Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Колебания пластинок других форм

391

Выражение для оператора Лапласа Д будет

Д = зес2 а / ---- 2 5Ша — ---------		.
\Э 6?	эе, ев,	а й /

При малых углах (а ^ 15-^30°) в первом приближении для формы колебаний можно положить

и>,пп=!тпГ{,п (Е,) Г ? ( У .

где р\^ — балочные функции для соответствующих краевых условий. Формула Рэлея-Ритца дает приближенное выражение для частоты

и>тп =	_а ( Р у 1 А % <		АП*
	л2 зес	1а?	+ 4‘ +
	\ Рл /
+ - 4 т [ ^ й ,Э',2) + (1 - V) С<*>С« +			2 Лп» «СЙ>С® -
а\а2			_1_

-	2 5\|по(о<!»г(2) + о \|: 2>е»>)]

Значения Ат, Вт и Ст см. в табл. 6. Значения постоянных й т и Ет для различных краевых условий приведены в табл. 10.

10. Значения постоянных Б т н Ет

Граничные	Постоянная			т
условия	Постоянная	1	2	3	4
		1	2	3	4
5—С	Б	—8,1390	—25,696	—52,130	—89.174
5—С	Е	0	0	0	0
5—Р	Б	0,1274	0,0706	0,0490	0,0374
5—Р	Е	0,9991	0,9998	1,0000	1,0004
С—С	Б	—0,79800	30,909	58,783	161,97
С—С	Е	0	0	0	0
С—Р	Б	6,8020	—44,062	121,16	6647,0
С—Р	Е	8,7112	1,9281	2,0032	1,9998

Более высокие приближения по методу Рэлея-Ритца для параметра частоты

со = а^со

392			Колебания пластинок
		11. Низшие частоты		ш,, =<оа* соа* а (	* )	#
	ромбовидной пластинки при различных граничных условиях
Граничные условия				а°
Граничные условия			0	15	30	■15
			0	15	30	■15
-			36,11	36,67	38,16	40,08
			36,11	36,67	38,16	40,08
*	а		73,74	74,76	77,48	81,06
*	а		108,85	111,43	118,19	126,81
27			31,95	32,54	34,09	36,11
			63,66	64,76	67,68	71,47
			71,43	72,40	75,04	78,46
ЁУ			27,19	27,84	29,52	31,68
			60,69	61.73	64,48	68,06
			93,13	95.74	102,59	111,15
1*#г		"/	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	8,547	8,278	7,643	6,88
У	о У

12. Низшая частота ш* = ша* (^-)2 трапецеидальной консольной пластины

	1			*
	I		1	*
	I		1
а°	0),	а°		со*
О	3,533	0		3,533
9	3,706	6		3,718
18	3,910	12		4,153
27	4,243	18		4,750
36	4,822	24		5,995

Колебания пластинок других форм	393
для ромбовидной пластины получены Колом и Кадамбом	[32]. Резуль

таты вычислений ш* при V = 0,3 и при различных углах а, а также ре зультаты вычислений Бартона [22] для консольной пластины (V = 0,3) приведены в табл. 11.

Пластины, имеющие в плане фор му трапеции. Частоты и формы сво бодных колебаний могут быть най дены методом Рэлея-Ритца. Резуль

таты вычислений	Кадамбом и др.					[26] безразмерной частоты со* для
консольной трапецеидальной					пластинки даны в табл.				12.
Колебания треугольных пластин. В этом случае удобен метод Рнтца.
В системе координат уг, у« (рис.						3)	соответствующая		система урав
нений будет	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
д	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
<Эс„	] ] Г 1		(	ду\	)		У~ ду\	ду1 ду..
									д~и)
+ г Г [ ^ + “ 2(1										ду\ +
дю	д2ьи								дт)
Ч~2^ —— •—~т									Ж	4-
ду2	ду\	-	7	\| р й					Ж
		-	7	\| р й

+ №+	+ 7 [2{ьА+ “2(1~ ^ ( ж У +
+ 4 ( $ + а \ )	ди)
	~дуУ
	\| &Чх йуг = 0

Уч) .

а2 П1

Результаты вычислений Андерсеном [21] безразмерной частоты ю* свободных колебаний консольной пластинки, имеющей в плане форму равнобедренного (рис. 4, а) или форму прямоугольного (рис. 4, б) треугольника, приведены в табл. 13.

394	Колебания пластинок
18.	Частоты й>* = (Ш21 ( " ^ ) ^ ** ^ ормы СВободных колебаний консольной
	треугольной пластинки при различных отношениях а = ——

Форма колебаний

Г ::> О ::--

ГгТ :•••'

Форма колебаний

г - - .

	а
2	4	\|	8	14
7,149	7,122		7,080	7,068
30,803	30,718		30,654	30,638
61,131	90,105		157,70	265,98
148,8	269,4		493,4	863,6
	а
2	4			7
6,887	6,617			6,897

25,40

28,80

30,28

К более точным результатам приводит использованное Кристен сеном [27] приближенное представление пластинки как системы орто

гонально расположенных балок. Результаты вычислений безразмерной частоты

(о* = Ма» ( ^ ) 2

для консольной пластинки, являющейся в плане прямоугольным тре угольником, приведены в табл. 14. Для сравнения приведены резуль

таты эксперимента и вычисления по методу Ритца (использовано первое приближение).

Колебания пластинок других форм						395
			1
14. Приведенные частоты <а* = ша*			2	колебаний
пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника (а1= а 3 = о)
Метод определения			Номер формы
Метод определения	1	2 \|	3	4	5	6
	1	2 \|	3	4	5	6
Эксперимент...................	4,17	16,4	23.0	39,3	53,3	69,9
Разбиение на систему ба	4,35	16,8	23.0	38,9	53,6	60,3
лок ................	4,42	16,9	23,7	43,5
Метод Рэлея-Рнтца	4,42	16,9	23,7	43,5

Клейном [33] рассмотрены колебания треугольной пластин опертой по контуру.

Эллиптическая пластинка. Эллиптические координаты определя1

как два корня квадратного уравнения относительно					5:
	з — е1		= 1
	з — е1
Вид параметров Ламе упрощается, если				ввести новые		переменные
у1, у2 по формулам	1	___и	— (е1	е2)
У1	1	___и	— (е1	е2)
У1	= -	агей ■	е 1 — е 2
			е 1 — е 2
У2 =		1	250 — (<?1 е2)
У2 =	---- 2~ агссо$		ех—
			ех—
Параметры Ламе будут равны один другому:
н\ = н\ = н 1=			(сН 2ух — сов 2уг).
Линии у1 = сопз!	представляют		собой	эллипсы,	а	линии у2 =

= сопз1 — две ветви гиперболы. Дифференциальное уравнение колеба ний пластинки постоянной толщины в эллиптических координатах будет

о д	Да, +	рй	=	Ц-	(30)
.	1	/ а8	, у	\

+ в $ у

Моменты Мц , Мгг, Л112 и перерезывающие силы:

396	Колебания пластинок
..	О Г а2аи .	ЗЧя
		щ

Общее решение уравнения (30) имеет вид

00
№ = ^	[ А \ т Се/л (^х,			\|) сещ (1/2»		+	Агт Сет (У ь			^
т = 0
			00
X се#* (//г» — &)1 “Ь			2	[^зт	(#1 »&) 5вт (//а»				Н“ ^4/и ^
			т = 1
X 5вм (!/г»	— \|)5еГ«((/2,		— 1)1 -\|-		2 Г®1/пРеут (^1* 5)					^ 2' ^
					т=0
+ В,», Рек,„ (&,		- \| ) с е т ((/2,			- 5 )	+	2)	[Вз т 0еуш (Л, 5) X
							т = 1				(31)
X зет (//2,		\|) “г # 4/л*Зект О/ь				— &)5®т(1/2»				1)Ь	(31)
X зет (//2,		\|) “г # 4/л*Зект О/ь				— &)5®т(1/2»				1)Ь
					\|десьСет , сет , 5ет » $ет» Реут»
					Рект ,			Оеут,	С е к т — обычные
					I	модифицированные функции

^атье	порядка т;
6 =	4 -(« 1 — «г)а ® ^ Т Т -
Для пластинок без центрального
отверстия постоянные				Вьп сле
дует	положить равными				нулю.
Уравнение частот для эллип
тической пластинки,				защемлен
ной по контуру, имеет вид
[Сеш (Уш. \|)С е'(У ю . — I ) — 1С 4 ( у ш,	I) Сет	(</10,	— \|) ]		X
X [5 е„,(^о . $) Зет (Ую- - I ) — Ь*п (Ую. I ) Зет		(Ую>	— ?)]		= 0 .
					(32)

Первый корень уравнения (32) для эллиптических пластинок с полу осями а и Ь и различным эксцентрицитетом е дан на графике рис. 5 (ре-

Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг, 397

зультаты Шибаока [36]). Коллатц [13] методом Ритца б первом прибли жении для основной частоты колебаний получил выражение

10ЕА	/ ±	+ _ 2_ ,	М
Зр (1 - V 2)	( 4	3<%а\	4 )

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ, НАЧАЛЬНЫХ УСИЛИЙ В СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Свободные колебания с большими амплитудами прямоугольной пла стины. В декартовой системе координат дифференциальные уравнения нелинейных колебаний пластинки (16) принимают вид

ОД Дщ)—		д2и)	д2Р		+ 2	д2и>	д2Р
		дх\	дх*			дх1дх2	дх1дх2
	д2ьи		д2Р	4-рЛ		д2ш			(33)
	дх;		дх[			~ ж ~ ч;
1	+	"Т Т		д2ы)		/ д2ьию	\2	_	0.
ЕН				дх\	~ \ д х 1дх2)			~
		д х 1

Первое уравнение системы (33) является дифференциальным уравне нием движения, второе — уравнением совместности деформаций.

Граничные условия для прогибов, перерезывающих сил и моментов совпадают с рассмотренными на стр. 373. Кроме того, должны быть поставлены по два условия на каждом краю для функции напряжений Р. Простейшими являются условия для свободного края хг = аг:

д'Р	д2Р		0	1*1 = °1).
0;	дх1 дх2	=	0	1*1 = °1).
дхо	дх1 дх2

а также для края с заданными усилиями

д2Р жг.	д2Р
• = Л Г ,11»	дх1 дх2 — — N12 (*1 — %) •
<3*2

Если на контуре заданы перемещения, то удобнее вместо уравне ний (33) использовать дифференциальные уравнения

,	1 я =	0,	дх1 '	_ 0.
дхх	дх2	’	дх1 '	дх2
ОД Дад —			д2ш	д2ш
ОД Дад —	дх\		2М12 дхх дх2	дх!	(34)
	дх\		2М12 дхх дх2	дх!	(34)

д2ии

+ рЛ дР

398	Колебания пластинок
совместно с соотношениями упругости
№ ц = ^	^.2 ( е 11 Ч ~ ^ 2 2 ) ’	^ 2 2 — ] ___ ^ 2 ( € 22 Ч ~ ^ Е п )»

___ 1^		/	дих	ди2 .	дно	дш \
612 ~	2	\	дх2	дхг	дхх ’	дх2 )	’
При исследовании	свободных			колебаний		(<? =	0)	прямоугольной

(Дц а2) пластинки с опертым неподвижным контуром удобно искать

решение в виде разложения по степеням малого параметра							б:
	к. = ир б 2 +		«\|4,б4 + --* ;
	и) =	+	а>^б3 + • • • •
Для определения и\к\		можно применить метод Б. Г. Галеркина
в форме П. Ф. Папковича. Пусть в первом приближении
	о/1) = 02 Ц) 5Ш			зш	,
				а1	а2
	А.					/	1у	_1_
где Р =	А.					/	1у	\	2
где Р =	—-----безразмерная амплитуда колебаний; ^ =					\| ------г		1
безразмерное время.						I рК		}
безразмерное время.
Тогда	интегрирование	первых		двух	уравнений	системы			(34)
дает

Далее следует подставить выражения (35) в левую часть последнего

уравнения системы (34), умножить результат на $ш	з т
а*	а2

и проинтегрировать по площади пластины.

Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 399

В результате получается уравнение для определения функции г (^):

- 0 - + я* ( 1 + г2? г + ЗР2п4г’

(1 + г*) + V/-2 ] = 0 . (35а)

Результаты вычисления периода колебаний т в зависимости от без размерной амплитуды колебаний р показаны на рис. 6, а отношение т| максимального полного ия к максимальному напряжению изгиба в зависимости от относи тельной амплитуды колебаний —на

рис. 7.

Эта задача рассмотрена Ху НанЧу и Германом [29].

Влияние начальных усилий в срединной плоскости пластинки. Пусть в плоскости пластинки действуют усилия Ии , Л/12, /У22. Тогда следует воспользоваться дифференциальными уравнениями (10) совместно с выражениями (11), (12). В декартовой системе координат уравнение колебаний будет

гла а ,	д-но	д	дьи .	..	дна \
ОД Д а + рЛ		= - ж - ( ^ п	+ Н 1 2 - ^ - ) +
+	д	( .г дна . ..	дна	\
+	дх2

Если усилия Л^и, N22 И Иц удовлетворяют уравнениям

дЫхх	.	дИ12	0;	М гг	,	п
дх!	'	дх±		дхх	+	дхй "" ’

400	Колебания пластиной.
то дифференциальное уравнение колебаний запишется так:
д2и)	, д2и> ,	2Л^	д2т , Ж7	д2т	(36)
1)Д Ьм) рН ■	= Н ц — 2 ' +		дхг дх2	й*2
<э/2	дх\

Пусть в прямоугольной пластинке, опертой по контуру (см. рис. 2), усилия N1 1 и N22 постоянны, а усилие равно нулю. Тогда свободные формы колебаний будут иметь вид

№тп ~ 1тп 5Й1 гппх1 51П плх2

Частота колебаний со в этом случае

ш = л 2

(37)

( 2пЮ ) '

Из формулы (37) вытекает, что растягивающие усилия повышают частоту собственных колебаний, сжимающие — снижают.

Если хотя бы одноиз усилий # ц , М22 отрицательно и достаточно велико по абсолютной величине, то часть частот, определяемых по формуле (37), может быть равна нулю или мнимой величине. Амплитуды соответствующих колебаний будут возрастать неограниченно. Это свя зано с достижением или превышением критического значения по Эйлеру (пластинка теряет устойчивость).

^Пусть две противоположные стороны (л^ = 0, х± = аг) прямоуголь ной пластинки оперты, а на двух других заданы произвольные краевые условия.

Решение дифференциального уравнения (36) при Д^12= 0; №ц = = сопэ1; N22 = соп5{ удобно искать в виде

В» = / (-яга)81П ■ЛтХ1 .

а 1

Функция [ должна удовлетворять уравнению

^ _ ^ ( г а Ч рЧг) Г +	=	(38)
		(38)

Сопоставляя уравнение (38) с соответствующим уравнением при

2 л а				/ = 0,	(39)
■ Т - и '/ Ч - т -1 т 4 - ^			л 4
а\ '	а\ \	*

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.5 Mб15Прочность и разрушение материалов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб2Прочность и устойчивость статически неопределимых рам..pdf
#
12.11.202311.03 Mб33Прочность конструкций при малоцикловом нагружении..pdf
#
12.11.20239.81 Mб0Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях..pdf
#
12.11.202315.87 Mб22Прочность сварных соединений при переменных нагрузках..pdf
#
13.11.202324.79 Mб24Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3.pdf
#
12.11.20233.68 Mб6Прощай, Россия! Суждение научного инженера наедине с собой..pdf
#
12.11.202317.75 Mб18Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения..pdf
#
13.11.202324.47 Mб3Психоаналитические теории личности. Зигмунд Фрейд и постфрейдисты.pdf
#
12.11.2023642.14 Кб2Психология безопасности труда..pdf
#
20.11.20231.99 Mб3Психология делового общения.-1.pdf