по модулю

.

(5.7)

Среднее значение по модулю всегда больше или равно среднему арифметическому значению.

Среднее максимальное за половину периода значение определяется соотношением

.

(5.8)

Т.к. U_{ср. max.} зависит от выбранного временного интервала, то при его вычислении нижний предел интегрирования выбирают таким, чтобы интеграл был максимальным. Среднее по модулю значения тока и напряжения можно измерить приборами выпрямительной системы. Постоянную составляющую или среднеарифметическое значение можно измерить приборами магнитоэлектрической системы.

5.5. Мощность цепи несинусоидального тока.

Активная мощность цепи несинусоидального тока, также как и в цепи синусоидального тока – есть среднее значение мгновенной мощности за период, т.е.

,

(5.9)

а т.к. и

, то после подстановки в 5.9 и интегрирования получим

,

где φ_К – угол сдвига фаз между током и напряжением «k» гармоники;

– активная мощность «k» гармоники;

– мощность постоянной составляющей.

.

(5.10)

Следовательно, активная мощность при несинусоидальном токе равна сумме мощностей постоянной составляющей и отдельных гармоник.

Реактивная мощность определяется аналогично

,

(5.11)

т.е. реактивная мощность цепи несинусоидального тока равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех гармоник.

Полная мощность цепи несинусоидального тока, также как и полная мощность цепи синусоидального тока равна произведению действующих значений несинусоидальных напряжений и токов, т.е.

.

Учитывая 5.4 и 5.5

.

(5.12)

Необходимо отметить, что в цепях несинусоидального тока, в отличие от цепи синусоидального тока

.

5.6. Коэффициенты амплитуды, формы и искажения.

Эти коэффициенты введены для оценки отклонения формы несинусоидальных кривых тока и напряжения от синусоиды.

Коэффициент амплитуды – отношение максимального значения несинусоидальной величины к действующему, т.е.

.

(5.13)

У идеальной синусоидальной величины это отношение равно 1,41.

Коэффициент формы – отношение действующего значения несинусоидальной величины к ее среднему по модулю или среднему максимальному за половину периода, т.е.

.

(5.14)

Для синусоидальных величин это отношение равно 1,11.

Коэффициент искажения – отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению несинусоидальной величины, т.е.

.

(5.15)

5.7. Понятие о расчете линейных электрических цепей

с несинусоидальными токами.

Расчет таких цепей ведется по методу наложения, отдельно для постоянной составляющей и гармоник. При вычислении постоянной составляющей тока следует помнить, что индуктивное сопротивление постоянному току равно нулю. Емкостное сопротивление постоянному току бесконечно велико. Поэтому при расчете постоянной составляющей тока индуктивные ветви цепи надо закорачивать, а емкостные исключать (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Расчетная цепь (а) и ее эквивалентная схема (б) для

постоянной составляющей тока

При расчете гармонических составляющих, пользуются символическим методом. При этом необходимо учитывать, что сопротивление индуктивных элементов растет с увеличением номера гармоник, а сопротивление емкостных элементов уменьшается.

После расчета всех составляющих производится наложение мгновенных значений, и определяются действующие значения токов и напряжений.