книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

скользить по границе включении или отходить от него. Это допу­ щение сделано исключительно п целях упрощения математической модели. Поскольку нас интересует иллюстрация истых качествен­ ных возможностей, задача поставлена так, чтобы исключить на рас­ смотрения проблему вычислении нолей напряжений с сингулярной особенностью б окрестности резкой смены граничных условий.

Расчеты показывают, что л р.чссматрннаемой ячейке компози­ та [иЦ = 0,1) эффективные напряжения (при которых с вероят­ ностью 0,5 происходит появление когезионного разрушении) суще­ ственно зависят от момента появления адгезионного отрыва матри­ цы от включения. Причем, о записимост я от соотношения пара­ метров Р ь /и а, оно может изменяться и 6,6 раза. 1) материалах с более прочной адгезионной связью когезионный разрыв связующего поступает позже.

Таким образом, предложенный подход содержит п себе возмож­ ность объяснения хорошо известной нз экспериментов связи между прочностью скрепления матрицы с: включениями и особенностями когезионного разрыва связующего. 1) математическую модель нс требуется для этого мюдпть дополнительное представление об упру­ гих слоях вокруг включений с особыми свойствами.

•/? рал1клг предлагаемого подхода оид абсолютно твердого натм­ ин7лсил может влиять па особенности макроскопического раз­

рушения тмислипл.

Поясним это более подробно, С то чки зрения обычных критери­ ев прочности, разрыв матрицы должеи происходить, когда в связу­ ющем будут достигнуты критические напряжения. Момент отрыва матрицы от включения п таком рассуждении не существен. Следо­ вательно, не существенно и качество склеИкн с наполнителем. Лишь бы отслоение матрицы от включения происходило до когезионного разрушения связующего. Приведенный пример характеризует еще одну важную особенность предлагаемого нами подхода — в рамках его имеется связь между адгезионной и когезионной прочностью ма­ териала.

Рассматриваемые примеры показывают следующее. В границах используемой математической гипотезы факторы времени и про­ странств сказываются столь же существенными, как н фактор ве­ личины действующих напряжении. Эго дает возможность учесть

историю нагружения материала, скорость его деформирования и масштабный фактор при прогнозе вероятности поя влекши единич­ ного повреждения.

4, Масштабный аффект прочности в кинетике

накопления повреждений

Рассмотрим макроскопически однородныII образец наполненного эластомера. Он представляет собой связующее, прочно скрепленное с частицами наполпитсля. Полагаем, что нос включения и|>нгото­ влены из одного материала, имеют сферическую форму и одинако­ вые радиусы. Кроме того, полагаем, что все частицы расположены достаточно далеко друг от друга, поэтому не влияют на взаимные поля напряжении.

Приведем рассуждения, позволяющие предложить вариант мате­ матической модели для описания статистических особенностей росга отслоенное:и связующего ^ «щетин наполнителя (появление вакуо­ лей). Пусть общее число включений в образце равно N . Макси­ мальное число возможных пакуолеИ рашю 2Я (по два на каждом включении — рис. 5). Необходимо определить вероятность содер­ жания я образце п вакуолей о произвольно выбранный момент 1 от начала испытания.

Проведем наши рассуждения в два этапа. На первом рассмотрим поведение *фантастического" материала с очень удобными для ана­ лиза стохастическими свойствами. После этого обсудим вопрос о том, я каких случаях эта модель может использоваться для описа­ ния реальных объектов. На первом этапе специально не будем ка­ саться физической разумности выбранной модели. Пусть она будет (иа первый взгляд) довольно далека от реальности, Вопрос о том, может ли в действительности происходить что-то подобное, оставим для обсуждения на втором этапе.

4.1.Стохастическая модель процесса

Рассмотрим абстрактную математическую модель. Пусть мы имеем объект, содержащий N структурных элементов. N начальный момент (<о = 0) все структурные элементы находятся п состоянии

Данное равенство полностью задаст закон появления первого пере­ хода из А н В. Чтобы в этом убедиться, достаточно записать ве­ роятность противоположного события (появления но крайней мере одного перехода из А в В па интервале времени [0,4])

(20)

О

По своему физическому смыслу это и есть распределение вероят­ ности появления первого перехода ыэ А в В в момент <{> меньший

Ч*

Этот процесс можно продолжить. Пусть А-И переход из А в Б произошел и момент 4 - Нерояткость т о т , что на интервале промо­ ин [4,4+(] не добаиится ни одного нового перехода (по аналогии с изложенным выше), определяется выражением

Формула представляет собой лроиэведение вероятностей отсутствия переходов л указанном интервале времени па каждом из оставших­ ся элементов. Кик н ринес, выписанное условие (21) задаст закон следующего 1 + 1преобразования из А в О . Выражение ( 2 1 ) ,спра­ ведливое для всех значений к от куля до (V (при ?о = 0), позволяет рассшгьшать все статистические характеристики рассматриваемого процесса, генерировать его еду чайные реализации на ЭВМ. Таким образом, вес сказанное полностью определяет статистические особевносги роста изменений и рассматриваемом объекте.

Как уже отмечалось, данная абстрактная модель имеет простое математическое описание. Пас интересует вероятность того, что в рассматриваемый момент I объект содержит ровно н структурных элементов в состоянии О. Подчеркнем еще раз, что события пере» хода нэ состояния А и Б ДЛИ структурных элементов полагаются независимыми друг от друга. Нэ теории вцюятностей известно, что интересующая нас вероятность определяется биномиальным распре­ делением [13]

математическое ожидайке М (и) и дисперсии 1}(п) которого соответ­ ственно раины

В диапазоне О, I < па < 0,9 оно хорошо аппроксимируется нормаль* ПЫМ распределением (21] с плотностью вероятности случайной ВеЛИЧНиМ

Таким образом, статистические особенности накопления переходов структурных элементов из А в В полностью определятся поведени­ ем только одного параметра тл. В соответствии с равенством (23), параметр т имеет физический смысл математического ожидания числа структурных элементов в состоянии В о момент 1}деленного на N. А эту величину мы можем рассчитать на основании утвер­ ждения (18)

171

(26)

Па этом закапчивается первый этан построения модели,

4.2.Применение стохастической модели к описанию роста отслосшности в наполненном эллстоморо с малой концентрацией твердой фазы

Теперь следует вложить коикретныЛ физический смысл в приве­ денные математические выражения. Нод событием перехода струк­ турного элемента системы из состояния А и В следует попинать появление на включении материала новой нахуоли. Однако расче­ ты будут более удобны, если считать, что отслосинс матриц!,1 от включений л|хзисходит сразу но осей их поверхности и приводит к

мгновенному появлению сразу двух вакуолей. Качественная сторо­ на ксслвдовамия при этом не пострадает. Л количественная сторона сейчас для нас не главная. Важно понять, что нового можно полу­ чить о рамках рассматриваемого подхода. Включения достаточно удалены друг от друга. Поэтому событие появления повреждений па одном из них можно считать независимым от появлении повре­ ждении на других. Формулы (22)-(26) пригодны для описания такой ситуации.

Практическое применение выражений требует уточнения, что по­ нимается под, функцией {({). ГСе разумно выбратьтдк, чтобы данное описание было дальнейшим развитием рассмотренного ранее под­ хода. Полное согласование с формулами (12), (14) достигается в случае, когда под величиной ((0 понимается функция от времени

т =Ц

з

(5 — поверхность исотслосииого включения). Скалярная характе­ ристика отрывного усилии <хл является функцие» координат к вре­ мени. Б условиях, соответствующих нагружению материала с по­ стоянной скоростью движения захватов, она принимает шщ

« О = 7 » Л Э ,

ВДВ

а= 8 ^ 1 ;

7 = 1 1 <ггг* Н&гг) 33 ;

Р5

<г — напряжения на удалении от включений; гр — радиус частиц наполнителя; Е — модуль Юнга матрицы; с* — скорость макро­ скопического деформирования материала. О этом случае изменение параметра т определяется равенством

Проиллюстрируем закономерности роста отслосшкостп в слабо* наполненных образцах иа конкретных примерах. Проведем следу­ ющий компьютерный эксперимент. Рассмотрим четыре образца, ка­ ждый из которых содержит но сто включении. Моделируется ситу­ ация, когда образцы растягиваются с одинаково» макроскопической скоростью движения захватов. Иле интересуют особенности мате­ матического моделирования кинетики накопления отслоений. Ча­ стицы наполнителя удалены друг от друга ид достаточное расстоя­ ние. Поэтому каждая из них имеет одно и то же поле напряжений около поверхностей включении. Следовательно, .максимальное на­ пряжение при нагружении достигается одновременно п матрице око­ ло всех частиц наполнителя. Согласно обычным представлениям о

критериях прочности, отслоении связующего от поверхностей частиц должны начаться одновременно около всех включении. Подчеркнем особенно этот момент.

♦Критерии разрушения предсказывают мгновенное отслоение .па­ трицы сразу на осех ек.тчешгяг. Ллоико.м должны образовать­ ся вакуоли около всех частиц иепкмкишели.

•С «точки зрения кшн’вшко-сшатисткчесхого о» пспмил процесса возникает соосен иная ситуация. При определенном значении

.микроскопической нагрузки возможно только наступление наи­ более вероятного момента появления отслоений.

Некоторые вакуоли образуются до наступления такого момента, не­ которые позже. Процесс случаен. Поэтому отслоение матрицы од­ ним хлопком одновременно от всех частиц невозможно. Эго хорошо видно на получившихся и машинном эксперименте реализациях ки­ нетики накопления отслоений (рис. 6). Отслосниость в материале показана в эаинешиости от безразмерного растягивающего усилия

*' = Р * ,

где

Г1рн выполнении расчетоп материи] считался Гуковым, несжимае­ мым. В качестве конкретноговида распределения поле» напряже­ ний около частик наполнителя (п окрестности которых но пронзо-

Рве. 0. Случайные реализации кинетики накопления отслоеииН и о б р азу , со* держащей сто иклюмсний. г\}№— доля отсмоиашикся частиц; о* — безразмер­ ное растягивающее ипи|»яжс1Ц1с

шло отслоения связующего) пскользоиалось аналитическое решение для единично!! сферы (15).

На полученном графике просматриваются три области эволюции обще!! поврсждсшюстн материала. На первом этане с* < 0,4 отсло­ ена!! и материале мало или ист совсем. 11а втором этапе роста поцрожденаости 0,4 < с* < 1,6 происходит быстрое увеличение числа отслоеииН в материале, причем с весьма значительным разбросом (ераопиваются машинные эксперименты на розных образцах). 11а третье»! этапе 1,0 < <г* почти все или полностью нее частицы отсло­ ились от матрицы. Естественно задаться вопросом о статистических характеристиках разброса данных а машинных реализациях на ито­ гом этапе. Именно на этом участке можно ожидать значительного случайного отклонения в лучшую или худшую (с точки зрении проч­ ности) сторону.

Для получения плотности вероятности количества отслоенных частиц необходимо проводить не четыре, а от 7000 до 10000 ком­ пьютерных экспериментов. Исследовалось две серии образцов. В каждоН нскол изо)тлись разные размеры частиц наполнителя. Объ­ емная доля твердой фазы нссгда выбиралась одна. Достигалось это исполкоманисм разного количества включений. Так, п образцах с палыми частицами наполнителя (радиусом !170 мкм) бралось 1000

362_______________________________ Л. Д, Саидино0, у/, А „

Рис. 7. Плоткость распределения ьсроиглосш доли отслоилшихся чпспщ » образце. Образцы, содержащие 100 иключениП ( I, 2,3 ) и ЮООпключеннП (!', У, 3') длн безразмерных а * нагрузок, рмнш х соогвстсглспии (1,6 ; 0,!); 1 ,2 , Точкяим подмани результаты компьютерного эксперимент», силошноII липисН — расче­ ты по формулам (22), (24)

включений, с болы ш частицами (радиусом 800 мкм) — 100 оклкь

ЧСНИЙ.

Результат.! компьютерного эксперимента показаны па рис. 7. Плотности распределения доли отслоенных частиц р соотиспствуют образцам, содержащим 100 включении (кривые 1, 2, 3) л 1000 включений (кривые Р.2',3') л/]л безразмерных нагрузок а*, рапных соответственно значениям 0,0; 0,9; 1,2. Разбросы долеИ отслоенных частиц существенно выше а образцах с меньшим содержанием ча­ стиц нанолинтсля.

• Число рассматриваемых объектов очень оаэюю при статисти­ ческом моделировании процесса. В этом заключается еще едко отличие кыпетихо-статистического подхода от детерминиро­ ванного описания явления,

Максимальный разброс данных п компьютерных реализациях кинетики накопления отслоений наблюдается » области наиболее осроят о ю монета появления вакуоли на одном изол промином включении. При испыннх и больших макроскопических нагрузках разброс уменминеи:я. Эта тенденция хорошо видна на графике за­ иленмости диснс^нн Доли отслоенных частиц От от их мдтемпти'