книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

пых интегральных уравнений в данной главе выполнены С. К. Ле­ бедевым, Вычисления с помощью сферических функций проделаны 0. [С. Гаришиным. Решение задач с помощью теории функции ком­ плексного переменного осуществлено С. Б. ЕиламлиепоН.

1. Область применения итерационного алгоритма

Основная идеи построения итерационного алгоритма впервые вы­ сказана Смолухопским в 1011 г. [10] и развита Факсеном в 1925 г [9]. Известка она в литературе под названием "метода отражения" [7]. Областью применении алгоритма периодамалько были задами исслсцовышя медленного движения пяэкоН жидкости, содержащей N сфе­ рических жестких частиц, иод доИстинс.м внешних сил (б частости силы тяжести). Частицы считались находящимися достаточно близ­ кодруг от друга, так что имело место их гидродинамическое взаимолеПетонс. Предполагалось также, что частицы достаточно удалены отограничивающих жидкость стенок, так что окружающую их жид­ кость можно рассматривать как безграничную. Основное внимание сосредоточивалось преимущественно на ситуациях, когда жидкость покоилась на бесконечности. Решение получали аналитически с по­ мощьюсферических функций, что было, плиду отсутствия вычпел11- телыюИ техники, весьма трудоемкой задачей. В результате метод не получил должного распространения н о нем практически забыли.

В задачах теории упругости модифицированный вариант мето­ да стал использоваться значительно позже (и начале 80-х годов [6), [3]). И хотя с момента появления итерационного алгоритма до на­ ших дней прошло много десятилетий, все еще кет строгого доказа­ тельства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Болес тот, установлено, что о ситуациях очень близкого располо­ жения части ц друг от друга итерационны II алтри гм становится расходящимся.

В/риос развитие вычислительных математических аппаратов для решения упругих задач (использование комплексных переменных о задачах теории упругости, граничных интегральных уравнений и 7. д.) позволило применять идею итерационного алгоритма с новыми ^тематическими аппаратами. Некоторые из них рассматриваются

в этой главе. Реализация главной идеи алгоритма не зависит от □яда зал иси полей напряжений. Важно только, чтобы можно было отдельно учитывать вклад от каждого элемента упругой системы. Остановимся на этом более подробно.

Итерационный метод предназначен дли решения задач п области малых деформаций. Пусть бесконечная упругая матрица (образо­ ванная Гуковым материалом) содержит конечное число полостсИ, абсолютно твердых включений и упругих частиц наполнителя (проч­ но нрнхлеенныя к связующему иля способных отслаиваться от пего). 11а удалении от ансамбля приложено однородное поле нагружения.

Используем для вычислений любой математический аппарат, по­ зволяющий в явном виде записывать однородное поле нагружения и возмущеиня от каждого из включений и полостей (автоматически удовлетворяющие уравнениям равновесия). Это может быть метол граничных интегральных уравнений, теория функций комплексного псрсмсшюго п двумерных задачах теории упругости, методы потен­ циалов и т.г1. Все они характеризуются следующим. Тензор на­ пряжений Т о любой точке связующего представляет собой сумму тензоров однородного поля Те* и возмущений Т , от каждого объекта в ансамбле (полости или частицы наполнителя):

1=1

причем каждое из слагаемых Т » и Т* удовлетворяетуравнению равновесия материала:

V Тоо = О

= О

где N — общее число объектов в ансамбле; V — оператор градиента места; точкой между символами обозначена операция свертки тен­ зоров. В виде суммы представляются также нскторы перемещений:

Здесь символами обозначены: и — вектор перемещении л рассма­ триваемо!) точке матрицы; Но, — перемещения, соответствующие однорогому полю напряжений; п* — перемещения, соответствую­ щие 1-му возмущению.

Между векторами перемещении и тензорами напряжений суще­ ствует связь:

Т = Ци),

Тоо = Ь(Иоо) ,

т , = Ь (и ,).

в которой оператор Ь(...) определен выражелкем

Ь("0 = 0,5 А ^{(7 ...) + (7...)т ) - в | Б +

+ ,« { (? ...)+ (7...)т) ,

где А, д — коэффициенты Лямс бесконечного связующего (матри­ цы); В —единичный тензор; верхним индексом Т отмечена операция эракспониронания тензора. Кроме того, возмущения удовлетворя­ ют следующему условию: они быстро убывают нрк удалении от по­ верхности объекта (поры или частицы наполнителя), вызывающего их. Это известно из многочисленных аналитических решений задач структурной механики композитов.

Можно ожидать сходимость следующего итерационного процес­ са. Иа каждом шаге находим возмущение от 1-го объекта путем точ­ ного удовлетворения граничных условий на его поверхности. При пои полагаем, что возмущения ог других объектов уже известны. Вновь вычисленные эиачеиня *-го возмущения безусловно изменят ситуацию на других границах, но на меньшую величину по сравне­ ние) с »-Н поверхностью (за счет быстрого убывания возмущения при ХД&ЛС1П111 от рассматриваемого объекта). Повторяем эту операцию юслсдовагелыю, обходя по очереди вес поры и частицы наполните­ ля рассматриваемого ансамбля до тех нор, пока вновь вычисляемые

возмущсиия пе будут совпадать с найденными па предыдущем обхо­ де. Полученное таким образом решение м является искомым.

2.Общая схема алгоритма

Рассмотрим процедуру решения более подробно. Пусть лее объ­ екты ансамбля я иляютея упругими включениями, причем па границе контакта с бесконечной матрицей выполняются уелони я полного прилипания. Случаи с полостями и абсолютно твердыми частицами наполнителя принципиально ничем не отличаются. Только упроща­ ется формулировка соответствующих граничных условии. П дапиом разделе мы на них нс останавливаемся.

Обозначим символами ад|в^, Т -^ векторы перемещении и тензора напряжений возмущений 1-го объекта в связующем, вычисленных на н-И итерации, а символами и?, Т? — перемещении и напряжения непосредственно п г-м включении. В качестве отправных условий используем пулевые значения для всех возмущений:

на поверхности первого включения 5| записываются в виде и „ + ,/,"> + и ^ - ^ н - 4 " - 0 + ...+

|дспл — пнешияя нормаль к рассматриваемо!) поперхкости. В равен­

На втором таге п качестве возмущении от первого, третьего, че­

Находим их, удовлетворяя уравнениям (3), (4). Даль иейипю шаги л-1) итерации выполняются аналогично, пока не будут иаИдсиы но­ вые возмущения и |п\ от всех включении (1=3,4,... , К).

3.Использование итерационного алгоритма при решении задан с помощью представления Папковича — Нсйбера

Примером математической записи выражении и{п* может быть представление Пдиконичл — ПеЛбера перемещении через гармони-

где в! , еа , еэ — базисные векторы прямоугольной Декартовой си­ стемы координат; / е — модуль сдвига; V — к о э ф финне][т Пуассона; г — радиус-вектор точек с в яз у Е о щ с го ; г; — радиус-вектор точки, ле­ жащей внутри г-го включения. Скалярные функции (потенциалы)

^ 1 , фз должны удовлетворять уравнениям

Д $ = 0 (/.- = 0, 1 , 2 ,3)

н стремиться к нулю

$ -» 0

при удалении от 1-го включения

А — оператор Лапласа.

Примером таких потенциалов могут служить ряды но степеням

единенные функции Лежандра; д, , а* , п — сферические коорди­ наты с началом отсчета в точке г*, Сферическая система координат, связанная с Г-м включением, определяется выражениям и

Рис. I. Схема шк-ружсния бескоие«гпого упругого про*

при:стоп, содержащего ада

Вектор г определяется с помощью сиязи

= 14 + р1 &1П^ совсг^О| + ръ втр| в’та^еа +

+ Р% совр, Сз

Проиллюстрируем этот подход на задаче с двумя сферическими ВТЛЮЧС1ШЯМН (рис. 1). Пусть на бесконечности приложено единич­ ное растягивающее напряжение, действующее вдоль линии центров этих включении. На границе требуется удовлетворить условиям полного прилипания. Модуль Юнга включений б 10000 раз выше модуля матрицы (включения практически не деформируются при нагружении). Коэффициент Пуассона возьмем равным 0,5 для ма­ трицы к ДЛЯ частиц наполнителя. Пусть одна из сфер имеет радиус Я: = I, а вторая Л* = 0,5. Зазор между ними равен к = 0,55 Л ь Мы имеем осесимметричную задачу.

Напряженно-деформированное состояние в матрице и частицах наполнителя в системах координат, соответствующих этим вклю­ чениям, можно представить п виде линейной комбинации частных

(п 4 1 ) (2п 4 1) 1 г* " " '2 х

х Ц^(п2 +4 Ьп6л + 4 - 2сг) Рп+1 +

О.

Вматрице напряженно-деформированное состояние можно пред­ ставить в виде однородного поля нагружения и “возмущения" от

каждого из включений [8], которые в соответствующих системах ко­ ординат определяются о виде разложения по решениям (7), (8):

и1

где и — перемещения точек матрицы;Иоо — перемещения, соответ­ ствующие однородному полю нагружения; иг — возмущепия от с -го включения (? = 1 , 2); Л|_п_ 1 , С?_л_| — пспэвестныс коэффициенты.

У поверхности первого включения перемещения и матрице пред­ ставляются (равенство (9) в координатах г\ и 0| [8]) рядом