книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 401

можно убедиться, что уравнение (38) совпадает с дифференциальным уравнением (39), если положить

т\ = т 2 + г \ \

в! ,= ® !т л 4 [Л* + 2"'2 (г% - ?0] ( ' = - ^ ) •

Следовательно, если известна безразмерная частота со** свободных колебаний незагруженной прямоугольной пластинки с размерами а1+, причем соответствующая форма колебаний имеет т полуволн в направлении оси х х, то частота колебаний загруженной пластинки со*

+2 + ^ ) ) 2 (40)

Входящие в формулу (40) постоянные А, В, С для различных гра­ ничных условий см. в табл. 6.

Влияние деформации сдвига и инерции вращения. Выше были ис­ пользованы уравнения и граничные условия классической теории изгиба плит, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява. Предпосылки этой теории оказываются несправедливыми для высокочастотных коле­ баний, когда длина полуволн соответствующих форм колебаний сопо­ ставима с толщиной пластины. Дифференциальные уравнения изгибных

402 Колебания пластинок

колебаний пластинки, полученные на основе отказа от гипотезы Кирх- гофа-Лява различными авторами, могут быть записан^ в следующей общей форме в декартовой системе координат х хх 2г [15]:

2

1х_

2

2

Выражения для компонентов смещения иг и и2 в направлении х1 и х2 соответственно имеют вид

(41)

Формулы (41) можно рассматривать как разложение компонентов смещения иг, и2 по ортогональным функциям по координате г. Удер­ жано два члена — первый, учитывающий осредненный поворот, и вто­ рой, учитывающий искривление нормального элемента.

Напряжения в колеблющейся пластинке определяют по формулам

Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 403

Изгибающие и крутящий моменты, а также перерезывающие силы находят по формумам

М ,

РЕА

С*2 — I

2(\ + ч)

Функции Р (г), / (г) и /х (г) связаны между собой формулами

Параметр а равен либо нулю (это соответствует пренебрежению поперечным нормальным напряжением аз3), либо единице. Наиболее

употребительным для Р является значение — , допускающее

Нелинейность, начальные усилил, инерция вращения, сдвиг 405

При пренебрежении инерцией вращения нормальны эта же частота определяется формулой

рсо2 = О

V)

Из решения трехмерной задачи теории упругости вытекает, что при фиксированных значениях т1} т2 существует бесчисленное мно­ жество частот. Результату теории, основанной на гипотезе КирхгофаЛява, соответствует первый отличный от нуля корень уравнения частот

по классической теории, уточненным теориям и трехмерной теории

406 Колебания пластинок

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ПЛАСТИНОК НА КОЛЕБАНИЯ

Идея метода. Здесь приведены общие сведения об асимптотическом методе, позволяющем исследовать частоты и формы свободных колеба­ ний упругих тел при достаточно высоких волновых числах (подробнее см. работы [4—7]).

Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свобод­ ных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и попра­ вочных решений, которые называют динамическими краевыми эффек­ тами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям на соответствующей гра­ нице. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментиых

ибезмоментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких

иневязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближенно. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ргбер. Это типично и для дру­ гих методов, использующих идею краевого эффекта.

Динамический краевой аффект в пластинках. Применим асимптоти­

ческий метод к однопролетным и многопролетным прямоугольным в плане пластинкам. При этом получим асимптотическое решение задач, точное решение которых неизвестно, а также задач, точное решение которых слишком громоздко.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластинки постоянной толщины можно представить в виде

Следуя асимптотическому методу, порождающее (внутреннее) реше­ ние нужно искать в виде

где ^ и кг — неизвестные волновые числа; ^ и | 2 — фазы порожда­ ющего решения. Это выражение удовлетворяет уравнению (42) и соот­ ветствует частоте

Но выражение (43), вообще говоря, не удовлетворяет краевым усло­ виям. Исключением являются краевые условия Навье (см. стр. 375).

ные целые числа. Для подчинения краевым условиям мы располагаем лишь четырьмя постоянными ки А2, | 1§ $2. При определенном выборе

ское решение краевой задачи для определенных условий на контуре, справедливое в области, достаточно удаленной от контура пластинки. Внутренняя область и область краевых эффектов в колеблющейся пла­ стинке показаны на рис. 9.

Решение вблизи границы хг = 0 удобно искать в виде

Подставив выражение (45) в уравнение (42), после использования выражения (44) для собственной частоты можно получить дифферен­ циальное уравнение

№1У — 2к\\У" —

~(2к\к1 + к\)'Х' = 0. (46)

Соответствующее ему ха­ рактеристическое уравнение имеет два чисто мнимых и два действительных корня:

г\,г = ±1кй

Мнимые корни соответствуют порождающему решению (43), действи­ тельные корни — корректирующим решениям. Следовательно, в пла­ стинах всегда имеет место невырожденный неосциллирующий динами­

Если рассматривается граница хх — 0, то последний член должен быть отброшен, так как он неограниченно возрастает с увеличением хх. Среди оставшихся членов первые два полностью соответствуют порожда­ ющему решению (43), а первые три члена, взятые вместе

описывают динамический краевой эффект в пограничной зоне. Пользуясь выражением (47), можно оценить ширину области дина­

мического краевого эффекта. Так как постоянная С по порядку

получаем е~л =0,0432. Следовательно, ширина области динамиче­ ского краевого эффекта не превышает длины полуволны.

Условия склеивания. Для каждой стороны пластинки можно по­ строить решения типа (47). Удовлетворяя соответствующим граничным условиям, можно выразить постоянные С и фазы | через волновые числа кх и к2. Требование, чтобы с точностью до динамических краевых эффектов все четыре решения совпадали, сводится к условию, чтобы фазовые постоянные, найденные для двух противоположных сторон, отличались на число, кратное л. Это дает условия склеивания

где тх, т о — целые числа или нуль. Функции иа$ (кх, к 2) равны тан­ генсам фазовых постоянных | а, найденных из граничных условий лга = 0 и ха = аа соответственно, и, следовательно, зависят только от гранич­ ных условий. Если на контуре пластинки до = 0, а функции агс1{* ф понимают в смысле главных значений, то числа тг и т2 пробегают все положительные целые значения, упорядочивая так спектр собствен­ ных частот. Значения тг = т2 = 1 соответствуют при этом основной форме колебаний. В случае, если одна или несколько сторон пластинки свободны или упруго оперты, то для определения чисел тх и /п2, соот­ ветствующих основной частоте, требуется дополнительное исследова­ ние. Следует иметь в виду, что асимптотический метод пригоден, вообще говоря, лишь для достаточно высоких форм колебаний.

В качестве примера вычислим функцию ии = Рх {кг, к 2) для заде­

1_

*1 С05 А ,|, — (*2 + 2А|) 2 С = 0;

отсюда