книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов
..pdf'^ебоианне (15) представляет собой формулировку п координа тах 1,г. закола сохранения массы:
|
|
= О, |
|
1=0 |
|
где символвди т ? обозначены выражения |
||
п,о |
= |
доГ ( у/^Во ) I |
= ^ ( \ / 7 # л ) |
+ |
V {\/Ч в 1 У 1 ) (• = >..... * ) - |
При записи выражения для |
учтен факт равенства, нулю вектора |
|
''о- Величины ш* представляют собоЛ скорости производства массы соответствующего компонента смеси в точках среды. Нас интересует случаи отсутствия химических реакции и материале. Поэтому долее ми будем полагать все величины т] равными нулю. Но это нс что иное, как требование выполнения равенств
ж |
= |
|
^ |
) |
= 0 - |
^ |
+ |
V |
(« ?* ,* ) |
= |
|
|
= |
% 1 у / П * ) |
+ * •< |
\ ^ » « г ) = 0 . (»> о). (1Г) |
|
Величины р} — |
имеют физически Исмысл плотностей конти |
||||
нуумов п точках среды (бесконечно малых объемах)» двигающихся Имеете с деформируемым компонентом смеси. Условие (16) означает Зребошшкс независимости величины рд от времени I:
«; = у/Ц » = Й(г.) |
(18) |
Точки деформируемого континуума неподвижны в координатах, дви гающихся вместе с этим континуумом» и перераспределить спою мас су относительно указанных координат нс могут. В спою очередь вы ражения (17) представл»ют собой условия сохранения массы жидких компонент смеси.
Связь (14) с уметом законов сохранения массы (17), (18) ирщ,^ мает вид условия
1=0 |
X) уД1« ' V Ч - |
4=1 |
Т - < Е * /Б Ч д _ , -Ъ > = 0
С помощью тождества Пиона
V • |
Ч л -1) = 0 |
(19) |
и справедливого для любых тензоров Л и В равенства
V - (А • В) = (V А) В + А т V »
ома приводится к хорошо известному в механике ицду
*
Е а * | - ^ т Г ' - ’ Т = » . (20) «=а
Это уравнение движения среды. Символом Т обозначен тензор на пряжений, действующий в точках среды. Он складывается из на пряжений, действующих на компоненты смеси:
N
т |
= е |
т‘ • |
|
||
|
|
г=о |
|
|
|
Величины |
Лу,' |
|
* |
|
|
«ч = |
+ |
(21) |
|||
- ^ - |
V) • V V, |
||||
являются ускорениями соответствующих континуумов. Покажем это. Ускорение 1-го компонента смеси вычисляется по формуле
При записи скорости движения у; в виде функции аргументов 1,1*. с утегом (0) выражение (22) преобразуется к виду
|
|
ву,({,г.) |
|
5г.(1,г?)|* |
|
|
- |
т |
5г. |
|
01 |
1. |
|
_ |
5 у , ( * , и |
5у,(«,1*,) |
|
_ |
дV^ |
|
|
01 |
5г. |
|
|
01 |
|
что и требовалось показ;г |
|
|
|
|
|
|
Вподя но01.1с оболгам |
|
|
|
|
|
|
|
Ь = Й * 1 - ( Ч |
Л |
' - ^ т , , |
(23) |
||
уравнение движения среды (20) можно переписать в виде |
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Е '< = |
0 • |
|
|
|
|
|
1 =0 |
|
|
|
|
Заинсимости (23) представляют собоИ законы двнжени |
|
|||||
тов смеси |
= |
(Ч л Т 1 |
• V Т| |
+ Г( , |
(24) |
|
|
||||||
в которых величины Г, имеют смысл сил взаимодействия ее компо нентов друг с другом.
На основании равенств (14), (15), с учетом законов сохранения массы (17), (18) в зависимости (13) ненулевыми будут только следу ющие слагаемые:
ф = Е |
х / ' Г й ^ |
( « < + 5 К |
• V .-)) + |
с=о |
|
|
|
+ Е |
\ Д Г |
? ( « . + |
5(у ( * < ) ) - |
1=1
- 1Р - ( ч/ « « я - 1 Т . уо) + 7 - ( ' / Ч Ч * - , ч ) -
- Ч - ф у / П а п ' - Т , ( у , - у 0) ) = О
Выпнслциос выражение можно дальше упростить, раскрывая произ водную по времени от свертки V <V, используя условие (19}, опреде ление (21) к тождество
|
У - ( А . уо) = (V |
А) • уо + А |
V у0 |
(25) |
||||
В результате получаем связь |
|
|
|
|
|
|||
Е |
* ( ^ |
+ V , - . * * ) |
+ 5 > « , |
V , . - |
|
|||
|
|
|
|
|
г=о |
|
|
|
|
- |
( а ЛТ) " 1- - 7 Т . у 0 |
- ( р я - ' |
т ) |
V » , |
- |
||
|
- Е Ч л " 1 т <• • 7 ^ » - г о ) т - |
|
|
|
||||
|
|
»=1 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
Е ( |
<*П Т Г ‘ |
|
( V , - Г о ) |
+ |
|
|
|
+ |
(ЧлТ)~1 • • V *| |
= |
о, |
|
|
|
|
которая с помощью условий (20), (24) приводится к виду |
|
|||||||
Е * ( т ? + * $ * ) + Е г- |
|
|
|
|||||
- |
( Ч д - ' - т ) - - Ч у * |
- |
Е <*л"1-Т < ,‘ ^ ( ,г«--»*)Т + |
|||||
|
' |
|
1 |
|
.*=1 |
|
|
|
+ ( Р л т Г 1 - ? ч = 0 . |
|
|
|
|
||||
Используя преобразование |
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ Ув |
— От. \Д11 |
|
|
|
|
|
н обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ . |
= |
|
|
|
|
|
(М> |
запишем окончательную формулировку закона сохранения энергии:
|
|
|
О п - |
- т |
^ |
д л- ‘ - т , - V (V* - у . ) 7’ |
+ |
+ (Р«'Г)_1 • • 7 Ч |
= 0 - |
(27) |
|
Для получекни дальнейших лыподов требуется использование вто рого закона термодинамики. Рассмотрим его.
2.3.Второй закон термодинамики кк его елвдетиия
Вес процессы в системе возможны только при самопроизволь ном роете или неизменности объемной плотности энтропии смеси. Уменьшение ее происходит лишь лод действием окружающей сре ды (за счет отвода из материала тепла). Мы используем далее в качестве формулировки второго закона термодинамики неравенство Клаузиуса — Дгагема
где *,• — массовая плотность энтропии мт> континуума; 0 — темпера тура смеси. Естественно, что это неравенство должно выполняться для любого фикс проваиного объема V , Следовательно, справддли- № дифференциальная его формулировка (получаемая с помощью формулы Остроградского — Гаусса):
Урапкепие (28) записано и перемспных 1,г. Нашей целью является формулировка бссх уравнений в координатах <,1%. Перейти к ним можно с помощью формул (5), (б):
ГУ |
ГГ |
|
|
|
ЛГ |
у/Ц&*1 С^/Г1 ■ (у1“ Уо)) + |
||
^ |
( ^ / ^ 5 2 |
+ |
^ |
• ( 5 ^ |
||||
|
|
+ |
V |
|
\ Щ |
^ д |
> 0 . |
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
Зшгсигы сохранения массы (17), (18) и обозначен не (7) |
позволяют |
|||||||
прообразовать полученное неравенство |
|
|
||||||
5 2 |
-§[ + |
5 2 |
> /ч л 'уг V «I + |
д V |
1 *ч) - |
|||
1=0 |
|
1—0 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
^ |
^ - Ч л " ' Ч > 0 . |
|
||||
Умножив его на температуру среды 0, разделив на выражение \/Ц н используя тождосию Пиола (19), приИдсм х окончательной фор мулировке:
Е |
» в ( ж + |
''* • * * ) + (Члт г * |
- |
^=0 |
у |
|
|
|
- |
I УО-СЗп-’ -ч > 0 . |
(29) |
Необходимые нам связи получены. С их помощью можно сфор мулировать требование термодинамической разумности уравнений, предлагаемых математическими моделями. Для э т о т вычтем нз закола сохранения энергии (27) ограничение (29).
1=0 |
1=0 |
N
+ 5 ] ^ *(у* - ^о) - Т • • Ол - Т • У/о -
/ X |У- //л а т ц ^ и к д т о р ц о элосглолерио.» л а т с р и я л е |
279 |
Ё Ч л~ 1 Т, |
V(V,- у.)т + 1 УО-<1Я" 1-Ч < 0 |
Г=1 |
^ |
С помощью ко][ЯТИя массопой плотности /< свободно!) энергии среды 1-го компонента смеси
/ < = с,- - 05,- |
(зо) |
осп нос термодинамическое иераненстпо преобразуется к виду |
|
Е « ( | |
+ *?- V /.) |
+ Е |
<**■( й + *?•■?*) + |
1=0 |
|
|'=0 |
|
N |
|
|
|
■УЕ Г< |
• ( * « - ' ' • ) |
- |
Т . - ЭТд-.УГо- - |
1=1 |
|
|
|
- Е <1/Г, Т) .уК -у0]т + |
|||
1^1 |
|
|
|
+ \ ^ 0 - 4 , Г 1 <1 < 0 . |
(31) |
||
Око должно выполняться для любого происходящего и материале процесса, Его мы и будем использовать в дальнейшем. 11а этом за к&пчниается нерпы!! этан построения математической модели. Кон кретизация се должна осуществляться применительно к определен ным классам материалов.
3.Математическая модель поведения пластификатора &неоднородно нагруженном эластомере
Рассмотрим меру упруго!! деформации Коши — Грика С.
С |
(32) |
Она представляет собоИ симметричныII положительныII тензор, т. е. 1) его правые собстасппые векторы д* являются одновременно и ле выми:
<з ■«* = В! о = (■*<* «.■)<>•> ; 2) собственные значения представляют собой исотри цательные чи
сла (обозначим их квадратами некоторых параметров А,); 3) соб ственные векторы 8| всегда могут быть нредстанлспы ортонормкрованной тройкой векторов, Обозначим символом О тензор поворота, переводящий базисные лекторы прямоугольной Декартовой системы координат С{ в ортоиормиропаппуютройку собственных векторов В)
тензора (3: |
|
В; = ° * е» |
(ЗД |
На основании сказанного, меру упругоИ деформации Коши — Грина С можно записать о виде выражения от се собственных значений А,2, тензора поворота О и базисных докторов с,:
<» = А,*2 = А,2 О фе,- -О7 (34)
а квадраты упругих удлинений вдоль главных осей А,-2 представить с помощью формул
А*2 = (е,с|)<1> О7 - С - О . |
(35) |
В даппой рабою рассматриваются материалы, плотности свобод ных энергий компонент которых /щ являются функциями темпера туры среды 0, характеристик се обратимых деформаций А,- и кон
центраций жидких компонент смеси |
Полагаем, что они |
|
имеют следующий вид: |
|
|
Л = Ае(0|РЬ”мРдг«Л],Л2>Аэ) . |
(36) |
|
Пол концентрациями жидких компонентов смеси подразумеваются выражения
=№
‘Р’ А й + - + /**«« В зависимости от физическое смысла констант 0} они могут иметь
значения объемной доли жидкого компонента, массовой доли, моль ной доли (отношение числа молекул данного вида к общему числу молекул в молом объеме) и т. и.
3.1. Изменении шлрпмотроп состояния упругой срсдос
Рассмотрим, как меняются по времени характеристики обрати мыхдеформаций А,. Продифференцируем равенство (35) но времени *. С помощью косвен ммстричкого тензора \У
- п г
но запишется ц виде
-
ЙС = (0.0,•)<!>.. ( № О т - С О + От ~ 0 +
+ 0 Т С-О 4 ^ ) =
д п = (<**)«> • • (\У ■А / с,с, + От - ■О +
+ А / <>;«». УГТ)
Правила свертки тензоров и кососимметричность тензора \У позво ляют упростить изученное выражение:
(^'"й г)< с> " (^•2с*С«)<1> • ‘ ^ + (<*•«•)<»> |
0 Г |
- О + |
= (АЛчс,)<|> .. У Г = (с;с1)<|> • От ~ |
- О . |
(37) |
Таким образом, задачА расшифровки закона изменения Л,- во време ни свелась к анализу поведения произнесло!! от тензора С.
Еще раз отметим, что иашеП целью является формулировка всех уравнении в координатах (,г,. Это касается я особенностей записи тензора О. Перейти к ис!1 позволяет связь
о |
= ± . = |
= |
- о |
О - 1 |
(38) |
^ |
0Г„ |
014 0Г„ 01'. 1 0 г ./ |
- Ч я |
|
|
Она справедлива, поскольку полагается позможнмм выражение искторов га и друг через друга и оно не зависит от времени 4:
г* = гй(г.), Г. = Г,(га).
В результате мера упругой деформации Коиш — Греша О предста вляется выражением
а = № |
/ ) - ' |
Р л ' Р я ' Р л " 1 |
От него нетрудно взять производную по времени I. Поскольку тензор не зависит от времени, искомая производная имеет вид
Я ® -- (ЯЮ лЛ )"1- - ^ - - < 3О / г ОЧ л ■' +I |
|
|
+ |
<*пТ ^ '* - Р / Г 1 |
НО) |
Изменим правую масть равенства (40), вкл( чкв о слагаемые свертку с единичным тензором:
Щ = (Р а7 ) - 1 - ( Р лМ Р я7) - ’) |
- ^ Р л |
Р и - ’ + |
|
+ ( « / ) “ Члт ^ |
( Ч |
; Г ‘ - Ч «) |
Р а' 1 |
Связь (38) позволяет записать в новом, более коротком виде полу ченное выражение;
§8 |
= Р Л < 0 л г >-, - |
^ - Ч . + |
|
|
+Я аТ ^ - Р л |
- ’ Р . . |
(«) |
Для дальнейшего анализа потребуется более конкретная расши фровка смысла тензора С)п. Рассмотрим се. П соотастствии с тео ремой о полярном разложении тензоров, справедливо равенстпо
Я* = Оа - К 9
в котором положительный симметричный тензор II и орто^нольиый те1гэор Оа определяются формулами
н = \Льт -ча1